PHĂ‚N TÍCH bät

c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 P Phân tích ý tưởng: Bài toán có biểu thức P chứa phân số cuối cùng khá là cồng kềnh, vậy nên việc dự đoán điểm rơi ban đầu sẽ gặp rất nhiều khó k

“ Đơn giản chỉ là BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG “

Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a2abb2 c

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2

P

Phân tích ý tưởng: Bài toán có biểu thức P chứa phân số cuối cùng khá là

cồng kềnh, vậy nên việc dự đoán điểm rơi ban đầu sẽ gặp rất nhiều khó khăn cho dù có sự đối xứng giữa ,a b Quan sát phân thức cuối, vừa chứa căn, vừa

chứa đa thức bậc cao với biến c nên ta sẽ nghĩ đến chuyện giảm biến và giảm

biến ở đây sẽ là triệt tiêu tử số cho mẫu số Ở căn 2c 2 36 là một đa thức bậc nhất nên ta sẽ đánh giá thông qua đại lượng đồng bậc là 2c 3 đồng

thời bài yêu cầu tìm max của P nên đánh giá

2

c

k c





c

c



được bất phương trình 4k22c212k c2 9k236 Để bất phương 0

trình này có nghiệm với mọi c dương khi và chỉ khi:

k



Và dĩ nhiên, ta sẽ chọn k lớn nhất nên suy ra 2

3

k  Hay nói cách khác là:

2 2

2

2

c

Khi đó, ta có được

ab P

ab c





phân số đầu, tổng đó sẽ làm ta nghĩ tới đánh giá 1 1 4

x y x y

 hay bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân số Tuy nhiên nó sẽ bị ngược dấu với yêu cầu bài toán, vì thế giải pháp tối qua đó chính là quy đồng như sau:

Bài 28

Từ giả thiết đến biểu thức P ta thấy ba biến xuất hiện đó là a2b ab c2, , vì thế ta sẽ đặt xa2b y2, ab z,  Bài toán trở thành cho giả thiết là c

x  và tìm giá trị lớn nhất biểu thức y z

2

2 4

y x

P

y z







Quan sát ở phân số thứ hai chỉ chứa ,y z do đó ta sẽ thế x  vào phân z y

số thứ nhất để giảm biến ta được 2   2

y  zy  y  y  z

Có sự xuất hiện của hằng đẳng thức 2  2

y  y  y nên ta có:

y  zy  y  y  z y  z  z

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi y 1

Nên biểu thức P lúc này trở thành:

Mặt khác với điểm rơi y 1 nên ta tự tin đánh giá theo bất đẳng thức Cosi cho đại lượng y 1

y

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 1

2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 1 2

12

ab

 



    

Chẳng hạn tại các giá trị 13 3; 13 3; 12

Nhận xét: Điểm mấu chốt của bài toán nằm ở các điểm sau:

 Đánh giá 3 2c2362 2 c3 Ngoài ra ta có thể sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki như sau:

2

       

Tuy nhiên đánh giá này sẽ làm mất đi vẻ tự nhiên của bài toán

 Quy đồng hai phân thức đầu để đổi các biến số:

    

Sự xuất hiện của các biến a2b ab c2, , nên xa2b y2, ab z,  c

Suy ra

2

2 4

y x

P

y z







  với giả thiết x  y z

 Giảm biến số, đưa ba biến về hai biến bằng cách thế x  Đồng z y

thời quan sát được hằng đẳng thức 2  2

y  y  y Nên đánh

giá được biểu thức P