Các vấn đề về đa thức

Các vấn đề về đa thức

1 DINH NGHIA VA CAC PHEP TOAN

1.1 Định nghĩa đa thức :

Cho ham s6 f: R-» R Ta gọi f là đa thức nếu : f =const (hằng số) hoặc tồn tai ne Z*,n21 và các số thực ay», a,, ,4, V6i a, #0

sao cho f(x)=a,x" +a,x" )+ +a, x +a, |

— a, gọi là các hệ số Trong đó a, #0 là hệ số cao nhất ;

—a, là hệ số tự do Dac biệt a, =1 goi la da thức chuẩn tắc hay monic _* Với a, #0 thì n là bậc của đa thức f(x) kí hiệu deg f = n

® Đôi khi ta viết gọn : P(x) = Xà x hay viết ngược lại :

=0

f(x) = =P bx! =b,x" ` 2+ +bx+b, bị #0,

kav

1.2 Đa thức trên các tập số :

Cho f(x)= yx" ‘tax + 4a xta |

Néu các hệ số a, e3 thì kí hiệu reA|x]

° Tir f(x), g(x) ta cé thé viết theo hình thức sau :

£(x)=A,x* + A,x' 4 FA, XA, | g(x)= Byx* +B,x*' + 4+B x +B |

Với : k= max{n ;m} ; A, =0 hoặc a;, B, =0 hoặc b, thì ta CÓ :

Thi: f(x)+g(x)=(A, +B, )x* +(A, £B, )x*" + +(A, +B,);

cep Ox) gO) = cyx® +1 Ht Gay RF Coy

Két qua: Cho f,geRIx] va deg f =n, degg =m Thì :

deg(f +ø) < max {m ; n} ; degf.g =n+m; degfug = n.m

1.4 Đa thức sai phân :

Cho f e R[x], degf =n, đa thức sai phân :

Af =f(x+1-f(x) = Sia, (x4 -Dax của [xan = xr]

i=, i=0

có bậc 14 n—1 va hé s6 cao nhat 1a na,

Từ đó ta có dãy đa thức sai phân giảm dần một bậc A*f

Đa thức Trê-bư-sếp T, Íx) có bậc là n va cé hé sé cao nhat 1a 2°),

Đôi khi ta chỉ xét n >] trởđi :

Kết quả :

- (: T1, (cosœ) = cosnœ Ta chứng minh bằng quy nạp theo n>l.'

Cho T, (x) véi Lộ

That

Khi n=1:T, (cosa) =cosa

Khi n =2:T, (cosa) = 2cos? œ —] = cos 2o

Giả sử Tị (cosœ) = cos ko Thì :

- T,„¡ (eosœ) =2cosœ.T, (cosœ)— T,_, (cosœ)

"x =cosk—, k=0,1, , n-l

n

Voi Ixl<1 thi [T, (x)|=1< |cosnal=1

<> sinna =0<-na=ka,k eZ oa=k~ keZ

n

Do d6: x =cosa =cosk=,k =6,1, ,.n—1

n

1.6 Da thức lượng giác :

‘Dang L, (x)= a+ 9( (a, coskx +b, sinkx) ‘V6i |a, |e, lx0 gọi là

đa thức lượng giác cấp n với các hệ số au, a,, b,

Nếu các a, =0 thì L,(x)= a, + _b, sin kx

Nếu các b, =0 thì L,(x)=a, +3 a, coskx

Bài tập I : Cho các đa thức sau : f(x)=x”—2xÌ+x—];

_Dođó: f(x)=ax? +bx+c, a # Ô

Mà hệ số cao nhất:của vế trái là 1 nén a =1 Ta khai triển đồng nhất :

b) Vì deg của vế trái là 4 nên: deg f = 2

Mà hệ số cao nhất của vế trái làÌ nên a =]

Bài tập 4 : Tìm tất cả các đa thức khác không P(x) thoả mãn đồng nhất thức :

b) P(x? -2x)=[P(x-2)] ,xeR | (Bungari 76) `

a) Giả sử đa thức cần tìm có dạng :

-P(x)=a,xX”+a, ¡X”” + +a,X +au, a, # Ô,

Giả thiết rằng một trong các hệ số a,_,,a,_,, ,a, khác không Chọn

số k lớn nhất (k <n) sao cho a, #0 Khi đó ta có : |

P(x?)=a,x™ +ax* +.+ax? +a,

=(a,x" +a,x! + 4a,x+a,) =[P(x)Ÿ

Cân bằng các hệ số của x"”" ta nhận được : 0= 2a.a,

Điều này trái với giả thiết a, z 0

Suy ra: a,, =a, ; = =a, =a, =0 Và P(x) = a,x"

“Từ điều kiện : a,x 2 pq *)=[P(x)] =a, a ta nhận được :

Vay: P(x) =x", (neZ"*)

'b) Kí hiệu : y=x~—], Oly )=P(y-1) Khido:

[P(x-2)} =[P(y-1)] =[o(y)] ; P(x? -2x) =P(y Noa

Đồng nhất thức đã cho viết thành : Q(y )=[Q( (v)Ÿ 'yeTR

Do đó, theo kết quả trên thì Q(y)=y" hay P (y)=(y+1)",Vn eZ°

Bài tập 5 : Tìm tất cả các đa thức P(x) thoả mãn điều kiện :

P(x).P(y)= Pˆ.(*š*)- (252), WuyeR @

- Giải :

Nhận xét rằng : 'P(x)=0 thoả mãn điều kiện bài toán ị

Ta xét trường hợp P(x) #0 Thay x =0, y=0 vào (1) có P(0)=0

Với y=3x thì (1) thu được : P(x).P(3x)= P?(2x)—P°(~x)

Hay P(x).P(3x)+P?(-x) =P? (2x), VxeR (2)

Nếu P(x) =c, Vx(c # 0): không thoả mãn (2)

Nếu degP(x)=n>l1: -

Gọi hệ số cao nhất của P(x) là a, (a, #0), thi tir (2):

ag (3°âg)+aụ” =(2"ay} @3"+1=4" en=],

P(x)=a,x"+a,_x° + 4a,x +a)

Theo bài thì : ".— om '+ 48,6+a, =1994,

_Vì a,,i=0,1, ,n là số nguyên không âm, nhỏ hơn 6 nên :

- Thử lại ta thấy đa thức P(x) là duy nhất và thoả mãn đề ra

Bài tập 7 : Cho đa thức bậc hai : f(x)= x?+px+q Xác định đa thức bậc 4

g(x) chuẩn tắc (hệ số cao nhất bằng 1) thoả mãn : Fø())= g(f(x))

Giai :

Xét a(x) = f(f(x)) thi g(x) thoa dé bai

Ta chứng minh đa thức đó là duy nhất

Giả sử ta có đa thức h(x) thoả đề bài sao cho f(h(x)) =h(f(x))

Dat p(x) =f(f(x))—h(x) thi degp < 4 (cùng hệ số cao nhất) Suy ra : -

pứ(x))=f(f(f(x)))—h(f(x))=f(f(f(x)))—-r(h(x))-

10

Bài tip 8 : Cho đa thức lượng giác :

f(x)=cos4x +acos2x + bsin2x

Chứng minh :

a) f(x) nhan giá trị dương và âm với mọi a, b._

b) Néu f(x)2-1, Vx thi a=b=0

Nên f(x)>-1 = cos4x +acos2x >-1, Vx |

= 2t° +at20, Vte[-15 1] (với t =cos2x)

=a=(Q

- Vậy: a=b=0,

Bài tập 9 : Xét hàm số P: ïR —› R thoả mãn :

_ Nếu Q(x) là đa thức với hệ số thực có bậc >2 thì P(Q(+x)) cũng là

một đa thức Chứng minh P(x) là một đa thức,

1]

Giai:

Xét đa thức Q(x) =x’ Từ giả thiết của bài ta có P(x? ) là đa thức

Đặt P(x?) =a,x" +a, xe t Fax tay

Hàm số (biến x) P(x” ) là hàm chẵn tren R

Do đó a, =0, Vì lẻ e{0;1:2; :k}.-

Từ đó suy ra P(x) là đa thức trên [0;+œ) _

Tương tự xét Q(x)=—x”, ta được P(x) là đa thức trên (~œ; 0]

Như vậy tồn tại các đa thức R(x) và S(x) sao cho :

R(x) nếu x>0

Chon Q(x) =x? ta được P(x?) 1a da thite

Dat T(x) =P(x*) Tir(1) taco:

T(x) =R(x*), Vx 20 ; T(x) =S(x*), Vx <0

=> R(x?) =T(x) =S(x*) > R(x) =S(x)

Vậy P(x) là một đa thức

Bài tập 10 : Tìm số tất cả các đa thức P(x) bậc không lớn hơn 3 với các hệ số

_ nguyên Không âm và thoả mãn điều kiện P(3) = 2000

_ Như vậy có 667 đa thức P(x) với bậc nhỏ hơn hoặc bang | thoa man

Suy ra: 0<b<666- 3a Tức là có 667~— 3a số Ð.,

Bởi vậy số đa thức P(x) của trường hợp này :

0<c T=— 666 - Sa 3b, có 667~9a~3b giá tric

Từ đó số đa thức của trường hợp này là :

2 HỆ SỐ VÄ GIÁ TRỊ ĐA THỨC

21 Hệ số : Cho f e IR[x], deg f = n

Nếu viết : f(x) =a,x"+a,x"' + 4a, x+a, = Dax" thì hệ số theo

2.3, Cac hing ding thức :

s(a+b)Í =a? +2ab +b?

*(a+b) =a*+3a?b +3ab? + bỉ

*(a+b) =a‘ +4a°b+6a’b? + 4ab’ +b!

s(a+b}” =a” +5a*b + 10a`b? + 10a?b? + 5ab' + bố

P(-1)=(—1)"a, +(-))"" a) + .+(-1a, +a,

=> P(1)+P(~1)=2(a, +a, +a, + .+a,,, + )

Đặc biệt : Hàm đa thức chan P(—x)= P(x) thì các hệ số Aon =0,

_ còn hàm đa thức lẻ P(-x) =—P(x) thi các hệ số a,, =0

Bài tập 11 : Tìm hệ số theo x° của đa thức sau khi khai triển :

a) P(x) =(x +1) +(x4+2)'4(x44)*,

b) Q(x)=(x +1)" (x4 +8x3—x? 41)

Tìm tổng các hệ số theo luỹ thừa chắn

-_ Giải : : _* Tổng các hệ số theo luỹ thừa chấn :

Bài tập 12 : Tìm hệ số :

a) Theo x” của khai triển : P(x) = (+x)”, 0<m<n

b) Theo x” của khai triển : Q(&)=(x+4)" +(3x? —5)”

Tìm tổng các hệ số sau khi khai triển.:

~Scyu'4 «Se, eC) ¡=0

Hệ số theo x” ứng với i=42 và j=37 la:

C24? +0273" +5)" =C8,4C,3*5 mo

Tổng các hệ SỐ sau khi khai triển : Q(1)=5”” +( -2)" 5° 2",

I iQ Zz ~“ >

Bài tập 13 : Định hệ số của x2 'xuất hiện sau khi bỏ các dấu ngoặc và nhóm

các số hạng giống nhau trong đa thức :

Ta đặt A, là hệ số của x,B, là hệ số của x” và P,x” là tổng của các

số hạng chứa các luỹ thừa lớn hơn 2 của x Ta có thể viết : `

P(x) -|.((œ-2Ÿ -2} - -2) ]

kiên

16

=P,x'+B,xÏ+A,x+4 "He -2Ý -2) jaa

HAL t4A tPA + Fa A TAPP AT ESB Ø9)

Thế B,=l,A, =-4,A, =-4”,A, =-4”, Á,,= 4 vào biểu thức „

Bài tập l6 : Giả sử Ìax? +bx+c|<1 khi |x| <1

` Chứng minh rằng : |ex? +bx + aÌ <2 khi |x| < I

_ Œiên Xô 1973)

Giải : Đặt f(x) = ax” + bx +c, ta CÓ :

Đảo lai v6i a =—3 thi f(x) =4x*-3x

Vi [xl <1 nén dat x = cosa = f(x) = cos3a

Do đó |f(xÌ|= lcos3al <1: đáng

Vậy : a.= =3

b) Ta có : g(x)—g(—x)= -(4x- + bx? kext d)- (—4x? + bx? ~cx+d)

= 8x? + 2cx g(x)—g(—x)'

Bài tập 18 : Cho đa thức với hệ số thực : &)= ax? + bx? +x +d và một SỐ

œ >0 Biết rằng với |x| < 1 thì có bất đẳng thức |f(x)|<ơ

Tim lal; [bl;lcl;/dl lớn nhất _

Giải : A=f(-Cl)=-a+b~c+d_ a=-2 A+ 4 p-4c42D

Bang cach xét f(x) = ca) —3x) và Xf(X)= aÚx -1)

Vậy : max|lal=4œ; max|bl=2œ;

maxlel=3œ; maxld|=

- Bài tập 19 : Cho tam thức bậc hai : fixe x? +px+q 6 a6 p.q là các số

nguyên Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k để f(k}= f (2004) f(2005)

- Giải : -_ Ta chứng minh Vx, ta có : f(f(x)+x)=f(x) đá +),

=f(x)[(x+1) +p(x+Daq|

=f (x) f(x +0) " | Voi x = 2004, dat k = f(2004) +2004 thi k là số nguyên và ta có :

3 ĐA THUC VOI YEU TO GIAI TICH

3.1 Giới hạn, liên tục: Cho fe ®[x]:

f(x) = a,x" tax" + +a, (xta,,a, #0

Ta có f liên tục trên R va:

F(x) Sax" tax"! + ta,xta,,ay #0

‘Thi: f(x) = nayx"” '4(n-Dan"? +., +2a,_)x+a,_,

"(x)= n(n—Dayx"? +(n—D(n—2)a,x"" + 42a, ,

Bài tập 21 : Cho đa thức Pe R[x] bac lé

Chứng minh rằng tồn tại 2 số a< 0 và b>0 để P(a) P(b) <0

Giai :

a \_ 2m+l xem

Ta có : P(x) = ayX +a + +4,,, x+ amet

22

Với a, #0, degP =2m +L lẻ :

- Xét a, >0 thi lim P(x)=~œ nên tồn tạ a<0 để P(a)<0 và x¬~x

lim P(x)= +œ nên tồn tại b>0 dé P(b)> 0

° Kế quả : Nếu đa thức P(x) >0, Vx hoặc P(x)<0, Vx thi degP `

- P(a)>0 va lim P(x)=-œ nên tồn tại b>0để P(b)<0

b) Với các số nguyên D q Ta có :

23

Bài tập 24 : Cho f(x) =(x—x,)(x-x,) (x-x,), biểu diễn cdc téng sau:

Va: P(2x) =8ax? + 4bx? +2cx +d

Tacé: P(2x)=P'(x).P(x)

© §ax) +4bx? +2cx+d= (Bax? +2bx +©)(6ax +2b) `

c> 8ax” + 4bx” +2cx + d= 18a2x” + 1§abx? + (4b + 6ac) x + 2be

Đồng nhất hệ số :

|

Hab = 40 > Jb=0 4b + 6ac = 2C c=0

Do đó : P(x)= `)

Vay : P(x)=0 hoac PO) on) ;

Bài tập 26: a) Chứng minh: rằng không tồn tại đa thức P(x) để voi VxeR

| Gia sir deg P(x) =n 21 Khi đó, nếu n lẻ thì deg(P(x)~ P”(x))=n

là số lẻ, từ đó P(x)—P”(x)<0 với ít nhất một điểm x c R, nếu n chẩn thì

deg(P'(x)—P”(x))=n—1 là số lẻ, từ đó P'(x)—P“(x)<0 với ít nhất một

điểm xlR Như vậy, trong cả hai trường hợp n lẻ và n chắn, đa thức P(x)

không thoả mãn hoặc bất đẳng thức (2) hoặc bất đẳng thức Œ).,

Vậy a) được chứng minh xong

b) Chon P(x)=x?+3 Khi đó với mọi x thuộc Ñ, ta có

P(x)—P'(x)=x?~2x+3>0 va P(x)-P’(x) =x’? +1>0 nghia 1a khẳng

định trên không còn đúng nữa

26

Và : P(2x)=§8ax” +4bx? +2cx +d

Ta có: P(2x)=P'(x).P“(x)

> Bax? +4bx? +2cex +d = (3ax? +2bx +c)(6ax + 2b) |

© 8ax” +4bx? +2cx + d= 18a2x? + 1§abx? +(4b? +6ac)x +2bc

Đồng nhất hệ số :

18a?=8a ` =5

s

cạp =áp => Jb=0 4bˆ +6ac =2c c=0

Do đó : P(x) = 1x3,

Vậy : P(x)=0 hoặc PO) ;

Bai tap 26: a) Ching minh: rang khong tồn tại đa thức P(x) để với VxeR

(1) : P'(x) > P"(x) va (2): P(x) > P'(x),

b) Khẳng định trên còn đúng không nếu thay đổi bất đẳng thức (1)

bang bat dang thifc (1’): P(x) > P’(x)?

- (Cộng hoà Dân chủ Đức 1974)

a) Néu P(x) 1a hang s6 thi P’(x)=P"(x)=0, và bất đẳng thức (1)

không thoả mãn

Giả sử degP(x)=n >1 Khi đó, nếu n lẻ thì deg(P(x)~P”(x))=n

là số lẻ, từ đó P(x)-P"(x) <0 với ít nhất một điểm x e l8, nếu n chấn thì

deg(P'(x)~P”(x))=n—1 là số lẻ, từ đó P'(x)—P“(x)<0 với ít nhất một

điểm xe Như vậy, trong cả hai trường hợp n lẻ và n chắn, đa thức P(x)

không thoả mãn hoặc bất đẳng thức (2) hoặc bất đẳng thức Cd)

Vậy a) được chứng minh xong

b) Chọn Ƒ(x)=x”+3 Khi đó với mọi x thuộc RÑ, ta có

P(x)—P’(x) =x? -2x+3>0 va P(x)-—P"(x) =x’? 4+1>0 nghĩa là khẳng

định trên không còn đúng nữa

26

- Bài tập 27 : Có tôn tại hay không đa thức P(x) và Q6) s sao cho :

bằng œ, hoặc là tỉ hệ số ay / by của bậc cao nhất của x trong P(x) va Q(x)

Mặt khác với N >Ô tuỳ ý, ta CÓ :

Do đó : y=x—6 hay y=x—7 hay y=x—8

Giải ra ta được : x=lloy=3;

x=l2>y=5;

x=25->y=l6

‘Vay giá trị cua x la: 11, 12, 25,

Bai tập 29 : Cho day đa thức ( P.) sau đây :

Do đó dãy P, (x) tăng và bị chan 1 nén hdi tu vé f(x)> > 0

Chuyển qua giới hạn :

P., (x)= P.04 n+!

thì f?(x)=x=f(x)= Vk

‘Do d6: Vx —P, (x) 20, Vx €[0;1] va Wn

4 PHEP CHIA DA THUC UGC — BOI

— -Cho hai đa thức f,g e IR[x] thì tồn tại cặp đa thức q(x) và r(x) duy

nhất thuộc J®[x]: f(x)= g(x).q(x)+r(x) |

Với : deg r(x)< deg g(x)

Ta goi q(x) và r(x) lan lượt là thương và số dư trong phép chia f(x)

cho g(x) Néu r(x)=0 thì ta nói f(x) chia hét cho g(x), hay

g(x) chia hết f(x) hay f(x) là bội của g(x) hay g(x) là ước của

f(x),ta kí hiéu fig hay glf

4.2 Ước chung lớn nhất :

Một đa thức d(x) chia hét hai đa thức f(x) và g(x) gọi là ước chung

của f(x) va g(x)

Nếu d(x) là một ước chung chia hết cho mọi ước chưng khác của 2 đa

thức f(x) và g(x) ding thì ta gọi d(x) là ước chung lớn nhất của

f(x) va g(x) R6 ràng các ước chung lớn nhất sai khác hằng số, để

bảo đảm tính duy nhất ta có thể quy ước chọn ước chung lớn nhất

đạng chuẩn tắc (hệ số cao nhất bằng ])

Viết tắt ƯCLN, kí hiệu :

_ d(x)=(f(x),g())

4.3 Thuật toán Ơ-clít để tìm ƯCLN :

Ta chia liên tiếp :

- f(x)= g(x).q(x)+r(x)

g(x)=r(x).q, (x) +14, (x) r(x)=4, (x).q, (x) +4 (x)

r(x) =n, (x).q, (x) tn, (x)

1, (=r, Ox).qy,, (x)

Thì : (f(x), g(x))=4," (x) voi 1° (x) = e., (x) monic

3]

© Kết quả : Nếu d(x)=(f(x),g(x)) thì khi đó tồn tại hai đa thức

u(x),v(x)elR[x] sao cho:

f(x).u(x)+g(x).v(x)=đ(x)

Hơn nữa ta có thể chọn degu < degg và deg v < deg f

Bai tap 31: Cho P(x)=x+x° 4x7 tx7 4x7 $x,

Tìm dư của phép chia P(x) cho: -

x =-1:P(-1)=-a+b=-6

Do đó : a=6,b=0

Vậy dư r(x)= 6x

© Kết quả ; Dư của đa thức P(x) chia cho.x—a là P(a)

Bài tập 32 : Cho đa thức f(x) và hai số a, b phân biệt Biết dư của f(x) chia cho x—a là A, chia cho x—b là B

a) f(x) = 6x* —7x* +ax? +3x +2 chia hét cho x? -x +b

b) f(x) =x*+ax? +bx+c chia hét cho x-—2 vachia x? -1 du 2x

x

33

` Giải : | a) Lay da thitc f(x) = 6x’ —7x* +.ax* +3x +2 chia cho g(x) = x7 -x+b

Khi b=-1 thi a=~7 |

Khi b =-2 thi a=—12

© Vay: (x) = 6x? - 7x4 - 7x? +3x +2 va a(x) = x°—x~]

có f(x)=6x*—7x° -12x”+3x+2 và g(x)=xÌ—x~2

b) Tac6é: f(x) =x? +ax? +bx +e

Vi f(x) chia hét cho x—2 nên f(2)= 8+4a+2b+c= 0

Do f(x) chia cho x?-1 thì dư 2x nên g(x) =f(x)-2x chia hết cho

(x? -1),

Suy ra: g(1)=1+a+(b- 2)+c= Ohayatbte=l

Và: g(—l)=~l+a-b+2+c= 0 hay a—b+c = —I