BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC TÍC H PHÂN

CÁC BÀI TOÁNMấy bài ở đây chủ yếu tớ sưu tầm, với cả dịch lại vài cuốn ở nước ngoài, khỏi dài dòng, cáccậu theo dõi dưới đây nha ;P Lời giải sẽ được tớ post trong một ngày đẹp trời :| Cò

CÁC BÀI TOÁN

Mấy bài ở đây chủ yếu tớ sưu tầm, với cả dịch lại vài cuốn ở nước ngoài, khỏi dài dòng, cáccậu theo dõi dưới đây nha ;P Lời giải sẽ được tớ post trong một ngày đẹp trời :| Còn khi sớmhay muộn thì tớ không biết :(

Câu 1.Cho 2 số thực a, b thỏa mãn a<b, a+b =ab+4 Tìm giá trị nhỏ nhất của tích phân

I =

Z b a

x

2− (a+b) +ab

dx

Câu 2.Cho hàm số y = f (x)có đạo hàm liên tục trên[0; 1]thỏa mãn f (1) =0 và

Tính giá trị của tích phân

Tính giá trị của biểu thức f(1)

Câu 7.Cho hàm số f (x) > 0 và có đạo hàm f0(x) > 0 liên tục trên[0; 1], thỏa mãn

Chứng minh rằng lim

x →+ ∞

ϕ0(x)[ϕ(x)]2 =0

Câu 16.Giả sử A là lớp các hàm f(x) khả vi liên tục trên[0; 1], f(0) = 0, f(1) = 1 Chứngminh rằng

inf

f ∈ A

Z 1 0

f0(x) − f(x)

tan4xcos 2xdxvới 0<t <

Câu 28.Cho tích phân In =

q

f (x)dx>a

Z b 0

q

f (x)dx

Z 1 n

cosn+2sinnx

!

dx, n∈ Z+

Câu 37.Cho hàm số f (x)xác định bởi

x → 0 +

sin x

x , x =0Chứng minh bất đẳng thức tích phân

Z π

0 ex2sin nxdx

2

Câu 45.Cho tích phân In =

Z 4

0 xn√4−xdx, n ∈N∗.Tính In và chứng minh rằng In <22n+3(2ne)−12

1+n+

1

2+n+ .+

12n



Câu 47.Chứng minh bất đẳng thức tích phân

6n2+2n+16n2 <

Z 1 0

Câu 56.Cho f liên tục trên[0; 1], 0≤ f (x) ≤1∀x∈ [0; 1] Chứng minh rằng

Câu 57.Cho số tự nhiên p >1 và f , g là các hàm số liên tục trên[a; b] Chứng minh rằng

Z b a

| (x) +g(x)|pdx

1 p

6

Z b a

| (x)|pdx

p

+

Z b a

Câu 60.Cho 2 hàm số f (x), g(x)liên tục trên đoạn[a; b] Chứng minh rằng

• Nếu f (x), g(x)là 2 hàm cùng đồng biến hoặc cùng nghịch biến thì ta có bất đẳng thức

b−a

Z b

a f(x)dx

 1

b−a

Z b

a f(x)dx

 1

Câu 63.Cho hàm số f (x)thỏa mãn

Câu 69.Cho hàm số f (x) ≥0 là hàm giảm và f (x) +x f0(x) ≥0 với mọi x ∈ [a, b] Chứngminh rằng

Hãy tổng quát bài toán khi thay đoạn[0, 1]bởi đoạn[a, b]

Câu 73.Cho hàm số f (x)liên tục, f0(x)liên tục trên[0, 1]và f (0) = 0 Chứng minh rằng

Câu 76. Cho đa thức f(x) = Ax3+Bx2+Cx+D thỏa mãn A < 0, B2−3AC ≤ 0 Chứngminh rằng

Hãy tổng quát bài toán khi thay đoạn[0, 1]bởi đoạn[a, b]

Câu 77.Cho hàm số f (x) liên tục trên[0; 1] thỏa mãn a f (b) +b f (a) ≤ 2018

π với mọi a, bthuộc đoạn[0; 1] Tìm giá trị lớn nhất của tích phân

Câu 79.Cho hàm số f (x)liên tục trênR, có đạo hàm cấp hai thỏa mãn x f00(x) ≥ ex+xvà

f0(2) =2e, f (0) =e2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức f (2)?

Câu 80.Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f0(x) > 0,∀x ∈ [0; 8] và

Z 8

0 f (x)dx = 10 Tìmgiá trị lớn nhất của hàm số g(x) = 1

I =

Z 1 0

Câu 83.Cho hàm số f (x)có đạo hàm liên tục trên[0; 1], thỏa f0(x) ≥ f (x) >0, ∀x∈ [0; 1].Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Câu 84.Cho hàm số f (x)nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn[0; 1].

[f(x)]3[f0(x)]2dx= 1

64Tính giá trị của tích phân

f0(x) dx =1 Tìm giá trị lớn nhất của| (x)|trên[0; 1]?

Câu 89.Cho f(x)là một hàm liên tục trên đoạn[0; 1]thỏa mãn đồng thời

16 f(x) 62∀x ∈ [0, 1],

Z 1

0 f(x)dx= 3

2

Chứng minh bất đẳng thức tích phân

2

3 6

Z 1 0

dx

f(x) <

34

Câu 90.Cho f(x) là hàm liên tục cùng đạo hàm của nó trên đoạn[a; b] Giả sử f(a) = 0 và

Z b

a f(x)dx

f0(x) ... data-page="6">

Câu 37.Cho h? ?m số f (x)xác định bởi

x → +

sin x

x , x =0Chứng minh bất đẳng thức tích phân

Z π... data-page="13">

Chứng minh bất đẳng thức tích phân< /p>

2

3

Z 1 0

dx

f(x) <

34

Câu 90.Cho f(x) h? ?m liên tục đạo h? ?m đoạn[a;... data-page="17">

Câu 116.Cho h? ?m f : [0, 1] →R liên tục thỏa mãn

Z 1

0 x f(x)dx =0Chứng minh bất đẳng thức tích phân

Z 1