Một Vài Đề Thi

Chứng minh: Tứ giác A’B’OC’ là tứ giác nội tiếp được trong đường tròn... Chứng minh : Khi A thay đổi trên đường kính MN, thì điểm C thuộc một đường tròn cố định.. Chứng minh : Khi A thay

Giáo Viên : Hà Gia Có Trang 1 Trường THCS Lý Thường Kiệt – Phú Vinh - Định Quán - Đồng Nai

ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN – LƯƠNG THẾ VINH – TỈNH ĐỒNG NAI

NĂM HỌC 2004 Câu 1 Giải phương trình : ( )

2 2

2 3 1

x x

Câu 3 Giải hệ phương trình sau :

2 2 2

1 0 0

Chứng minh: Tứ giác A’B’OC’ là tứ giác nội tiếp được trong đường tròn

GỢI Ý BÀI GIẢI

Câu 1 Giải phương trình : ( )

2 2

2 3 1

x x

x

+Điều kiện: x ≠ − 1

x t x

= + , Ta được phương trình : t2 + 2t – 3 = 0 (*) Phương trình (*) có dạng : a + b + c = 1 + 2 + (– 3 ) = 0 Vậy phương trình (*) có nghiệm : t1 = 1 ; t2 = c/a = – 3 ;

+ Với : t = 1, ta được phương trình :

này ta được hai nghiệm : 1 1 5; 2 1 5

x = + x = − ( Nhận )+ Với : t = – 3 , ta được phương trình :

Kết luận : Phương trình đã cho có tập nghiệm là : S 1 5 1; 5

Câu 2 Bố tôi hơn mẹ tôi 2 tuổi Trước đây khi tổng số tuổi của Bố mẹ tôi là 60, thì

tuổi của tôi là 6 tuổi, tuổi của anh tôi là 8 tuổi Hiện nay, tổng số tuổi của Bố Mẹ tôi gấp 2 lần tổng số tuổi của hai Anh em tôi Hiện nay tuổi Bố và Mẹ tôi là bao nhiêu ?

Khi tổng số tuổi của Bố và Mẹ bằng 60 thì tổng số tuổi của hai Anh Em bằng 14.Gọi x là số năm từ khi Bố Mẹ có tổng số tuổi bằng 60 cho đến nay Vì mỗi năm tổng của số tuổi của Bố Mẹ tăng 2 tuổi và tổng số tuổi của hai Anh Em cũng tăng 2 tuổi

Theo đề ta được : 60 + 2x = 2( 14 + 2x)  2x = 32  x = 16

Vậy hiện nay tổng số tuổi của Bố Mẹ bằng : 60 + 2 16 = 92

Vì Bố hơn Mẹ 2 tuổi : Vậy hiện nay Bố 47 tuổi và Mẹ 45 tuổi

Kết luận : Bố hiện nay 47 tuổi ; Mẹ hiện nay 45 tuổi

Câu 3 Giải hệ phương trình sau :

2 2 2

Thay vào ( 1) ta được : x2 = 1 => x = ± 1

Kết luận : Hệ phương trình đã cho có nghiệm : (– 1; 0 ; 0) ; ( 1; 0 ;0)

Giáo Viên : Hà Gia Có Trang 3 Trường THCS Lý Thường Kiệt – Phú Vinh - Định Quán - Đồng Nai

Câu 4 Cho tam giác vuông cân tại A Lấy điểm I trong tam giác sao cho :

IBC 15 ; ICB 30 = = Chứng minh tam giác AIC là tam giác cân

* Dựng tam giác đều BCD sao cho A và D nằm cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng BC

Câu 5 Cho hình bình hành ABCD có góc B là góc tù, và các cạnh đều nhỏ hơn

hai đường chéo Gọi O là giao điểm của hai đường chéo Gọi B’, C’, A’ là chân

các đường vuông góc hạ từ D đến các cạnh AC; AB; BC

Chứng minh: Tứ giác A’B’OC’ là tứ giác nội tiếp được trong đường tròn

Hướng dẫn :

* Chứng minh các tứ giác :A’B’CD và C’DB’B nội tiếp

=> Tam giác C’OB cân tại O

B

A

C

D A'

B'

Câu 1 Giải hệ phương trình sau:

3 3 2 2

1

14 2

y x

1/ Xác định giá trị lớn nhất của chu vi tam giác MBN;

2/ Trên OB lấy điểm C sao cho OC = AB Chứng minh : Khi A thay đổi trên đường kính MN, thì điểm C thuộc một đường tròn cố định

Câu 4 Cho phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0, Với a, b, c là các số nguyên thay đổi, a khác 0 Xét giá trị nhỏ nhất của biệt thức ∆ = − b 2 4ac, mà ∆ > 0 và không phải là

số chính phương Tìm giá trị nhỏ nhất của ∆

GỢI Ý BÀI GIẢI

Câu 1 Giải hệ phương trình sau:

3 3 2 2

2

y x

3 3

2 2

x x

Vậy t và y là 2 nghiệm của phương trình : k2 – 2k – 1 = 0 (*)

Giải phương trình (*) ta được hai nghiệm : 1+ 2 ; 1− 2

Hệ phương trình đã cho có nghiệm là : 1 2; 1 ; 1 2; 1

Giáo Viên : Hà Gia Có Trang 5 Trường THCS Lý Thường Kiệt – Phú Vinh - Định Quán - Đồng Nai

Câu 2 Cho x, y, z, t thỏa mãn : x y z t≥ ≥ ≥ ≥ 0 Chứng minh:

1/ Xác định giá trị lớn nhất của chu vi tam giác MBN;

2/ Trên OB lấy điểm C sao cho OC = AB Chứng minh : Khi A thay đổi trên đường kính MN, thì điểm C thuộc một đường tròn cố định

1/ Ta có tam giác MBN vuông tại B, nên : MB2 + NB2 = MN2 = 4R2

Ta có : 2( NB2 + MB2 ) ≥ ( MB + NB)2 => 8R2 ≥ ( NB + MB )2

=> 2R 2 NB+MB≥Suy ra :

MN + MB + NB 2R 2R 2≤ +Vậy chu vi của tam giác MBN đạt giá trị lớn nhất bằng : 2R 2R 2+ 2/ * Gọi D là điểm chính giữa cung MN => D cố định và OD ⊥ MN

* Do OD⊥MN và AB ⊥ MN suy ra : OD// AB => ·OBA BOD= ·

* Xét ∆OAB và ∆OCD : OA =OC (gt); ·OBA COD= · ; OB = OD = R

Suy ra : ∆OAB = ∆OCD ( c – g – c)=> ·OAB DCO= · => ; ·DCO 90= 0

Do hai điểm O và D cố định và ·DCO 90= 0 => Điểm C thuộc đường tròn đường kính OD

D

C B

Câu 4 Cho phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0, Với a, b, c là các số nguyên thay đổi,

a khác 0 Xét giá trị nhỏ nhất của biệt thức ∆ = − b 2 4ac, mà ∆ > 0 và không phải là số chính phương Tìm giá trị nhỏ nhất của ∆

Hướng dẫn :Vì a; b và c là các số nguyên => ∆ = − b 2 4ac là số nguyên Vậy ∆là

số tự nhiên lớn hơn 0 và không chính phương

Vậy ∆ chia 4 dư 1

Suy ra : ∆ có dạng 4Q hoặc 4Q + 1( Trong đó Q là số tự nhiên )

Để ∆ có Giá trị nhỏ nhất thì Q phải có giá trị nhỏ nhất

+ Nếu Q = 0 ta được:

01

∆ =



∆ =

+ Nếu Q = 1 ta được :

45

∆ =



∆ =

Vậy Giá trị nhỏ nhất của ∆ là bằng 5

1 3

4 2

a/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba đường thẳng (d); (d1) và (d2) lần lượt

có phương trình là : y = x – 4 ; x + 2y = – 2 và y = – 2x+ 2

Chứng minh rằng : Nếu điểm M thuộc (d) thì M cách đều (d1) và (d2)

b/ Tìm tất các bộ ba số nguyên (u; v; t) thỏa :

u2 + v2 + t2 = u + v + t Câu 3 Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M tùy ý thuộc cạnh AB ( M không trùng với A và không trùng với B) Kẻ MN vuông góc với BC ( N thuộc BC) Biết P; Q lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng BM và CM

a/ Chứng minh : APNQ là tứ giác nội tiếp;

b/ Với điều kiện nào của tam giác ABC ( Vuông tại A) để tồn tại điểm M sao cho tứ giác APNQ là hình thang

Câu 4 Cho tứ giác lồi ABCD có AC + AD ≤ BC + BD Chứng minh: AD < BD

Loại vì ∆> 0Loại vì ∆ không chính phương Loại vì ∆không chính phương Thỏa điều kiện

Giáo Viên : Hà Gia Có Trang 7 Trường THCS Lý Thường Kiệt – Phú Vinh - Định Quán - Đồng Nai

GỢI Ý BÀI GIẢI

1 3

4 2

8

x< ⇔ x− < ⇔ x− = − +x , ta được phương trình :11x2 – 16x + 18 – 18x + 6 = 0  11x2 – 34x + 24 = 0 (*)

Giải phương trình (*) ta được : 1 17 5 2

Giải phương trình (**) ta được : 1 1 133

11

x = + ( Nhận);

2

1 13311

Từ (*) => y + 3x + 2xy + 2 = 0 <=> 3y + 9x + 3x.2y + 6 = 0

<=> 3y + 3(5y + 2) + 2y(5y + 2) + 6 = 0 <=> 3y + 15y + 6 + 10y2 + 4y + 6 = 0

<=> 10y2 + 22y + 12 = 0 <=> 5y2 + 11y + 6 = 0 (**)

Giải phương trình (**) ta được :

Câu 2

a/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba đường thẳng (d); (d1) và (d2) lần lượt

có phương trình là : y = x – 4 ; x + 2y = – 2 và y = – 2x+ 2

Chứng minh rằng : Nếu điểm M thuộc (d) thì M cách đều (d1) và (d2)

b/ Tìm tất các bộ ba số nguyên (u; v; t) thỏa :

u2 + v2 + t2 = u + v + t (1)

Gợi ý

a/ * Gọi A là giao điểm của (d) và ( d2),

Vậy tọa độ của A là nghiệm của hệ :

* Gọi B; D; và C lần lượt là giao

điểm của (d); (d1) và (d2) với trục Ox

Gọi H là hình chiếu của A trên Ox

=> AB là phân giác góc ngoài của tam giác ADC

Suy ra các điểm thuộc AB cách đều AD và AC hay các điểm thuộc (d) cách đều (d1)

và (d2) (Đpcm)

b/ *Xét đa thức f(x) = 4x2 – 4x với x là số nguyên

f(x) = ( 2x – 1)2 – 1 Vì x là số nguyên nên ta có : 2x ≠ 1 => 2x – 1 ≠ 0

=> ( 2x – 1) 2 > 0 và 2x – 1 là số nguyên, ta được :( 2x – 1)2 ≥ 1  ( 2x – 1)2 – 1 ≥ 0 hay f(x) ≥ 0  x2 – x ≥ 0 với mọi x là số nguyên

*Áp dụng vào bài toán ta được :u2 − ≥u 0; v2 − ≥v 0; t2 − ≥t 0; (*)

Giáo Viên : Hà Gia Có Trang 9 Trường THCS Lý Thường Kiệt – Phú Vinh - Định Quán - Đồng Nai

Câu 3

Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M tùy ý thuộc cạnh AB ( M không trùng với A và không trùng với B) Kẻ MN vuông góc với BC ( N thuộc BC) Biết P; Q lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng BM và CM

a/ Chứng minh : APNQ là tứ giác nội tiếp;

b/ Với điều kiện nào của tam giác ABC ( Vuông tại A) để tồn tại điểm M sao cho tứ giác APNQ là hình thang

a/ Áp dụng định lý đường trung tuyến trong tam giác vuông, đối với các tam giác vuông : BNM ; CMN và AMC, ta được :

Vậy tứ giác AQNP nội tiếp được đường tròn

b/ * Để tồn tại điểm M, tức là M phải nằm giữa hai điểm A và B => ·MCB ACB< ·

* Vì tứ giác AQNP nội tiếp , vậy nếu tứ giác AQNP là hình thang thì là hình

thang cân Suy ra : ·PAQ APN 2.ABC= · = ·

Cho tứ giác lồi ABCD có AC + AD ≤ BC + BD Chứng minh: AD < BD

* Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

* Xét tam giác ADO : AD < AO + OD

* Xét tam giác BOC : BC < BO + OC

Suy ra : AD + BC < AO + DO + BO + CO

=> AD + BC < AC + BD (1)Theo đề : AC + AD≤ BC + BD (2)Cộng theo vế của bất đẳng thức (1) và (2), ta được :

AD + BC + AC + AD < AC + BD + BC + BD  2AD + AC + BC < 2BD + AC + BC  AD < BD (Đpcm)

N

M

C B

A

O

B A

Câu 4.

Tìm tất cả các số nguyên k u v

v u

= + ( Với u và v là các số nguyên)Câu 5

Cho tam giác vuông ABC có AB > AB và I là trung điểm của cạnh huyền BC; Biết D là điểm thuộc cạnh AB ( D không trùng A và không trùng với B) Gọi

M là điểm đối xứng với D qua BC Gọi N là điểm đối xứng với D qua I

Chứng minh rằng :B; C; M và N cùng thuộc một đường tròn

Câu 6

Cho tam giác đều EFG có EF = a

1/ Tính theo a thể tích của hình tạo thành khi quay tam giác EFG vòng quanh cạnh EF

2/ Xác định các điểm E1; F1 và G1 lần lượt thuộc các đoạn EG, GE và EF sao cho tam giác E1F1G1 là tam giác đều và có diện tích nhỏ nhất

GỢI Ý BÀI GIẢI

Câu 1 Giải phương trình sau : x x3 − 22 3 x2 + 49 0 =

Gợi ý :

( )4 ( )2

2 3

3

3 3

Giáo Viên : Hà Gia Có Trang 11 Trường THCS Lý Thường Kiệt – Phú Vinh - Định Quán - Đồng Nai

* Với : t1 = −11 6 2

3 3

3

3 3

Vậy tập nghiệm của P/ trình :S = {45 29 2+ ; 45 29 2− − ;45 29 2− ; 45 29 2− + }

Câu 2 Cho đa thức Q(x) = 2x3 – ( 2m + 3n) x2 + nx + 3 ( biến số là x) Tìm m và n biết : Q(x) chia hết cho đa thức ( 1 + 2x) và x = 3là một nghiệm của Q(x)

* Tọa độ giao điểm của (P) và (d1) thoả phương trình :

Giải phương trình trên ta được: x1= –2;x2= – 6

Vậy (d1) và (P) cắt nhau tại hai điểm A 2;4

Vậy (d2) và (P) cắt nhau tại hai điểm : C 1;1

3

− 

  ; D ( )3;3

* Đường thẳng AC đi qua hai điểm A và điểm B có phương trình là : 2

ta được n2 chia hết cho m2 hay n chia hết cho m Đặt n = pm ( với p là số nguyên), ta được : k2 – 4 = p2  k2 – p2 = 4  ( k – p)( k+ p) = 4

Ta được các trường hợp sau :

Cho tam giác vuông ABC có AB > AB và I là trung điểm của cạnh huyền BC; Biết

D là điểm thuộc cạnh AB ( D không trùng A và không trùng với B) Gọi M là điểm đối xứng với D qua BC Gọi N là điểm đối xứng với D qua I

Chứng minh rằng :B; C; M và N cùng thuộc một đường tròn

Giáo Viên : Hà Gia Có Trang 13 Trường THCS Lý Thường Kiệt – Phú Vinh - Định Quán - Đồng Nai

Gợi ý

* Do M đối xứng với D qua BCNên ta được : ·DBI MBC= ·

* Do : DI = IN và BI = IC Nên tứ giác BDCN là hình bình hành.=> ·CNI BDI= ·

Câu 6 Cho tam giác đều EFG có EF = a

1/ Tính theo a thể tích của hình tạo thành khi quay tam giác EFG vòng quanh cạnh EF.2/ Xác định các điểm E1; F1 và G1 lần lượt thuộc các đoạn EG, GE và EF sao cho tam giác E1F1G1 là tam giác đều và có diện tích nhỏ nhất

Gợi ý

1/ Học sinh tự tính toán (Đáp số : Thể tích hình cần tính bằng :

3V

4

a π

=2/ * Ta có : · 0 · · 0

1 1 1 1 1 1 1

G FE =60 ⇔ G FE+GFE =120Mặt khác : · · 0

1 1 1 1

G FE+EG F =120Suy ra : · · · ·

1 1 1 1 1 1 1 1

GFE =EG F ⇔ GE F =EFGSuy ra : ∆GFE1 1 = ∆G EF1 1( g c g− − ) ⇔ GF1 =G E1

=> EF1 + EG1 = EF1 + GF1 = GE = a

Tương tự ta được : ∆GFE1 1 = ∆FE G1 1Suy ra :

Vậy để diện tích tam giác G1E1F1 có giá trị nhỏ nhất thì tích : GF1 EF1 có giá trị lớn nhất Ta có : ( GF1 + EF1)2 ≥ 4GF1.EF1  ( )2 2

Cho tam giác ABC vuông ở C CD là đường cao của tam giác Đường tròn (T) đường kính CD cắt AC và BC theo thứ tự tại E và F BE cắt (T) tại điểm M khác E AC cắt MF tại K EF cắt BK tại P

a/ Chứng minh rằng : B, F, M và P cùng thuộc một đường tròn;

b/ Với điều kiện nào của góc CAB thì ba điểm D; M và P thẳng hàng

Câu 5 Chứng nminh rằng nếu b, c là các số thực mà : 2 2 2 0

GỢI Ý BÀI GIẢI

Câu 1 Giải phương trình sau : x4 + 4x3 + 8x2 + 8x – 3 = 0

Giáo Viên : Hà Gia Có Trang 15 Trường THCS Lý Thường Kiệt – Phú Vinh - Định Quán - Đồng Nai

Câu 2 Cho biết phương trình : x2 + px + q = 0 có hai nghiệm dương x1 < x2

Lập một phương trình bậc hai mà các nghiệm là : x x1 ( 2 − 1) và x2 (1 −x1)

a/ Chứng minh rằng : B, F, M và P cùng thuộc một đường tròn;

b/ Với điều kiện nào của góc CAB thì ba điểm D; M và P thẳng hàng

a/ * Do DC là đường kính của đường tròn (T)nên ta được : ·CED CFD 90= · = 0

Suy ra tứ giác CEDF là hình chữ nhật

=> EF là đường kính của đường tròn (T)

b/ Giả sử D; M và P thẳng hàng, ta được góc FMP là góc ngoài của tứ giác EFMD

Mặt khác ta có tứ giác DEFM nội tiếp được, nên : ·FMP FED= ·

* Ta có tứ giác BMFP nội tiếp được, nên : ·FMP FBP= ·

* Ta có tứ giác BECP nội tiếp được, nên : ·CEF FBP= ·

Suy ra : ·CEF FBP FMP FED= · = · = · ⇒CEF FED· = ·

Vậy EP là phân giác của góc CEB => ·CEF 45= 0 ⇒ACD 45· = 0 ⇒CAB 45· = 0

Câu 5 Chứng nminh rằng nếu b, c là các số thực mà : 2 2 2 0

− − − ,Thì : ( )2 ( 2) (2 2)2

E

D

C

B A

Giáo Viên : Hà Gia Có Trang 17 Trường THCS Lý Thường Kiệt – Phú Vinh - Định Quán - Đồng Nai

Cho x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình : x2 – 9x +10 = 0 Tính x1 −x2

Câu 2 Giải hệ phương trình sau : 2

Trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng a và b lần lượt có

phương trình : y= 3 2( 3 2x+ 1 ; ) y m x m= 2 − với x là biến số ( m là số khác 0)

Tìm các giá trị của m sao cho a song song với b

Câu 1 Cho x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình : x2 – 9x +10 = 0 Tính x1 −x2

Tìm các giá trị của m sao cho a song song với b

Để đường thẳng a song song với đường thẳng b thì :

( )2

2

3 3

3

22

2

m m

Gọi a là ƯC ( n8 + 1 ; n2 + 1) => n2 + 1 M d và n8 + 1 M d

Ta có : n8 + 1 = n8 – 1 + 2 = (n4) – 1 + 2 = ( n4 – 1) ( n4 + 1) + 2

= ( n2 – 1) ( n2 + 1) ( n4 + 1) + 2 Vì: n2 + 1 M d và n8 + 1 M d suy ra : 2 M d => d = 1; 2

Do n là số chẵn, nên n2 + 1 là số lẻ => n2 + 1 không chia hết chó 2 vậy d =1

Suy ra : ƯC ( n8 + 1 ; n2 + 1) = 1

Câu 5

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), Gọi d là tiếp tuyến tại B của đường tròn (O), biết d cắt tia AC tại điểm D; vẽ đường cao BE của tam giác BOD

1/ Chứng minh hai tam giác ABD và BCD đồng dạng và AD CD = BD2

2/ Chứng minh ACEO là tứ giác nội tiếp

Giáo Viên : Hà Gia Cĩ Trang 19 Trường THCS Lý Thường Kiệt – Phú Vinh - Định Quán - Đồng Nai

= AD.DC=BD

BD CD ⇔

b/ Xét ∆BDO vuơng tại B và cĩ đường cao BE :

ta được : DO DE = BD2suy ra : DO.DE = DA DCsuy ra : ∆DCE ∆DAO suy ra : ·DAO DEC= ·vậy tứ giác AOEC nội tiếp được (Đpcm)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

GD & ĐT HUYỆN ĐỊNH QUÁN

ĐỀ THI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2008 – 2009 THỜI GIAN : 150 PHÚT

Bài 1.

Bạn An viết một số tự nhiên có hai chữ số mà tổng các chữ số của nó bằng 14 Bạn An đem số đó chi 8 được số dư là 4 , nhưng chia 12 được số dư là 3

a/ Chứng minh rằng: Bạn an đã làm sai ít nhất một phép toán

b/ Nếu phép chia cho 8 là đúng thì phép chia thứ hai cho 12 phải có số dư là bao nhiêu? Tìm số bị chia

a/ Chứng minh rằng : R = R1 + R2 ;

b/ Chứng minh rằng : MCDO là hình thang cân;

c/ Khi P chuyển động, điểm M chuyển động trên đường tròn cố định nào? Vì sao ?

d/ Chứng minh rằng : khi P chuyển động đường thẳng PM luôn đi qua điểm N cố định Xác định vị trí của P để tích PM PN đạt giá trị lớn nhất Tính giá trị lớn nhất của tích PM PN theo R

a/ Chứng minh rằng: Bạn an đã làm sai ít nhất một phép toán

b/ Nếu phép chia cho 8 là đúng thì phép chia thứ hai cho 12 phải có số dư là bao nhiêu? Tìm số bị chia

Bài Giải

a/ Gọi số cần tìm là n :

* Vì số đó chia 8 dư 4, nên ta được: n = 8q + 4(Với q là số tự nhiên)Vậy n là số chẵn

* Vì số đó chia 12 dư 3,nên ta được:n =12k + 3(Với k là số tự nhiên) Vậy n là số lẻ

Điều này vô lý Vậy bạn An đã làm sai một phép toán

b/ * Nếu phép chia 8 là đúng ta được : n = 8q + 4 = 4( 2q +1)

Vì tổng các chữ số của n bằng 14 => n chia 9 dư 5 Đặt n = 9k + 5

( k < q và là số tự nhiên ) Ta được :

Giáo Viên : Hà Gia Cĩ Trang 21 Trường THCS Lý Thường Kiệt – Phú Vinh - Định Quán - Đồng Nai

Đặt : A = x+1 và B = x2 − +x 1 Ta được :

A2 = x + 1 ; B2 = x2 – x + 1 => A2 + B2 = x2 + 2 và AB= x3 +1 Khi đó :

(1) => 2 ( A2 + B2 ) = 5 AB  ( A – 2B) ( 2A – B) = 0

=> A = 2B hoặc B = 2A

* Nếu A = 2B  A2 = 4B2, Ta được phương trình :

x + 1 = 4x2 – 4x + 4  4x2 – 5x + 3 = 0 ( Phương trình này vô nghiệm)

* Nếu B = 2A  B2 = 4A2, Ta được phương trình:

x2 – x + 1 = 4 ( x +1)  x2 – 5x – 3 = 0 Giải phương trình ta được :