Từ đó suy ra : - Nếu hai đờng tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đờng nối tâm.. - Nếu hai đờng tròn cắt nhau thì đờng nối tâm là đờng trung trực cua dây chung.. Các dạng bài tập
Trang 1Trờng THCS An Đà
Vị trí tơng đối của hai đờng tròn
Kiến thức cơ bản
1 Tính chất đờng nối tâm
Đờng nối tâm là trục đối xứng của hình tạo bởi hai đờng tròn Từ đó suy ra :
- Nếu hai đờng tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đờng nối tâm
- Nếu hai đờng tròn cắt nhau thì đờng nối tâm là đờng trung trực cua dây chung
2 Sự liên hệ giữa vị trí của hai đờng tròn với đoạn nối tâm d và các bán kính R và r
* Hai đờng tròn tiếp xúc nhau
- Tiếp xúc ngoài
- Tiếp xúc trong
1
d = R + r
d = R - r
* Hai đờng tròn không giao nhau
- ở ngoài nhau
0
d > R + r
d < R – r
3 Giao điểm của hai tiếp tuyến chung ngoài , giao điểm của hai tiếp tuyến chung trong (nếu có) đều nằm trên đờng nối tâm
Các dạng bài tập
Dạng 1: Các bài toán cho hai đờng tròn tiếp xúc nhau
Dạng 2 :Các bài toán cho hai đờng tròn cắt nhau
Dạng 3 : Xác định vị trí tơng đối của hai đờng tròn khi biết hệ thức giữa d với R , r và ngợc lại Dạng 4: Chứng minh hai đoạn thẳng trên cùng một day cung bằng nhau
Luyện tập:
Bài tập 1:
Chứng minh
A
OB = OA ( cùng bằng bán kính tâm O)
Bài tập 2:
c1
j 2 2 1
2
1
O /
O
A
C
B
y
x
B
Trang 2Trờng THCS An Đà
Cho hình vuông ABCD Vẽ đờng tròn (D;DC ) và đờng tròn (O) đờng kính BC , chúng cắt nhau tại một điểm thứ hai là E Tia CE cắt AB tại M , tia BE cắt AD tại N Chứng minh rằng
a) N là trung điểm của AD
b) M là trung điểm của AB
Chứng minh :
a)Gọi I là giao điểm của OD với CE , theo tính chất đờng nối tâm OD ta có
Ta có OI là đờng trung bình của tam giác CEB
Suy ra OI // BE
Vậy N là trung điểm của AD
b) Chứng minh M là trung điểm của AB
=> BM = OC =
2
1
BC =
2
1
AB Vây M là trung điểm của AB
Bài tập 3:
lần lợt tại B và C
a) Chứng minh tam giác ABC vuông
Chứng minh
a) Chứng minh tam giác ABC vuông
Giả sử tiếp tuyến chung tại A cắt BC tại N
Khi đó theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
Ta có :
NA = NB = NC
Suy ra tam giác ABC vuông tại A
(tính chất đờng trung tuyến
trong tam giác vuông )
b)Chứng minh AM là tiếp tuyến chung
Theo kết quả của câu a) ta có M trùng N
Vậy AM là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn
Cách 2: Sử dụng tính chất đờng phân giác của hai góc kề bù
=
C D
E M
N
I O
1 1
1
=
=
d
A
B
C MN
(1 2))
Trang 3Trờng THCS An Đà
Dựng đờng tròn tiếp xúc với một đờng tròn cho trớc tại một điểm cho trớc và tiếp xúc với một
đgt cho truớc không cắt đờng tròn đã cho
Phân tích :
Giả sử đờng tròn cho trớc là (O;R) có điểm A trên nó và đờng thẳng d không cắt (O)
Giả sử đã dựng đợc đờng tròn (I) thoả mãn các đk
Của đề bài
Ta thấy có hai trờng hợp xảy ra
TH1 : t // d
TH2 : t cắt d
Xét TH 1:
Vì (I) tiếp xúc với (O) tại A thuộc (O)
Mà t // d
Vậy I là trung điểm của AB
* TH 2 t cắt d ở E
Và IA = IB ( cùng bằng bán kính của (I))
Do đó I nằm trên tia phân giác của góc E
Vậy I là giao của tia phân giác góc E với
đờng OA vuông góc với đgt t tại A
Cách dựng
- Dựng tiếp tuyến At với đờng trìn (O)
- Nếu At // d thì lấy giao B của OA với
đgt d rồi lấy trung điểm I của AB và vẽ đờng tròn tâm I bk AI
- Nếu At cắt đgt d tại E ta kẻ phân giác của góc tEd cắt OA tại I Vẽ đờng tròn tâm I bk
AI
Bài tập 5:
Giải
Mặt khác AH = HC và AK = KD ( theo t/c đgk và dây cung )
O
I A
d E
t
O A I
d t
Trang 4Trờng THCS An Đà
Từ đó suy ra :
CH = HA = AK = KD
=> AC = AD = KD
rằng
Giải
tâm )
tâm ) Suy ra AB // CD ( cùng vuông góc với OI )
thẳng hàng
I
E O
B
A
Mặt khác do (I)cắt (O;R) tại A , B nên IO trung trực của đoạn thẳng AB ; E thuộc IO suy ra EA = EB dẫn đến tam giác EAB cân tại E
Bài tập 6:
Xét ram giác ABC có các góc B,C nhọn Các đờng tròn đgk AB , AC cắt nhau tại điểm thứ hai
H Một đgt d bất kì qua A và cắt hai đờng tròn nói trên lần lợt tại M và N
a) Chứng minh H thuộc cạnh BC
b) Tứ giác BCNM là hình gì
c) Gọi P , Q lần lợt trung điểm BC , MN Chứng minh bốn điểm A , H , P , Q thuộc một d-ờng tròn
d) Xác định vị trí của d để MN có độ dài lớn nhất
Giải
c1
I
B A
D C
O
Trang 5Trờng THCS An Đà
A
O / O
H B
N
M
Q
P
a)Chứng minh H , B , C thẳng hàng
Suy ra H , B , C thẳng hàng
b) Tứ giác BCNM là hình gì ?
BCNM là hình thang vuông
c)Chứng minh A , H , P , Q cùng nằm trên một đờng tròn
Vậy A , H , P , Q cùng nằm trên đờng tròn đgk AP
d) Xác định vị trí của d để MN có độ dài lớn nhất
Trong hình thang vuông BCNM có MN ≤ BC do đó MN lớn nhất bằng BC lúc này BC // NM
Bài tập 6:
Cho đờng tròn tâm O dây cung AB Trên đoạn AB lấy điểm P tuỳ ý vẽ các đờng tròn (C) và (D) đi qua P tiếp xúc với đơng tròn (O) theo thứ tự là A , B Hai dờng tròn â và (D) cắt nhau tại
điểm thứ hai N Chứng minh
a) tứ giác OCPD là hình bình hành
c) Khi P di động trên AB thì N chạy trên đờng nào ?
Giải
a)Theo t/c đờng nối tâm
Vì (C) tiếp xúc (O) nên A, C , O thẳng hàng
Vì (D) tiễp xúc (O) nên B , D , O thẳng hàng
Tam giác ACP và AOB cân =>
C/m tơng tự PD // OA
Vậy tứ giác CODP là hình bình hành
C
/ /
//
//
Trang 6Trờng THCS An Đà
K H
P
D C
B A
xét tam giác PON có HK là đờng trung bình => HK // NO
c) Khi P di động trên AB thì N chạy trên đờng nào ?
Bốn điểm N , O , A , B cùng nằm trên một đờng tròn
Vậy N nằm trên đờng tròn ngoại tiếp tam giác AOB
Trang 7Trờng THCS An Đà
Bài tập 7: ( đề 1 ôn tập và kiểm tra )
Cho tam giác ABC vuông tại A Vẽ các đờng tròn (B; BA) và (C ;CA)
a) chứng minh rằng hai đờng tròn (B) và (C) cắt nhau
b) Gọi D là giao điểm thứ hai của đòng tròn (B) và (C) Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của (B)
c) Vẽ đờng kính DCE của (C) Tiếp tuyến của đờng tròn (C) tại E cắt BA ở K Chứng minh rằng CK vuông góc với BC
d) Chứng minh rằng AD // DK
e) Tính diện tích tứ giác BDEK , biết AB = 4 cm , AC = 6cm
Giải
1
2 3 4
D
E
K
A
a) Chứng minh hai đờng tròn (B) và (C) cắt nhau
Giả sử tam giác ABC có CA > BA Đặt CA = R , BA = r ta có
CA – BA < BC < CA + BA tức là R – r < BC < R + r
Vậy hai đờng tròn cắt nhau
b)C/m CD là tiếp tuyến của (B)
Xét tam giác ABC và tam giác DBC có :
BA = BD
CA = CD
BC cạnh chung
Đờng thẳng CD đi qua điểm D của đờng tròn tâm B và CD vuông góc với BD nên CD là tiếp tuyến của đờng tròn (B)
c) Chứng minh CK vuông góc với BC.
d) Chứng minh AD // DK
Trang 8Trờng THCS An Đà
4
6 6
2
=
=
AB
Do đó KE = AK = 9 cm
Tứ giác BDEK có BD // EK ( cùng vuông góc với DE ) nên là hình thang , có diện tích bằng
78 12 2
9 4
2+KE DE= + =
BD
Bài tập 8(4/172 – ÔTVTKTĐG)
Cho tam giác ABC cân tại A , góc A tù , điểm D thuộc cạnh BC , BD < DC
a) nêu cách dựng đờng tròn (O) đi qua B , D và có tâm nằm trên cạnh AB
f) Tính số đo góc AED
g) Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì AD là tiếp tuyến của (O)
Giải
a)
có tâm nằm trên cạnh AB
Dựng đờng trung trực của đạn thẳng BD cắt
AB ở O Dựng đờng tròn (O; OB)
và có tâm nằm trên cạnh AC.
Dựng đờng trung trực của đoạn thẳng DC ,
c)
O/D // AB
Nên là hình bình hành
d)
e)
Theo tính chất đờng nối tâm của hai đờng tròn cắt nhau thì DI = IE
f)
Tính số đo góc AED.
l
I
D
O
A
Trang 9Trờng THCS An Đà
h)
Tìm vị trí của điểm D
Vậy D ở vị trí trên BC sao cho DA vuông góc với AC
Bài tập 9:
Cho tamgiác ABC vuông tại A Trên nửa mf chứa điểm A bờ BC, vẽ các tia Bx , Cy vuông góc với BC Gọi M là trung điểm của BC Qua M kẻ đờng vuông góc với AB , cắt Bx ở O
a) Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đờng tròn (O; OA)
b) Chứng minh rằng MA là tiếp tuyến của đờng tròn (O; OA)
c) Nêu cách dựng đờng tròn đi qua A tiếp xúc với BC tại C
Giải
a)
ờng tròn (O; OA)
Tam giác ABC vuông tại Tam giác AMB cân tại
, suy ra OA = OB , do đó B thuộc đờng tròn (O; OA)
Đờng thẳng BC đi qua đi qua điểm B của (O) và
BC vuông góc với OB nên nên BC là tiếp tuyến của đờng tròn (O)
ờng tròn (O; OA)
Suy ra MA là tiếp tuyến của (O)
BC tại C
MA =
2
1
c 2
M
y x
O '
O
C B
A
A
Trang 10Trờng THCS An Đà
Bài tập 10: ( 2/171 - ÔTVKTĐGT9)
b) Tính độ dài BC
Giải
a)Tính số đo góc OIO
b)Tính độ dài BC
tròn đờng kính BC
Đờng tròn đgk BC tâmI , bán kính IA
I
d)Tính độ dài OK?
=>
2
1
/
/
=
=
OB
C O
KO
2
1 2
−
KO
KO
2
1
/
=
KO
C
K A
I B
O
