Hãy tính căn của các số phức a.. Giải các phương trình phức sau a.. Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss: a... Tìm các ma trận cấp 2 có bình phương bằng ma trận không 10.. Tìm
Trang 1ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN CAO CẤP A1
I Số phức và các phép toán
1 Tìm Rez và Imz biết :
a z = z 1 2 − z1
z25 , với z1 = 1 − i, z2 = 2 + i
b z = z14 −z1 z2
z 1 2 , với z1 = 1 + i , z2 = 1 − 2i
2 Hãy tính căn của các số phức
a z = 3 − 4i b −14 c −2 + 2i3
d 1 − i
3 + i
6
e 1 + i
3 − i
8
3 Giải các phương trình phức sau
a z2 − 1 + i 3 z − 1 + i 3 = 0
b z2 + 1 + 3 + 1 i z + i − 3 = 0
4 Viết các số phức sau ở dạng lượng giác và dạng mũ
a − 3 + i 9 b 1 + i 3
3 − i
100
c 1 − 3 − i
2
24
d −1 + i 3 15
1 − i 20 + −1 − i 3 15
1 + i 20
II Ma trận – Định thức – Hệ phương trình tuyến tính
1 Cho A = −2 1 01 3 2
−2 3 2
, B = 20 2 −11 3
a Tìm f A biết f x = −x2 − 2Bx + I
b Tìm AT, BT, A + B T, A B T, B A T, AT BT, BT AT
2 Tính các định thức sau đây:
a
−2 3 1
b
c a + xx b + xx xx
3 Tìm ma trận nghịch đảo của A = 2 1 11 0 3
3 2 2
, B =
1 2 0 1
1 1 2 0
0 1 1 2
2 0 1 1
4 Tìm hạng của các ma trận
a
1 2 3
2 3 4
3 5 7
b 2 −1 3 −2 44 −2 5 1 7
c
1 −3 −5 0 −7
5 Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss:
a
3x1 + 2x2 + x3 = 2
4x1 + 2x2 + 3x3 = 2
5x1 + 3x2 + 3x3 = 2 , b
3x1 + x2 + 3x3 = 3 2x1 − x2 + 7x3 = −3 3x1 + 4x2 − 2x3 = 4 5x1 + 2x2 + 4x3 = 6
Trang 2
6 Giải hệ phương trình bằng qui tắc Cramer:
a
1x1 + x2 − 2x3 = 6
2x1 + 3x2 − 7x3 = 16
5x1 + 2x2 + x3 = 16 b
2x1 − x2 + 3x3 + 2x4 = 4 3x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 = 6 3x1 − x2 − x3 − 2x4 = 6 3x1 − x2 + 3x3 − x4 = 6
7 Hãy tìm hai ma trận A, B khác ma trận không sao cho A.B = 0
8 Cho A = 1 2
3 4 Tìm B sao cho AB = BA
9 Tìm các ma trận cấp 2 có bình phương bằng ma trận không
10 Tìm các ma trận cấp 2 có bình phương bằng ma trận đơn vị
11 Cho A = aij n, B = bij n, A B = B A Chứng minh:
a A + B 2 = A2 + 2AB + B2
b A2 − B2 = A − B A + B
c A B 2 = A2 B2
12 Cho A = aij
n, B = bij
n Các mệnh đề sau đây đúng hay sai ? Vì sao?
a Nếu A2 = 0 thì A = 0
b Nếếu A2 = In thì A = ±In
c A B m = Am Bm
13 Thực hiện các phép tính sau:
a 1 a
0 1
n
với a ∈ , n ∈
b x 1
0 x
n
c cosφ −sinφ
sinφ cosφ
n
với n ∈ , 0 ≤ φ < 2𝜋
14 Tính các định thức cấp n sau đây:
a
b
1 2 3 ⋯ n − 1 n
1 0 3 ⋯ n − 1 n
1 2 0 ⋯ n − 1 n
1 2 3 ⋯ n − 1 n
c
1 2 3 ⋯ n − 1 n − 1
15 Cho A = aij n và A = 3
a Tính A 2, A 3, A AT
b Giả sử B2 = A Tính B
16 Cho A = aij
n Chứng minh rằng k A = kn A
Trang 317 Cho ma trận A =
trong đó a11 a22… ann ≠ 0
Chứng minh rằng A khả nghịch và tìm A−1
18 Cho ma trận A = aij
n với A ≠ 0 Tìm ma trận nghịch đảo của A biết:
a A2 + 3A − 2I = 0 b A3 − 3A = I
19 Cho ma trận A = aij n với A4 = 0 và A ≠ 0 Tìm ma trận nghịch đảo của
I + A2
20 Cho ma trận A = aij
n vớới A3 = 0 và A ≠ 0 Tìm ma trận nghịch đảo của
I + A
21 Cho ma trận A, B khả nghịch Chứng minh rằng A B = B A A−1B = BA−1
22 Cho hai ma trận vuông A, B sao cho A.B = 0 Chứng minh rằng A không thể
khả đảo trừ khi B = 0
23 Tìm giá trị của k để ma trận sau đây có hạng thấp nhất
1 7 17 3
k 4 10 1
24 Cho hệ phương trình phụ thuộc vào các tham số a, b ∈
x1 + 2x2 + a x3 = 3 3x1 − x2 − a x3 = 2 2x1 + x2 + 3x3 = b
a Xác định a để hệ có nghiệm duy nhất
b Xác định a, b để hệ có vô số nghiệm và tìm nghiệm tương ứng
25 Biện luận nghiệm của hệ phương trình sau theo tham số m:
mx1 + x2 + x3 = 1
x1 + mx2 + x3 = m
x1 + x2 + mx3 = m2
III Không gian vec tơ
1 W có phải là không gian con của V không? Vì sao?
a V =2, W = x1, x2 ∈ 2 x1 = 3 x2
b V =2, W = x1, x2 ∈ 2 x1 = x2
c V =3, W = x1, x2, x3 ∈ 3 x3 = x1 − x2
d V =3, W = x1, x2, x3 ∈ 3 x3 = x1 x2
e V =3, W = x1, x2, x3 ∈ 3 x1− x2 = 0
f V =3, W = x1, x2, x3 ∈ 3 x22 = x1 x3
g V =3, W = x1, x2, x3 ∈ 3 x1 − x3 = x2
h V =3, W = x1, x2, x3 ∈ 3 x12 = x22
i V =3, W = x1, x2, x3 ∈ 3 x2 x3 = 0
j V =3, W = x1, x2, x3 ∈ 3 x1 + x2 + x3 = 0
k V =3, W = x1, x2, x3 ∈ 3 3x1 + x2 − 5x3 = 1
l V =3, W = x1, x2, x3 ∈ 3 x1 = x2 x3
m V =3, W = x1, x2, x3 ∈ 3 2x1 + x2 − x3 = 0
Trang 4n V = μ2 , W = a b
c d ∈ μ2 a + d = 0
o V = μ2 , W = a bc d ∈ μ2 a + d = b c
p V = μ2 , W = a b
c d ∈ μ2 a d = 0
q V = μ2 , W = a bc d ∈ μ2 a b = c d
r V =4, W = α ∈ 4 α = a, a − 2b, a, c , a, b, c ∈
s V = Kn, W là tập hợp các nghiệm trong K của hệ phương trình tuyến tính
n × n
a11x1 + a12x2 + ⋯ + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + ⋯ + a2nxn = 0
⋮
am1x1 + am2x2 + ⋯ + amnxn = 0
2 Mỗi họ vec tơ dưới đây có sinh ra V không? Vì sao?
a S = α1 = 3 + 2x + 5x2, α2 = −1 + x + 3x2, α3 = −2 − 4x − 11x2
V =2 x
b S = α1 = 3,1,4 , α2 = 2, −3,5 , α3 = 5, −2,9 , α4 = 1,4, −1
V =3
3 Hệ vec tơ S sau đây độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính, biết
a S = α1 = 2 + 3x − x2, α2 = 6 + 9x − 3x2 2 x
b S = α1 = 1 3
2 0 , α2 = 2−1 01 μ2
c S = α1 = 5,4,3 , α2 = 3,3,2 , α3 = 8,1,3 3
e S = α1 = 3,2,7,4 , α2 = 1, −4, −1,0 , α3 = 3, −5,2,1 4
f S = α1 = 1,2,1,2 , α2 = 0,1,0,1 , α3 = 1,0,1,0 , α4 = 0,0,1,1 4
g S = {α1 = 3,1,1,5, −1 , α2 = 1,1, −1,1, −1 , α3 = 4,2,0,6, −2
α4 = 5,3, −1,7, −3 }5
3 Chứng minh S là cơ sở của 3 và tìm tọa độ của vec tơ α đối với cơ sở S biết:
a S = α1 = 1, −3,2 , α2 = 2, −4,5 , α3 = 3, −2,11 ,
α = −1, −7, −10
b S = α1 = 3,2,4 , α2 = 2,3,3 , α3 = 3,1,3 , α = 1,3,1
c S = α1 = 3,2,5 , α2 = 5,2,8 , α3 = 5,1,8 , α = 4, −1,6
d S = α1 = 3,2,5 , α2 = 4,1,7 , α3 = −4, −2, −7 , α = 2, −1,4
e S = α1 = 3,2,4 , α2 = 4,1,5 , α3 = 2, −1,2 , α = 4,0,5
4 Trong không gian vec tơ 4 cho hệ vec tơ S = α1, α2, α3, α4
α1 = 2,0,0,0 , α2 = 2,3,0,1 , α3 = 4,3,1,1 , α4 = 0,0,0,5
a Chứng minh S là cơ sở của 4
b Tìm tọa độ của vec tơ α đối với cơ sở S biết α = −2,5,1,3
c Tìm α biết tọa độ của vec tơ α đối với cơ sở S là −2,5,1,3
5 Trong không gian μ2() các ma trận vuông cấp hai, cho các vec tơ (ma trận)
e1, e2, e3, e4như sau, chúng có phải là cơ sở của μ2() không? Vì sao? Nếu có
hãy tìm tọa độ của ma trận A đối với cơ sở đó
a e1 = 1 00 1 , e2 = 2 10 1 , e3 = 0 10 1 , e4 = 1 11 0 , A = 1 23 4
b e1 = 0 11 0 , e2 = 2 11 0 , e3 = 1 10 1 , e4 = 1 11 1 , A = 2 11 2
Trang 5c e1 = 1 11 1 , e2 = 1 11 0 , e3 = 1 01 0 , e4 = 0 11 0 , A = 2 33 2
d e1 = 33 −66 , e2 = 0−1 −10 , e3 = 0−12 −4−8 , e4 = 1−1 20 ,
A = 216 −414
6 Họ dưới đây có phải là cơ sở của 2 x không ? Vì sao? Nếu có hãy tìm tọa độ của đa thức P x = x2 + 2x + 3 ứng với cơ sở đó
a e1 = x2 − 1, e2 = x2 − x + 1, e3 = x2 + x + 1
b e1 = x2 − x + 1, e2 = x − 2, e3 = x2 + 2x
c e1 = 1 − 3x + 2x2, e2 = 1 + x + 4x2, e3 = 1 − 7x
d e1 = 4 + 6x + x2, e2 = −1 + 4x + 2x2, e3 = 5 + 2x − x2
e e1 = 5 + 2x + 3x2, e2 = 2 + x + x2, e3 = 3 + 2x + 2x2
7 Trong không gian vec tơ 3 cho hai cơ sở S = α1, α2, α3 , T = α1′, α2′, α3′
α1 = 1,1,1 , α2 = 1,1,0 , α3 = 1,0,0 ;
α1′ = 0,1,1 , α2′ = 1,0,1 , α3′ = 1,0,0
a Tìm ma trận chuyển cơ sở từ S sang T
b Tìm ma trận chuyển cơ sở từ T sang S
c Tìm tọa độ của vec tơ α đối với cơ sở T biết tọa độ của vec tơ α đối với cơ
sở S là 2,1,1
IV Ánh xạ tuyến tính
1 Kiểm tra các ánh xạ sau đây có phải là ánh xạ tuyến tính không? Vì sao?
a f: 2 → 2 được xác định bởi f x, y = ax + by, cx + dy
b f: 2 → 2 được xác định bởi f x, y = x3 , y
c f: 4 → 2 được xác định bởi f x, y, z, t = x + y, z − t
d f: 3 → 3 được xác định bởi f x, y, z = x + 3, y, z
e f: 2 → được xác định bởi f x, y = x y
f f: 2 → được xác định bởi f x, y = 1 y x 1
g f: μ2 → được xác định bởi f a b
c d = a + d
h f: μ2 → được xác định bởi f a bc d = a bc d
i f: μ2 → μ2 được xác định bởi f a b
c d =
a c
b d
2 Cho ánh xạ tuyến tính f: V → W Chứng minh các điều kiện sau tương đương:
(a) f là đơn cấu tuyến tính
(b) Kerf = 0V
(c) f biến một hệ độc lập tuyến tính của V thành một hệ độc lập tuyến tính của W (d) f biến một cơ sở của V thành một hệ độc lập tuyến tính của W
(e) rankf = dimV
3 Cho ánh xạ tuyến tính f: V → W Chứng minh các điều kiện sau tương đương (a) f là toàn cấu tuyến tính
(b) Imf = W
(c) f biến một hệ sinh của V thành một hệ sinh của W
(d) f biến một cơ sở của V thành một hệ sinh của W
Trang 64
Cho ánh xạ tuyến tính f: V → W Chứng minh các điều kiện sau tương đương: (a) f là đẳng cấu tuyến tính
(b) Kerf = 0V và Imf = W
(c) f biến một cơ sở của V thành một cơ sở của W
5 Cho ánh xạ tuyến tính f: V → W, V và W là các K – không gian vec tơ Chứng minh rằng:
V ≅ W dim V = dim W
6 Cho ánh xạ tuyến tính f: V → V, V là không gian vec tơ hữu hạn chiều Chứng minh rằng:
(a) Nếu f là đơn cấu tuyến tính thì f là đẳng cấu tuyến tính
(b) Nếu f là toàn cấu tuyến tính thì f là đẳng cấu tuyến tính
V Trị riêng và vec tơ riêng
1 Tìm trị riêng, vec tơ riêng của ma trận A = 4 −5 25 −7 3
6 −9 4
; B = 1 02 2 −22
0 0 −1
2 Cho f: 3 → 3 xác định bởi f x1, x2, x3 = 2x1 + x2, x2 − x3, 2x2 + 4x3
Tìm trị riêng và vec tơ riêng của f