Phân tích chuỗi thời gian và dự báo

DANH MỤC KÝ HIỆUACF: Hàm tự tương quan ADF: Thống kê kiểm định Dickey – Fuller AIC: Tiêu chuẩn thông tin Akaike AR: Quá trình tự hồi quy ARMA: Quá trình trung bình trượt tự hồi quy ARIMA

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

*************

NGUYỄN PHƯƠNG THẢO

PHÂN TÍCH CHUỖI THỜI GIAN

VÀ DỰ BÁO

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

HÀ NỘI – 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

*************

NGUYỄN PHƯƠNG THẢO

PHÂN TÍCH CHUỖI THỜI GIAN

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn PGS.

TS Trần Trọng Nguyên, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình giúp

đỡ, truyền đạt lại những kiến thức quý báu cho em trong suốt quá trình thựchiện khóa luận tốt nghiệp

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy côtrong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tìnhtrong suốt quá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này em xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến những ngườithân trong gia đình đã động viên, tạo những điều kiện học tập tốt nhất cho em,động viên em hoàn thành khóa luận này

Hà Nội, tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Nguyễn Phương Thảo

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp này được hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm

hiểu, nghiên cứu của bản thân dưới sự hướng dẫn của PGS TS Trần Trọng

DANH MỤC KÝ HIỆU

ACF: Hàm tự tương quan

ADF: Thống kê kiểm định Dickey – Fuller

AIC: Tiêu chuẩn thông tin Akaike

AR: Quá trình tự hồi quy

ARMA: Quá trình trung bình trượt tự hồi quy

ARIMA: Quá trình ARMA tích hợp

BIC: Tiêu chuẩn thông tin Bayes hoặc tiêu chuẩn SchwartzIID: Độc lập cùng phân bố

MA: Quá trình trung bình trượt

MSE: Sai số dự báo bình phương trung bình

MLE: Ước lượng hợp lý cực đại

PACF: Hàm tự tương quan riêng

SACF: Hàm tự tương quan mẫu

SPACF: Hàm tự tương quan riêng mẫu

MỤC LỤC

DANH MỤC KÝ HIỆU

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp và công cụ nghiên cứu 2

5 Cấu trúc khóa luận 2

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN 3

1.1 Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất 3

1.1.1 Biến ngẫu nhiên một chiều 3

1.1.2 Biến ngẫu nhiên hai chiều 3

1.1.3 Biến ngẫu nhiên nhiều chiều 4

1.2 Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 5

1.2.1 Kỳ vọng 5

1.2.2 Phương sai và độ lệch tiêu chuẩn 6

1.2.3 Hiệp phương sai 7

1.2.4 Hệ số tương quan 7

1.3 Quy luật phân phối chuẩn 7

1.4 Phân tích và dự báo với chuỗi thời gian 8

1.4.1 Khái niệm về chuỗi thời gian 8

1.4.2 Phân tích chuỗi thời gian 8

1.4.3 Dự báo chuỗi thời gian 9

1.4.4 Đo lường độ chính xác của dự báo 10

1.5 Mô hình hồi quy 11

1.5.1 Mô hình hồi quy tuyến tính 11

1.5.2 Hàm hồi quy tổng thể 11

1.5.3 Hàm hồi quy mẫu 12

1.5.4 Phương pháp ước lượng OLS 13

1.6 Sai phân của chuỗi thời gian 14

1.7 Toán tử dịch chuyển lùi 14

1.8 Quá trình ngẫu nhiên dừng và không dừng 15

1.9 Hàm tự tương quan 16

1.9.1 Tự tương quan 16

1.9.2 Hàm tự tương quan 16

1.9.3 Hàm tương quan riêng 17

1.10 Nhiễu trắng và bước ngẫu nhiên 17

1.10.1 Nhiễu trắng 17

1.10.2 Bước ngẫu nhiên 18

CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH ARIMA VÀ DỰ BÁO 19

2.1 Quá trình trung bình trượt (MA) 19

2.1.1 Quá trình trung bình trượt bậc nhất – MA(1) 19

2.1.2 Quá trình trung bình trượt bậc q – MA(q) 20

2.2 Quá trình tự hồi quy (AR) 22

2.2.1 Quá trình AR(1) không có hệ số chặn 22

2.2.2 Quá trình AR(1) có hệ số chặn 24

2.2.3 Quá trình tự hồi quy bậc p – AR(p) 25

2.3 Quá trình trung bình trượt tự hồi quy (ARMA) 27

2.4 Quá trình trung bình trượt tích hợp tự hồi quy (ARIMA) 29

2.5 Kiểm định nghiệm đơn vị 30

2.6 Phương pháp Box – Jenkins 32

2.6.1 Định dạng mô hình – xác định các tham số p, d, q 32

2.6.2 Ước lượng mô hình 38

2.6.3 Kiểm định tính thích hợp của mô hình 40

2.6.4 Dự báo và sai số dự báo 43

CHƯƠNG 3: ÁP DỤNG MÔ HÌNH ARIMA DỰ BÁO CHỈ SỐ VNINDEX 48

3.1 Xây dựng mô hình ARIMA cho chuỗi VnIndex 48

3.2 Ước lượng các tham số của mô hình 51

3.3 Kiểm tra sự phù hợp của mô hình 53

3.4 Dự báo giá 54

KẾT LUẬN 56

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 57

PHỤ LỤC 58

để có được những chính sách kinh tế năng động, hợp lý, có hiệu quả, dự báokinh tế là một trong những công cụ hữu ích làm cơ sở khoa học có căn cứ đểđưa ra các quyết định và xây dựng các chính sách phù hợp.

Ngày nay, cùng với sự phát triển khoa học công nghệ, có nhiều phươngpháp dự báo định lượng, trong đó có phương pháp sử dụng các quá trình ngẫunhiên đặc biệt là các mô hình chuỗi thời gian Các dữ liệu về chuỗi thời gian

đã và đang được sử dụng một cách thường xuyên, hiệu quả và đáng tin cậynhư một công cụ hữu hiệu để phân tích kinh tế, xã hội cũng như trong nghiêncứu khoa học

Vì vậy, với mong muốn tìm hiểu sâu về vấn đề này trong phạm vi của

một khóa luận tốt nghiệp, em đã lựa chọn nghiên cứu đề tài “Phân tích chuỗi

thời gian và dự báo”.

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu một số khái niệm và tính chất cơ bản về chuỗi thời gian

- Tìm hiểu mô hình trung bình trượt tích hợp tự hồi quy ARIMA vàphương pháp Box – Jenkins để dự báo

- Áp dụng mô hình ARIMA dự báo chỉ số VnIndex với sự hỗ trợ củaphần mềm Eviews

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: chuỗi thời gian, phân tích và dự báo

- Phạm vi nghiên cứu: Mô hình ARIMA, phương pháp Box – Jenkins,ứng dụng Eviews trong dự báo chỉ số VnIndex

4 Phương pháp và công cụ nghiên cứu

- Phương pháp phân tích, tổng hợp kiến thức

- Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm với dữ liệu thực tế

- Sử dụng phần mềm Eviews 4.0

5 Cấu trúc khóa luận

Nội dung khóa luận này bao gồm 3 chương:

Chương 1 Một số kiến thức liên quan

Chương này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản sẽ được sử dụngtrong chương sau

Chương 2 Mô hình ARIMA và dự báo

Chương này trình bày các lớp mô hình ARIMA và phương pháp Box –Jenkins

Chương 3 Áp dụng mô hình ARIMA dự báo chỉ số VnIndex

Chương này vận dụng mô hình đã nêu ở trên để giải quyết bài toán dự báo chỉ

số VnIndex với sự hỗ trợ của phần mềm Eviews

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN

Trong chương này giới thiệu một số kiến thức về kỳ vọng; phương sai

và hiệp phương sai; các khái niệm về chuỗi thời gian và dự báo; mô hình hồi quy; sai phân của chuỗi thời gian; toán tử dịch chuyển lùi; hàm tự tương quan; nhiễu trắng và bước ngẫu nhiên Đây là kiến thức cơ bản để nghiên cứu chuỗi thời gian.

1.1 Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất

1.1.1 Biến ngẫu nhiên một chiều

1.1.1.1 Định nghĩa biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.1 Cho , F, P là một không gian xác suất Nếu X là

một đại lượng ngẫu nhiên)

Nói cách khác: X là một hàm số thực, hữu hạn, xác định trên Ω sao cho

1.1.1.2 Hàm phân phối xác suất

Định nghĩa 1.2 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X được

của đường thẳng thực Để cho gọn ta sẽ ký hiệu

1.1.2 Biến ngẫu nhiên hai chiều

1.1.2.1 Định nghĩa

Trong nhiều trường hợp ta cần xét các biến ngẫu nhiên nhận giá trịtrong không gian 2-chiều, tức là xét các điểm ngẫu nhiên trên mặt phẳng

Định nghĩa 1.3 Cho không gian xác suất , F, P và hai biến ngẫu

Y 

được gọi là biến ngẫu

V    X , Y  

1.1.2.2 Hàm phân phối xác suất

Định nghĩa 1.4 (Hàm phân phối đồng thời) Hàm phân phối xác suất

Định nghĩa 1.5 (Các hàm phân phối biên) Nếu F(x,y) là hàm phân

F  x,    P X  x  F1  x;

là các hàm phân phối của biến ngẫu nhiên thành phần tương ứng X và Y Các hàm này gọi là các hàm phân phối biên của V.

1.1.2.3 Sự độc lập của hai biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.6 Hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là độc lập với

Định nghĩa 1.7 Cho X1, X2,…, Xn là các biến ngẫu nhiên 1-chiều được

 X1 , X2 , , X n

 

của không gian Ơ-clit n-chiều

một biến ngẫu nhiên n-chiều hoặc một véc tơ ngẫu nhiên n-chiều

1.1.3.2 Hàm phân phối xác suất

Định nghĩa 1.8 (Hàm phân phối xác suất đồng thời) Hàm phân phối

xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên n-chiều đƣợc định nghĩa nhƣ sau:

Định nghĩa 1.9 (Các hàm phân phối biên)

 Hàm phân phối biên của một biến

 Hàm phân phối biên của một số biến

1.1.3.3 Tính độc lập của nhiều biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.10 Các biến ngẫu nhiên X1, X2,…, Xn đƣợc gọi là độc lập

F  x1, x2 , , x n   F1  x1  F2  x2

 F n x n 

1.2 Các tham số đặc trƣng của biến ngẫu nhiên

1.2.1 Kỳ vọng

Định nghĩa 1.11 (Kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên một chiều)

xác suất F(x) Kỳ vọng toán của X là một số ký hiệu là E(X) và đƣợc định

nghĩa nhƣ sau:

E  X    xdF

 x



1.2.2 Phương sai và độ lệch tiêu chuẩn

Định nghĩa 1.13 Phương sai của biến ngẫu nhiên X được ký hiệu là V  X 

có đơn vị đo lường là bình phương của đơn vị đo lường của

biến ngẫu nhiên X nên trong thực tế để biểu thị độ phân tán của các giá trị của

X quanh E(X) một cách dễ hình dung hơn người ta còn dùng căn bậc hai của

phương sai và gọi tham số này là độ lệch tiêu chuẩn của biến ngẫu nhiên X

với ký hiệu và công thức định nghĩa như sau:

  X   V  X 

1.2.3 Hiệp phương sai

Định nghĩa 1.14 Hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên X và Y được

ký hiệu là cov(X,Y) và được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.15 Hệ số tương quan tuyến tính giữa hai biến ngẫu nhiên

X và Y được ký hiệu và định nghĩa như sau:

1.3 Quy luật phân phối chuẩn

Một biến ngẫu nhiên X được gọi là tuân theo quy luật chuẩn với kỳ

, ký hiệu là:

liên tục với hàm mật độ sau đây:

X  nếu nó là biến ngẫu nhiên

Quy luật chuẩn hóa N(0,1): Một trường hợp đặc biệt và hữu dụng trong

tính toán của họ các phân phối chuẩn là phân phối chuẩn hóa N(0,1) (là phânphối chuẩn với kỳ vọng bằng 0 và phương sai bằng 1) Biến ngẫu nhiên tuântheo quy luật chuẩn hóa thường được ký hiệu là U, hàm phân phối của quy

1.4 Phân tích và dự báo với chuỗi thời gian

1.4.1 Khái niệm về chuỗi thời gian

Chuỗi thời gian là một tập hợp các quan sát của một hay nhiều biếnđược sắp xếp theo thứ tự thời gian Chuỗi thời gian có thể có các tần suất khácnhau, ví dụ như theo năm, quý, tháng, tuần, ngày, giờ,… Các ví dụ về chuỗithời gian phổ biến trong kinh tế - tài chính bao gồm: tổng sản phẩm quốc nội(GDP), chỉ số tiêu dùng (CPI), cung tiền (M2), chỉ số chứng khoán (VN-index), doanh số bán lẻ,…

Chuỗi thời gian thường được ký hiệu với chỉ số dưới t Ví dụ, nếu gọi Y

là GDP của Việt Nam trong giai đoạn 2001-2017 thì chuỗi số này được kýhiệu như sau:

Trong đó t = 1 với năm 2001, t = 2 với năm 2002, …, t = 17 với năm 2017

1.4.2 Phân tích chuỗi thời gian

Phân tích số liệu chuỗi thời gian thường phức tạp vì các quan sát kinh

tế hoặc tài chính thường phụ thuộc lẫn nhau theo thời gian Tức là, giá trịquan sát được của một biến tại thời điểm bất kỳ nào đó thường phụ thuộc vàogiá trị của chính nó trong quá khứ Ngoài ra, do các chuỗi số liệu theo thờigian thường tuân theo những quy luật mùa vụ hoặc thể hiện xu hướng dài hạnnhất định nên việc xử lý số liệu là điều cần thiết trước khi đưa vào các môhình ước lượng

Mục tiêu của việc phân tích chuỗi thời gian là phải chỉ ra được các đặctính của chuỗi số liệu, xác định được những xu hướng nhất định theo thời gian

và những thành phần có thể dự báo

1.4.3 Dự báo chuỗi thời gian

Dự báo là nghệ thuật và khoa học tiên đoán các sự kiện xảy ra trongtương lai Dự báo dựa trên cơ sở của các sự kiện trong quá khứ hoặc sử dụngmột số mô hình toán học để dự đoán kết quả trong tương lai

Tất cả các kỹ thuật dự báo chuỗi thời gian dựa trên giả định là có mộtmẫu hình cơ bản tiềm ẩn trong các số liệu đang nghiên cứu cùng với các yếu

tố ngẫu nhiên ảnh hưởng lên hệ thống đang xét Công việc chính của phântích chuỗi thời gian là nghiên cứu các kỹ thuật để tách mẫu hình cơ bản này

và sử dụng nó như là cơ sở để dự báo cho tương lai Để làm được điều đó,trước hết ta giả thiết có một mô hình xác suất để biểu diễn dãy số liệu Sau khichọn ra một mô hình gần với dãy số liệu, chúng ta tiến hành ước lượng cáctham số của mô hình, kiểm tra lại xem mô hình được sử dụng có thích hợpkhông

Chất lượng của dự báo phụ thuộc vào nhiều yếu tố Trước hết nó phụthuộc vào xu hướng phát triển của chuỗi thời gian Nếu chuỗi thời gian là hàm

“đều đặn” theo thời gian thì càng dễ dự báo Ví dụ nếu tiến trình phát triểnkinh tế không có những biến động đặc biệt thì dễ dàng dự báo tổng sản phẩmquốc nội (GDP) cho những năm sau Cho đến nay, các phương pháp dự báochuỗi thời gian chưa cho phép dự báo được các giá trị đột biến

Chất lượng dự báo chuỗi thời gian còn phụ thuộc xa gần của thời gian

Dự báo các giá trị càng gần hiện tại càng chính xác Như vậy, việc ước lượngGDP cho năm sau sẽ chính xác hơn là việc ước lượng GDP cho 5 năm sau

1.4.4 Đo lường độ chính xác của dự báo

Đo lường độ chính xác của dự báo nhằm xác định sai số dự báo theo

mô hình định lượng Lưu ý rằng tính chính xác của dự báo khác với tínhđúng/ tính phù hợp của kết quả dự báo Tính đúng/ tính phù hợp của kết quả

dự báo là tính đúng với tình hình thực tế Tính chính xác là tính đúng với môhình dự báo

Nếu ký hiệu

t

y t

e t

là giá trị dự báo ở thời điểm t;

là giá trị thực tế của đối tượng quan sát ở thời điểm t;

là sai số dự báo ở thời điểm t

nhỏ

Nếu một mô hình được đánh giá là tốt thì sai số dự báo phải tương đối

Người ta thường dùng phương pháp thống kê hoặc phương pháp đồ thị

để đánh giá độ chính xác của dự báo Trong đề tài này, để đo lường độ chính

xác của mô hình dự báo dùng phương pháp thống kê sử dụng thước đo sai số

bình phương trung bình (MSE – Mean Square of Errors).

1.5 Mô hình hồi quy

1.5.1 Mô hình hồi quy tuyến tính

Giả sử Y và X là hai biến số thể hiện một tổng thể nào đó, mô hình hồi

quy tuyến tính hai biến thể hiện mối quan hệ phụ thuộc giữa biến Y và biến X

có dạng nhƣ sau:

Y  1  2 X 

u

Mô hình hồi quy tuyến tính hai biến bao gồm các thành phần sau:

 Các biến số: mô hình hồi quy gồm hai loại biến số:

(1.1)

- Biến phụ thuộc: là biến số mà ta đang quan tâm đến giá trị của nó, thường ký hiệu là Y và nằm ở vế trái của phương trình Biến phụ thuộc còn được gọi là

biến được giải thích (explained variable) hay biến phản ứng.

- Biến độc lập: là biến số được cho là có tác động đến biến phụ thuộc, thường

ký hiệu là X và nằm ở vế phải của phương trình Biến độc lập còn được gọi là

biến giải thích (explanatory variable) hay biến điều khiển (control variable).

 Sai số ngẫu nhiên

Sai số ngẫu nhiên, thường được ký hiệu là u, là yếu tố đại diện cho các yếu tố

có tác động đến biến Y, ngoài X Trong mô hình (1.1) chúng ta không có các

quan sát về nó, vì thế đôi khi u còn được gọi là sai số ngẫu nhiên không quansát được Do đó, để hàm hồi quy có ý nghĩa, cần đưa ra giả thiết cho thành

phần này Giả thiết được đưa ra là: tại mỗi giá trị của X thì kỳ vọng của u

biến X và Y khi các yếu tố bao hàm trong u là không đổi.

E Y X   1 

2 X

(1.2)

gọi là kỳ vọng của Y với điều kiện X.

Phương trình (1.2) biểu diễn kỳ vọng của Y với điều kiện X, như một hàm của biến X và do X và Y thể hiện cho tổng thể nên phương trình (1.2) còn

được gọi là hàm hồi quy tổng thể (PRF – population regression function) Khi

đó các hệ số hồi quy

nghĩa như sau:

 Các hệ số hồi quy:

phụ thuộc Y khi biến độc lập X nhận giá trị bằng 0.

trung bình của biến phụ thuộc: khi biến độc lập X tăng (giảm) một đơn vị thì giá trị trung bình của biến phụ thuộc Y tăng (giảm)

nhận giá trị dương, âm hoặc bằng 0

1.5.3 Hàm hồi quy mẫu

Giả sử có mẫu ngẫu nhiên kích thước n bao gồm các quan sát của biến

Y và biến X: Y i , X i  , i = 1, 2, …, n Từ mẫu ngẫu nhiên này chúng ta sẽ xây

ˆ

ˆ tương ứng Khi đó gọi biểu thức (1.3) dưới đây là hàm hồi quy mẫu (SRF:sample regression function) cho hàm hồi quy tổng thể (1.2):

Ký hiệu mũ trên đầu ngụ ý rằng đây là giá trị ƣớc lƣợng từ mẫu chứkhông phải giá trị thực của tổng thể Cụ thể hơn:

được tính như trong (1.3)’ là giá trị ước lượng cho giá trị Y khi

1.5.4 Phương pháp ước lượng OLS

Phương pháp ước lượng OLS lần đầu tiên được giới thiệu bởi Gaussvào những năm cuối thế kỷ 18 (Haper (1974-1976)) và được sử dụng rộng rãitrong nhiều lĩnh vực Tuy trong phân tích kinh tế lượng nói chung và phântích hồi quy nói riêng, người ta đã phát triển thêm các phương pháp ướclượng mới, nhưng OLS vẫn là một phương pháp thông dụng do các ưu việtcủa nó Ngoài ra, ước lượng thu được từ OLS thường được chọn làm cơ sởkhi đánh giá chất lượng của ước lượng thu được từ các phương pháp khác

Để tìm hiểu OLS, xét mô hình hồi quy tổng thể:

Y  1  2 X 

u

Giả sử có mẫu ngẫu nhiên kích thước n

được từ tổng thể, khi đó tại mỗi quan sát ta có:

mẫu trên, khi đó ta có thể viết hàm hồi quy mẫu như sau:

Y i  1  2

X i

hàm hồi quy mẫu

Yˆ

i i i

(1.5) là nhỏ nhất có thể đƣợc Sai lệch này có thể đƣợc định nghĩa bởi:

hỗ trợ cho việc xác định các ƣớc lƣợng OLS

1.6 Sai phân của chuỗi thời gian

Y t

 Y t1

1.7 Toán tử dịch chuyển lùi

Một cách ký hiệu rất hữu ích khi xem xét sự dịch chuyển lùi (trễ) của

Công thức đó đƣợc hiểu là toán tử L làm dữ liệu Yt dịch chuyển lùi về

kỳ: LLY t t t  L2Y  Y .2

Y t t k, k là một số nguyên bất kỳ.

1.8 Quá trình ngẫu nhiên dừng và không dừng

điểm kế tiếp nhau Nói chung mỗi biến có một quy luật phân bố xác suất

điểm, biến số tương ứng nhận một giá trị cụ thể Khi đó ta có một chuỗi thờigian Mặc dù chuỗi thời gian chỉ là một phép thử của một quá trình ngẫunhiên, nhưng chúng cũng được gọi chuỗi thời gian là quá trình ngẫu nhiên, ký

không đổi theo thời gian (Engle và Granger, 1987), nghĩa là:

Các

hàm tự tương quan ACF,

ACF k   k Cov  Y , Y



 t t  k Var Y t 

Điều kiện (1.9) trong định nghĩa chuỗi dừng có nghĩa là hiệp phương

thời gian giữa t và t+k, không phụ thuộc vào thời điểm t Chẳng hạn

Trong mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển, ta giả định rằng không có

Covu i , u j  0

khi đó xảy ra hiện tượng tự tương quan

1.9.2 Hàm tự tương quan

i  j 

Một trong những cách đơn giản để kiểm định tính dừng là dùng hàm tự

tương quan (ACF) ACF với độ trễ k, ký hiệu bằng

sau:

k t t k

1.9.3 Hàm tương quan riêng

Hàm tương quan riêng (PACF) là hệ số tương quan không điều kiện

chuỗi có kỳ vọng bằng 0, phương sai không đổi và không tự tương quan, tứclà:

Đôi khi điều kiện (1.12) được thay bằng điều kiện mạnh hơn:

(1.12)

(1.13)Quá trình thỏa mãn (1.10), (1.11) và (1.13) được gọi là nhiễu trắng độc lập

quá trình ngẫu nhiên được gọi là nhiễu trắng Gauss

Chú ý rằng từ (1.13) suy ra (1.12), điều ngược lại sẽ không đúng

Nhiễu trắng là một chuỗi dừng

thì