(Hình học 10 - Chương II) Bài giảng: Tích của một vectơ với một số

Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

CHƯƠNG I VECTƠ

 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội

Email: nhomcumon68@gmail.com

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

1

PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Đọc lần 2 toàn bộ:

Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí

Định hướng thực hiện các hoạt động

Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu

3 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:

Đọc  Hiểu  Ghi nhớ các định nghĩa, định lí

Chép lại các chú ý, nhận xét

Thực hiện các hoạt động vào vở

4 Thực hiện bài tập lần 1

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Phần: Bài giảng nâng cao

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ

3 Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải như vậy”

4 Thực hiện bài tập lần 2

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài

giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:

Nôi dung chưa hiểu

Hoạt động chưa làm được

Bài tập lần 1 chưa làm được

Bài tập lần 2 chưa làm được

Thảo luận xây dựng bài giảng

gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon68@gmail.com để nhận

được giải đáp

Đ4 tích của một vectơ với một số

Chúng ta đã xây dựng đợc phép cộng cho hai vectơ và có thể thấy ngay rằng sẽ tồn tại phép toán a + a , khi đó ta nhận đợc kết quả là hai lần vectơ

a , kí hiệu là 2a Trong bài học này chúng ta sẽ xây dựng định nghĩa tích của một vectơ với một số.

bài giảng theo chơng trình chuẩn

1 Định nghĩa tích của một vectơ với một số

Định nghĩa: Tích của vectơ a với một số thực k là một vectơ, kí hiệu ka đợc xác định nh sau:

a Vectơ ka cùng phơng với vectơ a và sẽ :

 Cùng hớng với vectơ a nếu k  0.

 Ngợc hớng với vectơ a nếu k 0.

Hoạt động : Cho vectơ a và điểm M.

1 H y nêu cách dựng vectơ 3ãy nêu cách dựng vectơ 3 a .

2 H y nêu cách dựng vectơ ãy nêu cách dựng vectơ 3 2a .

Thí dụ 1: Cho ABC, gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, AC Ta

có ngay các kết quả sau:

2 Tính chất của phép nhân vectơ với số

A

Hoạt động : 1 Chứng minh rằng a + a = 2a .

2 Chứng minh các tính chất trên.

Thí dụ 2: Chứng minh rằng điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi

và chỉ khi với điểm M bất kì ta có MA + MB = 2MI

Thí dụ 3: Cho ABC Gọi G là trọng tâm của tam giác và

M là một điểm tuỳ ý trong mặt phẳng Chứng minh rằng:

GA GA

GA 2 GA

 2GA1 = GA.(2)

3 điều kiện để hai vectơ cùng phơng

Định lí (Quan hệ giữa hai vectơ cùng phơng) : Vectơ b cùng phơng với vectơ

a  0 khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho b = ka.

Hoạt động : 1 Trong định lí trên tại sao phải có điều kiện a  0.

2 Chứng minh định lí.

Hệ quả: Điều kiện cần và đủ để ba điểm A, B, C thẳng hàng là tồn tại số k sao cho AB = kAC.

Hoạt động : Chứng minh hệ quả trên.

Thí dụ 4: Cho ABC Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đờngtròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của ABC Chứng minh rằng:

A

H O

BI

M

A

a AH = 2OE, với E là trung điểm BC.

ô vu cùng BA

//

CH

AC với góc ng

ô vu cùng CA

4 Biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phơng

Định lí (Phân tích một vectơ thành hai vectơ khác 0 không cùng phơng) : Cho hai vectơ a và b khác 0 và không cùng phơng Với mọi vectơ c bao giờ cũng tìm đợc một cặp số thực m, n duy nhất, sao cho:

c = ma + nb.

Hoạt động : Chứng minh định lí.

Thí dụ 5: Cho ABC, gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, BC

Ta có ngay các kết quả sau:

AM =

2

1(AB + AC)

=

2

1(2AP + AC ) = AP +

4 OA

 + 2.5 OB , 14

4 OA

  3

7 OB



Bài tập 2: Cho hình bình hành ABCD Chứng minh rằng DA  DB + DC = 0

Bài tập 3: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh rằng:

AD

 + BE + CF = AE + BF + CD

Bài tập 4: Cho M và N lần lợt là trung điểm các đoạn thẳng AB và CD Chứng

Bài tập 6: Cho O là tâm của hình bình hành ABCD Chứng minh rằng với điểm

M bất kì, ta có:

MO

 = 1

5 MB



Bài tập 8: Cho ABC Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác Chứng minh rằng

a IA + b IB + c IC = 0

Bài tập 9: Cho OAB Gọi M, N lần lợt là trung điểm hai cạnh OA và OB Hãy

tìm các số m và n thích hợp trong mỗi đẳng thức sau đây:

OM = m OA + n OB ; MN = m OA + n OB ;AN

 = m OA + n OB ; MB = m OA + n OB

Bài tập 10: Gọi G là trọng tâm ABC Đặt a = GA và b = GB Hãy biểu thị mỗi

vectơ AB , GC , BC , CA qua các vectơ a và b

Bài tập 11: Cho ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J là điểm

trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC

a Tính AI , AJ theo AB và AC

b Gọi G là trọng tâm ABC, tính AG theo AI và AJ

Bài tập 12: Cho hai điểm A, B phân biệt

a Tìm tập hợp các điểm O sao cho OA = OB

b Tìm tập hợp các điểm O sao cho OA =  OB

Bài tập 13: Cho ABC đều, nội tiếp đờng tròn tâm O

a Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho:

OM = OA + OB , ON = OB + OC , OP = OC + OA

b Chứng minh rằng OA + OB + OC = 0

Bài tập 14: Cho ABC

a Tìm các điểm M và N sao cho:

MA

  MB + MC = 0, 2 NA + NB + NC = 0

b Với các điểm M và N ở câu a), tìm các số p và q sao cho:

MN

 = p AB + q AC

Bài tập 15: Cho trớc hai điểm A, B và hai số thực ,  thoả mãn  + 0.

a Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn:

Bài tập 18: Cho lục giác ABCDEF Gọi M, N, P, Q, R, S lần lợt là trung điểm của

các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA Chứng minh rằng hai tam giácMPR và NQS có cùng trọng tâm

Bài tập 19: Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng:

a Có một điểm O duy nhất sao cho:

OA + OB + OC + OD = 0

Điểm O đợc gọi là trọng tâm của bốn điểm A, B, C, D Tuy nhiên,ngời ta vẫn gọi quen O là trọng tâm của tứ giác ABCD

b Trọng tâm O là trung điểm của mỗi đoạn thẳng nối các trung

điểm hai cạnh đối của tứ giác, nó cũng là trung điểm của đoạnthẳng nối trung điểm hai đờng chéo của tứ giác

c Trọng tâm O nằm trên các đoạn thảng nối một đỉnh của tứ giác

và trọng tâm của tam giác tạo bởi ba đỉnh còn lại

Bài tập 20: Cho ABC Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đờng tròn ngoại tiếp, trọng

tâm, trực tâm của ABC Chứng minh rằng O, G, H thẳng hàng

Bài tập 21: Cho ABC, điểm M trong mặt phẳng thoả mãn:

MN

 = MA + 5 MB  MC

a Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi

b Gọi P là trung điểm của CN Chứng minh rằng MP luôn đi qua một

điểm cố định khi M thay đổi

Bài tập 22: Cho ABC, M là điểm tuỳ ý trong mặt phẳng

a Chứng minh rằng vectơ v = 3 MA 5 MB + 2 MC không đổi

b Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:

3 MA + 2 MB 2 MC  =  MB  MC 

Bài tập 23: Chứng minh rằng nếu AB = CD thì AC = BD

Bài tập 24: Cho tứ giác ABCD Giả sử tồn tại điểm O sao cho:

a GA + b GB + c GC = 0.Chứng minh rằng ABC là tam giác đều.

bài giảng nâng cao

6 biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phơng

Định lý: Cho trớc hai vectơ a và b khác 0 và không cùng phơng Với mọivectơ c bao giờ cũng tìm đợc một cặp số thực ,  duy nhất, sao cho:

c

 = a + b

B phơng pháp giải toán

Dạng toán 1: dựng vectơ

Ví dụ 1: Cho OAB vuông cân với OA = OB = a Hãy dựng các vectơ sau

đây và tính độ dài của chúng:

OA

+ OB , OA  OB , 3OA + 4OB21

 Trên tia OB lấy điểm B1 sao cho OB1 = 4OB.

Ta lựa chọn một trong các hớng biến đổi sau:

Hớng 1: Biến đổi một vế thành vế còn lại (VT  VP hoặc VP  VT) Khi đó:

 Nếu xuất phát từ vế phức tạp ta cần thực hiện việc đơn giản biểu thức

 Nếu xuất phát từ vế đơn giản ta cần thực hiện việc phân tích vectơ

Hớng 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là

 Tính chất trọng tâm tam giác: Với ABC có trọng tâm G ta có:

GA + GB + GC = 0

MA + MB + MC = 3MG, với M tuỳ ý

 Các tính chất của phép cộng, trừ vectơ và phép nhân một số với một vectơ

Ví dụ 1: (Bài 18/tr 17  Sgk_nc): Cho hình bình hành ABCD Chứng minh

VÝ dô 2: (Bµi 20/tr 18  Sgk_nc): Cho 6 ®iÓm A, B, C, D, E, F Chøng minh

 GK = 0  G  K  G là trọng tâm ABC.

b Với điểm G thoả mãn điều kiện đầu bài ta có:

3 MG = MA + MB + MC = MG + GA + MG + GB + MG + GC

= 3 MG + ( GA + GB + GC )

 GA + GB + GC = 0  G là trọng tâm ABC theo câu a)

 Chú ý: Các kết quả trên đợc sử dụng trong lời giải những bài toán khác.

Ví dụ 5: (Bài 3/tr 34  Sgk_nc): Cho O là tâm của hình bình hành ABCD.

Chứng minh rằng với điểm M bất kì, ta có:

3

5 thoả mãn điều kiện đầu bài

b Biến đổi giả thiết:

0 = 2 IA + 3 IB = 2( MA  MI ) + 3( MB  MI )

 5 MI = 2 MA + 3 MB  MI = 2

5 MA

 + 3

5 MB

, đpcm

Ví dụ 7: Cho ABC Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác Chứng minh

2 1

1 2

Vấn đề 1: Biểu diễn một vectơ thành tổ hợp vectơ

Phơng pháp chung

Ta lựa chọn một trong hai hớng:

Hớng 1: Từ giả thiết xác định đợc tính chất hình học, rồi từ đó khai triển

vectơ cần biểu diễn bằng phơng pháp xen điểm hoặc hiệu của haivectơ cùng gốc

Hớng 2: Từ giả thiết thiết lập đợc mối liên hệ vectơ giữa các đối tợng, rồi

từ đó khai triển biểu thức này bằng phơng pháp xen điểm hoặchiệu của hai vectơ cùng gốc

 Chú ý: Trong một vài trờng hợp cần sử dụng cơ sở trung gian.

Ví dụ 1: (Bài 22/tr 23  Sgk_nc): Cho OAB Gọi M, N lần lợt là trung điểm

hai cạnh OA và OB Hãy tìm các số m và n thích hợp trong mỗi

2( OB  OA ) = 1

2 OA

 + 1

do đó đẳng thức MB = m OA + n OB sẽ có m = 1

2 và n = 1.

Ví dụ 2: (Bài 25/tr 24  Sgk_nc): Gọi G là trọng tâm ABC Đặt a = GA và

b = GB Hãy biểu thị mỗi vectơ AB , GC , BC , CA qua các vectơ

Ví dụ 3: Cho ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J là

điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC.

G

A

CB

GIJ

1

2( AB + AC ) = 1

3( AB + AC ) (5)Mặt khác, từ hệ tạo bởi (3) và (4), ta nhận đợc:

Vấn đề 2: Xác định điểm M thoả một đẳng thức vectơ cho

trớc

Phơng pháp chung

Ta biến đổi đẳng thức vectơ cho trớc về dạng:

OM = v,trong đó điểm O cố định và vectơ v đã biết

 Chú ý: Nếu muốn dựng điểm M, ta lấy O làm gốc dựng một vectơ bằng

vectơ v, khi đó điểm ngọn của vectơ này chính là điểm M

Ví dụ 1: (Bài 17/tr 17  Sgk_nc): Cho hai điểm A, B phân biệt.

a Tìm tập hợp các điểm O sao cho OA

điều trên mâu thuẫn bởi hai điểm A, B phân biệt

Vậy, không tồn tại điểm O thoả mãn điều kiện đầu bài

b Biến đổi giả thiết:

OA =  OB  OA + OB = 0  O là trung điểm AB

Vậy, với O là trung điểm của AB thoả mãn điều kiện đầu bài

Ví dụ 2: (Bài 12/tr 14  Sgk_nc): Cho ABC đều, nội tiếp đờng tròn tâm O.

a Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho:

OM = OA + OB , ON = OB + OC , OP = OC + OA

b Chứng minh rằng OA + OB + OC = 0

 Giải

a Dựa theo quy tắc hình bình hành, ta lần lợt có:

 Với điểm M thoả mãn:

OM = OA + OB

 M là đỉnh thứ t của hình bình hành AOBM

 CM là đờng kính của (O), vì ABC đều

 Với điểm N thoả mãn:

O

M

NP

 Với điểm P thoả mãn:

OP = OC + OA  P là đỉnh thứ t của hình bình hành AOCP

 BP là đờng kính của (O), vì ABC đều

Vậy, các điểm M, N, P nằm trên đờng tròn (O) sao cho CM, AN, BP là các ờng kính của đờng tròn (O)

đ-b Dựa vào kết quả câu a) và OC = MO , ta có ngay:

OA + OB + OC = OM + MO = MO + OM = MM = 0

Ví dụ 3: (Bài 4/tr 34  Sgk_nc): Cho ABC

a Tìm các điểm M và N sao cho:

0 = 2 NA + NB + NC = 2 NA + 2 NE , với E là trung điểm BC

 NA + NE = 0  N là trung điểm của AE

4 AC



Ví dụ 4: Cho trớc hai điểm A, B và hai số thực ,  thoả mãn  + 0.

a Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn:

   AB không đổi, do đó tồn tại duy nhất điểm Ithoả mãn điều kiện đầu bài

b Ta có:

 MA +  MB = ( MI + IA ) + ( MI + IB ) = ( + ) MI + ( IA +  IB )

= ( + ) MI , đpcm

 Nhận xét quan trọng:

1 Nếu  =  = 1 thì điểm I chính là trung điểm của AB.

2 Bài toán trên đợc mở rộng tự nhiên cho ba điểm A, B, C và bộ ba số thực ,

4 Kết quả trên đợc sử dụng để giải bài toán:

“ Cho n điểm A i , i = 1,n và bộ n số thực i , 1,n thoả mãn

n i

i 1 



 MI = k MI  k =

n i

i 1 



số k và điểm cố định I, J, K sao cho các đẳng thức vectơ sau thoả mãn với mọi điểm M.

17

 Từ (1.1), ta đợc:

2 MA + MB = (2 + 1) MI = 3 MI (1.2)

Từ (1) và (1.2), suy ra:

3 MI = k MI  k = 3

Vậy, với k = 3 thoả mãn điều kiện đầu bài

b Vì (2) thoả mãn với mọi điểm M, do đó đúng với M  J, khi đó:

JA



+ JB + 2 JC = k JJ = 0 (2.1)

 Gọi E là trung điểm AB, từ (2.1), ta đợc:

2 JE + 2 JC = 0  J là trung điểm của CE

 Từ (2.1), ta đợc:

MA

 + MB + 2 MC = (1 + 1 + 2) MJ = 4 MJ (2.2)

Từ (2) và (2.2), suy ra:

4 MJ = k MJ  k = 4

Vậy, với k = 4 thoả mãn điều kiện đầu bài

c Vì (3) thoả mãn với mọi điểm M, do đó đúng với M  K, khi đó:

Từ (3) và (3.2), suy ra:

6 MK = k MK  k = 6

Vậy, với k = 6 thoả mãn điều kiện đầu bài

Vấn đề 3: Chứng minh hai điểm trùng nhau.

= 0 hoặc OA 1 = OA 2với O là điểm tuỳ ý

Ví dụ 1: (Bài 19/tr 15  Sgk_nc): Chứng minh rằng AB = CD khi và chỉ khi

trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

VÝ dô 3: (Bµi 27/tr 24  Sgk_nc): Cho lôc gi¸c ABCDEF Gäi M, N, P, Q, R, S

lÇn lît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB, BC, CD, DE, EF, FA Chøng minh r»ng hai tam gi¸c MPR vµ NQS cã cïng träng t©m.

Để nhận đợc (1), ta lựa chọn một trong hai hớng:

Hớng 1: Sử dụng các quy tắc biến đổi vectơ đã biết

Hớng 2: Xác định vectơ AB và AC thông qua một tổ hợp trung gian

 Chú ý:

1 Sử dụng kết quả trong nhận xét quan trọng ở bài toán 3, ta có đợc kết quả sau:

“ Cho ba điểm A, B, C Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là:

MC



= MA + (1 )MB , với điểm tuỳ ý M và số thực  bất kỳ ”.

Đặc biệt khi 0    1 thì điểm C thuộc đoạn AB

2 Kết quả trên ngoài ra còn đợc sử dụng để tìm điều kiện cho ba điểm A, B,

C thẳng hàng

Ví dụ 1: (Bài 18/tr 24  Sgk_nc): Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng:

d Có một điểm O duy nhất sao cho:

OA + OB + OC + OD = 0

Điểm O đợc gọi là trọng tâm của bốn điểm A, B, C, D Tuy nhiên, ngời ta vẫn gọi quen O là trọng tâm của tứ giác ABCD.

e Trọng tâm O là trung điểm của mỗi đoạn thẳng nối các trung

điểm hai cạnh đối của tứ giác, nó cũng là trung điểm của

đoạn thẳng nối trung điểm hai đờng chéo của tứ giác.

f Trọng tâm O nằm trên các đoạn thảng nối một đỉnh của tứ giác và trọng tâm của tam giác tạo bởi ba đỉnh còn lại.

 Giải

a Giả sử có điểm O1 thoả mãn:

0 = O A1 + O B1 + O C1 + O D1 = 4O O1 + OA + OB + OC + OD = 41

O O

 O O1 = 0  O1  O

Vậy, tồn tại một điểm O duy nhất thoả mãn hệ thức vectơ đã cho

b Gọi M, N, P, Q, E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA, AC, BD,