(Hình học 10 - Chương III) Bài giảng: Đường parabol

Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG

MẶT PHẲNG

 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội

Email: nhomcumon68@gmail.com

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG

• Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Đọc lần 2 toàn bộ:

• Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí

• Định hướng thực hiện các hoạt động

• Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu

3 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:

• Đọc − Hiểu − Ghi nhớ các định nghĩa, định lí

• Chép lại các chú ý, nhận xét

• Thực hiện các hoạt động vào vở

4 Thực hiện bài tập lần 1

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Phần: Bài giảng nâng cao / Phương pháp giải các dạng toán

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ

• Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ

3 Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải như vậy”

4 Thực hiện bài tập lần 2

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài giảng

em hãy viết yêu cầu theo mẫu:

• Nôi dung chưa hiểu

• Hoạt động chưa làm được

• Bài tập lần 1 chưa làm được

• Bài tập lần 2 chưa làm được

• Thảo luận xây dựng bài giảng

gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon68@gmail.com để nhận

được giải đáp.

Đ 5 đờng Parabol

bài giảng theo chơng trình chuẩn

1 Định nghĩa

Trong mặt phẳng Oxy cho điểm cố định F và đờng thẳng cố định (d)

Parabol (P) là tập hợp những điểm của mặt phẳng cách đều một đờng thẳng (d) cố

định và một điểm F cố định không thuộc (d).

Vậy, ta đợc:

(P) = {M| MF = MH}

với H là hình chiếu của M lên (d)

 Điểm F gọi là tiêu điểm.

 Đờng thẳng (d) gọi là đờng chuẩn.

 FL = p>0 gọi là tham số tiêu của (P).

 S (trung điểm của FL) gọi là đỉnh của (P).

 Đờng thẳng LF là trục đối xứng của (P).

 Parabol, nhận Ox làm trục đối xứng, đồ thị ở bên phải Ox

Chú ý: Ngoài dạng chính tắc y2 = 2px, ngời ta cung coi các dạng phơng trình sau là

ph-ơng trình chính tắc của Parabol:

(P): y2 = −2px,(P): x2 = ±2py

F

(d)LO

4 phơng pháp giải Các dạng toán thờng gặp

Bài toán 1:Xác định các thuộc tính của Parabol (P)

 Parabol, nhận Ox làm trục đối xứng, đồ thị có hớng xuống dới

Chú ý: Trong trờng hợp phơng trình của (P) có dạng:

F

(d)LO

L

p/2y

−p/2y

X x

b Tìm quĩ tích tiêu điểm của họ (Pm)

c Tìm đểm cố định mà họ (Pm) luôn đi qua

Giải

Chuyển phơng trình của (Pm) về dạng:

(Pm): (y − m)2 = 2m2(x − 2

m2

1m

2 −

)

Để phơng trình trên là phơng trình của một Parabol điều kiện là m ≠ 0

Thực hiện phép tịnh tiến hệ trục toạ độ Oxy theo vectơ OS với S(

Y

m 2

1 m 2 x

=

− +

= m Y y

m 2

1 m 2 X

 Đỉnh S( 2

m2

1m

1m

1m

m 2

1 m 2

⇒ x = 2 y 2

1 y

Vậy quĩ tích đỉnh của (Pm) thuộc đờng cong (C1): x = 2 y 2

1 y

=

m y

m 2

1 m

2 2

⇔ x = 4 2

y

1 y

Vậy quĩ tích đỉnh của (Pm) thuộc đờng cong (C2): x = 2

4

y 2

1 y

0 y 1

0 x 1

1 x

Ta lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Sử dụng phơng trình chính tắc của Parabol

(P): y2 = 2px hoặc (P): x2 = 2py

Từ đó cần tìm a, b (hoặc a2, b2) bằng cách thiết lập một hệ hai phơng trình với ẩn a,

b (hoặc a2, b2)

Cách 2: Sử dụng định nghĩa

Bớc 1: Lấy điểm M(x, y)∈(P) có tiêu điểm F và dờng chuẩn (d)

Bớc 2: Chuyển MF = MH thành biểu thức giải tích nhờ:

| 16 0 4 3 3

)0 ,3 (F

−

=

0 16 y x

x 12

y2

⇒ y2 = 4(4y − 16)

⇔ y2 − 16y + 64 = 0 ⇔ y = 8 (nghiệm kép) ⇒ x =

316

Vậy (P) tiếp xúc với (d) tại tiếp điểm A(

 M(x, y)∈ miền trong của (P) ⇒ qua M không thể kẻ đợc tiếp tuyến tới (P)

 M(x, y)∈ miền ngoài của (P) ⇒ qua M kẻ đợc 2 tiếp tuyến tới (P)

 M(x, y) nằm trên (P) ⇒ qua M kẻ đợc một tiếp tuyến tới (P)

2 Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng với Parabol bằng việc xét hệ phơng trình tạo bởi (P) và (d), khi đó số nghiệm của phơng trình bằng số giao điểm của (d) và (P)

Ví dụ 1: Cho Parabol (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình:

(P): y2 = 4x và (d): 2x − y − 4 = 0

Tìm các điểm M∈(d) để từ đó:

a Không kẻ đợc tiếp tuyến nào tới (P)

b Kẻ đợc một tiếp tuyến tới (P)

c Kẻ đợc hai tiếp tuyến tới (P)

Giải

Với mỗi điểm M(x0, y0)∈(d), ta có:

2x0 − y0 − 4 = 0 ⇔ y0 = 2x0 − 4

) P

1 x

) 2 , 1 ( M

2

1

.Vậy, tồn tại hai điểm M1(1, − 2) và M2(4, 4) thuộc (d) từ đó kẻ đợc một tiếp tuyến tới (P)

c Để từ M kẻ đợc hai tiếp tuyến tới (P)

1 x

0 0

Vậy, tập hợp các điểm M(x0, y0)∈(d) có hoành độ x0∈( − ∞, 1)∪(4, + ∞) kẻ đợc hai tiếp tuyến tới (P)

Bài toán 4:Điểm và Parabol

3 Nếu điểm phải tìm là giao của Parabol với một đờng khác ta xét hệ phơng trình

t-ơng giao để tìm toạ độ giao điểm

Ví dụ 1: Cho Parabol (P) có phơng trình y = x2

Một góc vuông ở đỉnh O cắt Parabol tại A1 và A2 Hình chiếu của A1 và A2 lên Ox

là B1 và B2

a Chứng minh rằng OB1.OB2 = const

b Chứng minh rằng A1A2 luôn đi qua một điểm cố định

1 y

x y

0

x

1 y x

1 x

2 0

2 0 0

0 0

x

1xx

1y

x

1xx

1x

−

−

=++

⇔ (A1 A2): xx + (1 − y)30 2

0

(1)

 Ta đi chứng minh A1A2 luôn đi qua một điểm cố định

Thật vậy giả sử I(x, y) là điểm cố định của họ đờng thẳng A1A2

0

x ⇔ I(0, 1)

Vậy (A1A2) luôn đi qua một điểm cố định I(0, 1)

B bài tập rèn luyện Bài tập 1 Cho Parabol (P) có phơng trình:

Bài tập 6 Lập phơng trình Parabol (P) có đỉnh S( − 1, 2) và tiêu điểm F(−1, 4).

Bài tập 7 Cho Parabol (P) có phơng trình:

Một đờng thẳng bất kỳ đi qua tiêu điểm của (P) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và

B Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ A và B đến trục của (P) là một đại lợng không đổi, tính giá trị đó

Bài tập 9 Cho Parabol (P) và Elíp (E) có phơng trình:

(P): y = x2 − 2x và (E): 1

1

y9

x2 2

=

a Chứng minh rằng (P) cắt (E) tại bốn điểm phân biệt A, B, C, D

b Lập phơng trình đờng tròn đi qua các giao điểm đó

Bài tập 10 Cho Parabol (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình:

(P): y2 = x và (d): x − y − 2 = 0

a Xác định toạ độ giao điểm A, B của (d) và (P)

b Tìm toạ độ điểm C thuộc (P) sao cho :

a Đờng thẳng qua B vuông góc với OM luôn đi qua một điểm cố định

b Đờng thẳng qua B vuông góc với AB luôn đi qua một điểm cố định

c Đờng thẳng AB luôn tiếp xúc với một Parabol cố định

Bài tập 12 Cho Parabol (P) có phơng trình:

(P): y2 = 2px

Tìm hai điểm A, B trên (P) sao cho ∆OAB nhận tiêu điểm F làm trực tâm

Bài tập 13 Cho Parabol (P) có phơng trình y2 = 2px

Tìm hai điểm A, B trên (P) sao cho ∆OAB đều

Bài tập 14 Cho Parabol (P) có phơng trình:

(P): y2 = 2px

Đờng thẳng (d) có phơng không đổi cắt Parabol (P) tại A, B Chứng minh rằng trung

điểm I của AB chạy trên một đờng thẳng cố định cùng phơng với Ox

Bài tập 15 Đờng thẳng (d) cắt Parabol (P): y2 = 4x tại A, B Chứng minh rằng trung

điểm I của AB chạy trên:

a Một đờng thẳng cố định cùng phơng với Ox nếu (d) có hệ số góc k = 1

b Một Parabol cố định nếu (d) luôn đi qua M(1, 1)

Bài tập 16 Cho Parabol (P) có phơng trình:

(P): y2 = 2px

Giả sử đờng thẳng (d) đi qua tiêu điểm F của (P) và tạo với chiều dơng của trục Ox một góc α và cắt (P) tại hai điểm M, N

a Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng MN theo p và α

b Từ đó suy ra quỹ tích I khi α thay đổi

C hớng dẫn − đáp số

Bài tập 1 Chuyển phơng trình của (P) về dạng:

(P): (y + 2)2 = 4(x + 1)Thực hiện phép tịnh tiến hệ trục toạ độ Oxy theo vectơ OS với S(−1, −2) thành hệ trục SXY, với công thức đổi trục:

Y

1 x

1 X x

Khi đó phơng trình Parabol (P2): x2 = 2y

Vậy tồn tại hai Parabol (P1) và (P2) thoả mãn điều kiện đầu bài

Bài tập 3 Lấy M(x, y)∈(P), ta có:

MF = d(M, (d)) ⇔ MF2 = d2(M, (d))

⇔ (x − 1)2 + (y − 1)2 =

2

) y x ( + 2

1

px 2

4

p x.

x

m

)2 m (p x

x

2 B

A

2

2 B

2B

A

BA

p y.

y

m

p y

2

x x x

BA

BA

m 2

) 2 m (p

m

)1m(p

m

) 2 m ( p 2

Vậy đờng tròn (C) tiếp xúc với đờng chuẩn (∆) của (P)

Chú ý:

1 Ta có thể chứng minh bằng định nghĩa, thực hiện các bớc:

Bớc 1: Gọi A1, B1 theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A, B lên đờng chuẩn

AB ⇔ ∆ABJ vuông tại J

⇔ Đờng tròn đờng kính AB tiếp xúc với đờng chuẩn của Parabol (P)

2 Đề nghị bạn đọc chứng minh thêm các tính chất sau:

a Tính độ dài FA, FB theo p, α = (Ox, OM) với 0≤α≤2π Từ đó chứng tỏ rằng

FB

1FA

1 + không đổi khi (d) quay quanh F

b Chứng minh rằng FA.FB nhỏ nhất khi (d) vuông góc với Ox

Ngoài ra còn có tích các khoảng cách từ A và B đến trục Ox là một đại lợng không

đổi

Bài tập 8 Parabol (P) có tiêu điểm F(1, 0).

Đờng thẳng (d): ax + by + c = 0 đi qua F(1, 0) có dạng:

=

0 a by

y

a

b y

y

B

A

BA

Khoảng cách từ A và B đến trục Ox theo thứ tự là:

y

9 y9 x

2

22

8

9 y x

2

22

Nhận xét rằng toạ độ của A,B,C,D cùng thoả mãn (*)

Vậy, phơng trình đờng tròn đi qua A, B, C, D có dạng:

A

BD

C

Vậy không tồn tại điểm C thuộc (P) để ∆ABC đều.

c Với M(x0, y0) thuộc cung AB của (P) nên:

Tổng diện tích hai phần hình phẳng giới hạn bởi (P) và

hai dây cung MA, MB là nhỏ nhất

⇔ ∆MAB có diện tích lớn nhất ⇔ d(M, (d)) lớn nhất

Ta có:

d(M, (d)) =

2

|2yx

| 0 − 0 −

=

2

|2yy

≤ 12

2 0 0

2

)y2()1y(

) thoả mãn điều kiện đầu bài

Bài tập 11 Điểm M∈(P) suy ra M(

p2

y2

0 , y0), A(

p2

B M

1

−1

4

2 1/2 1/4

, p

y ( OM vtpt

) y ,0 ( B qua

0

20

0

⇔ (d1):

p2

Nhận xét rằng (d1) luôn đi qua điểm cố định M1(2p, 0)

b Đờng thẳng (d2) qua B vuông góc với AB đợc cho bởi:

y ( BA vtpt

) y ,0 ( B qua

0

200

⇔ (d2):

p2

Vậy đờng thẳng qua B vuông góc với AB luôn đi qua điểm cố định M2

c Đờng thẳng (AB) đợc cho bởi:

y ( BA vtcp

) y ,0 ( B qua

0

20

0

⇔ (AB):

p2y

x

2

0 =

0 0

0

yy

yy

2 )

A B

(d1)

M2 M1

(P1)

t x x

=

px 2

y

t y

y

t x

O

y

x

(P) A

B F

O

y

x

(P) I

B

= +

2 0

2 0 B

A

2

0 B

A

px 2 y t

t

) y p (2 t

Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 900.000đ.

1 Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689

2 Bạn gửi tiền về:

LÊ HỒNG ĐỨC

Số tài khoản: 1506205006941

Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ

3 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email.

LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT

ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY