SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG... Vỡ vậy, để giúp các em tự tin hơn trong việc học toỏn, tôi xây dựng “ Phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng ” t
Trang 1SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Trang 2Phần i - mở đầu
i lý do chọn đề tài
Chúng ta đã biết Toán học nói chung là một nghành khoa học gắn liền với những suy luận logic chặt chẽ, đòi hỏi tính chính xác và ngắn gọn Có nhiều ý kiến cho rằng toán học rất khô khan và nhàm chán bởi những rắc rối của kí hiệu và sự trừu tượng của ngôn từ vµ h×nh ¶nh Nhìn nhận vấn đề gần hơn trong trường THPT đa số các em thấy khó khăn, rắc rối, khó nhớ và lo sợ khi học môn toán đặc biệt là môn hình học không gian Vỡ vậy, để giúp các
em tự tin hơn trong việc học toỏn, tôi xây dựng “ Phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng ” trong các trường hợp củ thể từ các bài toán đơn
giãn Qua quỏ trỡnh thực hiện tụi thấy từ phương pháp này giúp các em giải quyết bài toán liên quan đến góc giữa hai mặt phẳng một cách dễ dàng hơn và
từ đó tạo niềm đam mê tìm hiểu xây dựng phương pháp giải các bài toán khác
và đặc biệt giúp các em yêu thích hình học không gian nhiều hơn
Chính những lí do trên mà tôi quyết định chọn đề tài này
II mục đích của đề tài
* Khắc phục những khó khăn hiện tại, tìm ra phương án thích hợp giải quyết vấn đề bài toán tìm góc giữa hai mặt phẳng
* Góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy bộ môn theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo của học sinh Góp phần nâng cao chất lượng đội ngũ học sinh khá, giỏi về bộ môn Toán ở trường THPT
* Góp phần hình thành lòng say mê, sự hào hứng học tập môn Toán, từ
đó hình thành và phát triển năng lực tự học, tự bồi dưỡng kiến thức cho học sinh
* Ngoài ra, đề tài còn có thể là một tài liệu tham khảo bổ ích cho các bạn đồng nghiệp
Iii - đối tượng áp dụng
* Học sinh các lớp 11, 12 Trường THPT Quỳ Hợp 2
Trang 3Phần ii - nội dung sáng kiến
A cơ sở lý thuyết về góc giữa hai mặt phẳng
1 Khái niệm: “ Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó ”
2 Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng (SGK Hình học 11cơ bản)
- Giả sử hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến c
- Từ một điểm I bắt kỳ trên c ta dựng trong (P) đường thẳng a vuông góc với c và dựng trong (Q) đường thẳng b vuông góc với c
- Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng a
và b
- Tuy nhiên khi sử dụng phương pháp trên học sinh sẽ gặp khó khăn với những bài toán phức tạp đó là việc chọn vị trí điểm I trên giao tuyến c để xác định được các đường thẳng a, b thoã mãn bài toán
- Để khắc phục khó khăn trên, trong nội dung sáng kiến này tôi nêu ba trường hợp thường gặp và hướng khắc phục cụ thể cho từng trường hợp
b các trường hợp thường gặp của bài “ toán tìm góc giữa hai mặt phẳng ” và phương
pháp giải
i trường hợp 1
Tìm góc giữa hai mặt phẳng khi giao tuyến của chúng là một cạnh đáy cuả hình chóp
I.1 Các bài toán
Bài toán 1:(Bài 3.32-SBT Hình học 11 cơ bản)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang
vuông ABCD vuông tại A và D, có AB = 2a,
AD = DC = a, có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a Xác định góc giữa
hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD)
Giải:
Theo giả thiết:
SA (ABCD) SA CB (1)
Mặt khác: Xét tam giác vuông ADC có AD = a, DC = a AC = a 2 Gọi I là trung điểm của AB IC IB và IC = IB = AD = a
Xét tam giác vuông ICB ta có: CB = IC2 IB2 = a 2 Xét tam giác vuông ACB ta có: AC2 + CB2 = 2a2 + 2a2 = 4a2
AB2 = 4a2
AC2 + CB2 = AB2 AC CB (2)
Từ (1) và (2) (SAC) CB SC CB (3)
Từ (2) và (3) góc SCA là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD)
Nhận xét
Trong bài tập dựa vào hai điều kiện để xét góc giữa hai mặt phẳng (SBC)
và (ABCD) là:
S
C
D
I
Trang 41 A là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) hay SA CB
2 AC CB
Từ nhận xét trên hãy giải bài toán sau:
Bài toán 1.2
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành
SA (ABCD) Xác định góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD)
Ta thấy bài toán 1.2 thiếu điều kiện 2, để giải quyết bài toán này ta cần tạo nên điều kiện vuông góc
Giải:
Theo giả thiết:
SA BC [vì SA (ABCD)]
Từ A dựng AH CB tại H (1) (SAH) CB SH CB (2)
Từ (1) và (2) góc SHA là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD)
Bài toán 1.3
Hình chóp S.ABCD có SA = SB = SC = SD Đáy ABCD là hình bình hành.Xác định góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD)
Ta thấy bài toán 1.3 chưa có cả hai điều kiện trong nhận xét trên, khi đó ta giải bài toán này như sau
Giải:
Gọi o = AC BD
Theo giả thiết ta có: ÄSAC, ÄSBD cân tại S với SO là đường trung tuyến
BD SO
AC SO
[hay O là hình chiếu của S lên (ABCD)]
Từ O dựng OH BC tại H (1)
(SOH) BC
SH BC (2)
Từ (1) và (2) góc SHO là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD)
I.2 Phương pháp giải
Xác định góc giữa hai mặt phẳng () và () trong đó a = () () thuộc mặt phẳng đáy
Phương pháp giải:
- Xác định hình chiếu O của đỉnh S lên mặt phẳng đáy ( P )
- Từ O dựng đường thẳng OH a tại H
góc SHO là góc giữa hai mặt phẳng () và ()
S
A
B
C
D
H
C
S
A
B
D
O
H
Trang 5I.3 Bài tập vận dụng
Bài 1 (Đề thi TSĐH - CĐ -2004 khối B) Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng (00 < <
900) Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo
Bài 2 Cho hình chốp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a, Â = 600, SA
= SB = SD =
2
3
a Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD)
II- trường hợp 2
Tìm góc giữa hai mặt phẳng khi giao tuyến của chúng là một cạnh bên của hình chóp
II.1 Các bài toán
Bài toán 2.1
Hình chóp S.ABCD có ÄSAB, ÄSAD đều
Xác định góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD)
Giải:
Gọi I là trung điểm SA
Theo giả thiết ÄSAB, ÄSAD đều
SA DI
SA BI
góc BID là góc giữa hai mặt phẳng (SAB)
và (SAD)
Nhận xét:
Trong bài tập 2.1 dựa vào điều kiện ÄSAB, ÄSAD đều nên xác định được hai đường thẳng IB (SAB); ID (SAD) cùng vuông góc với SA tại I (I
SA)
Từ nhận xét đó giải bài toán sau
Bài toán 2.2
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cạnh
a, SB = a Xác định góc giữa hai mặt phẳng
(SAB) và (SAD)
Ta thấy, bài toán 2.2 không có điều kiện tam giác đều giống như bài toán 2.1 do đó ta giải bài toán 2.2 như sau
Giải:
Gọi I là trung điểm của SA
Theo giả thiết: SB = a = AB
BI SA
Trong mặt phẳng (SAD), từ I dựng IK SA tại I cắt AD tại K
góc BIK là góc giữa hai mặt phẳng (SAB)
và (SAD)
Bài toán 2.3
S
A
I
B
C
D
I
S
A
B
C
D
K
Trang 6Hình chóp S.ABCD Xác định góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC)
Ta thấy, bài tập này không có điều kiện gì đặc biệt để xác định hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng vuông góc với SC tại một điểm
Vì vậy ta giải như sau
Giải:
Trong mặt phẳng (SBC) dựng BH SC tại H
Trong mặt phẳng (SDC) dựng KH SC tại H cát DC tại K
góc BHK là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC)
II.2 Phương pháp giải
Xác định góc giữa hai mặt phẳng () và () trong đó a = () () là một cạnh bên của hình chóp
- Trong mặt phẳng () dựng đường thẳng từ một đỉnh vuông góc với a tại
H
- Trong mặt phẳng () dựng HK a tại H cắt một cạnh của () tại K
góc AHK là góc giữa hai mặt phẳng () và ()
II.3 Bài tập vận dụng
Bài 1 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a
Gọi C1 là trung điểm của CC’ Tính góc giữa hai mặt phẳng (C1AB) và (ABC)
Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a Đường cao
SA = h Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) theo a, h Chứng tỏ
rằng > 900
III - trường hợp 3
III.1 Các bài toán
Bài toán 3
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang Xác định góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)
Giải:
Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) có điểm chung
S và AB // CD
Qua S dựng Sx // AB (//CD)
Sx = (SAB) (SCD)
Dựng SH AB SH Sx
góc HSK là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) Dựng SK CD SK Sx và (SCD)
Nhận xét
Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) song song với mặt phẳng đáy
S
K
H
C
D
S
x
A H
B
C K
D
Trang 7III.2 Phương pháp giải
Xác định góc giữa hai mặt phẳng () và () trong đó () và () chứa hai đường thẳng a, b song song
- Gọi S là điểm chung của () và ()
- Qua S dựng đường thẳng SH a
- Qua S dựng đường thẳng SK b
góc HSK là góc giữa hai mặt phẳng () và ()
III.3 Bài tập vận dụng
Bài 1 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh a; đường cao hình chóp
bằng 2
a Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)
Bài 2 Cho hình chữ nhật ABCD AB = a, BC = 2a Lấy điểm S trong
không gian sao cho SO (ABCD), SO = h Xác định và tính góc giữa hai mặt
phẳng (SAB) và (SCD) Tính h theo a để (SAB) (SCD)
Phần iii – kết luận
Sau khi tổ chức dạy học theo phương đề xuất trên ở lớp 11A2 với n1 = 46 học sinh (HS) và khi dạy học phương pháp của sách giáo khoa hình học 11 - ban cơ bản ở lớp 11A4 với n2 = 36 HS, rồi tổ chức kiểm tra như nhau ở hai
lớp ta thu được kết quả sau:
Bảng 1
Từ bảng 1 ta tính được các thông số thống kê
* Tính trị trung bình số học: Công thứ tính
n
x f
X i i với n
1 = 46; n2
= 36
* Lớp 11A2:
59 6 46
10
* 4 9
* 6 8
* 6 7
* 7 6
* 9 5
* 6 4
* 5 3
* 2 2
* 1 0 0
* 0
1
X
* Lớp 11A4:
97 4 36
10
* 0 9
* 2 8
* 2 7
* 3 6
* 6 5
* 9 4
* 5 3
* 5 2
* 4 1 0 0
* 0
2
X
Ta có: d = X1 X2 1 44 và X1 > X2
* Tính phương sai: Công thức tính
1
)
2
n
X x
f i i
Ta có các bảng số liệu sau: