035 đề thi HSG toán 9 tỉnh bình phước 2018 2019

Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP cắt BC tại I I B.Các đường thẳng DI và AC cắt nhau tại K a Chứng minh tứ giác CIPK nội tiếp b Chứng minh PK QC.. c Đường thẳng AP cắt đường tròn n

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH BÌNH PHƯỚC

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018-2019

MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 06/03/2019

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể giao đề

Câu 1 (5,0 điểm)

1) Cho biểu thức

P

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của biểu thức P khi x 3 2 2  5 1  3 2 2  5.1 2 2) Cho ,x y là các số thực thỏa mãn: x y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

P x x y y x  y

Câu 2 (5,0 điểm)

1 Giải phương trình 3x 5 x 2 4x 2x3

2 Giải hệ phương trình:

xy x y







3 Cho hàm số   2

P yx Tìm các giá trị của m để đường thẳng  d :y2x m 1 cắt đồ thị hàm số  P tại hai điểm phân biệt A x y 1, 1 ;B x y thỏa mãn 2, 2

1 2 1 2 12

y y x x 

Câu 3 (5,0 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), D là một điểm trên cạnh

AB D A B Gọi M N lần lượt là trung điểm của , CB CA Đường thẳng MN cắt (O) tại , hai điểm , ( ,P Q P Q lần lượt thuộc cung CB và CA) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP cắt BC tại I I B.Các đường thẳng DI và AC cắt nhau tại K

a) Chứng minh tứ giác CIPK nội tiếp

b) Chứng minh PK QC QB PD

c) Đường thẳng AP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP tại G G P.Đường thẳng

IG cắt BA tại E Chứng minh rằng khi D di chuyển trên BA thì AD

AE không đổi

Câu 4 (2,0 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD với ABa AD, b.Trên các cạnh AD AB BC CD lần , , , lượt lấy các điểm , , ,E F G H sao cho luôn tạo thành tứ giác EFGH Gọi c là chu vi của tứ giác EFGH Chứng minh c2 a2 b2

Câu 5 (3,0 điểm)

1) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 4y4 6y2 1 x

2) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n chẵn thì: n320n96chia hết cho 48

ĐÁP ÁN Câu 1

1a) Điều kiện xác định : 1 x 10, đặt a x1,0 a 3, khi đó:

2

2 2

:

:

3

P

a



b) Ta có:

3 2 2 5 1 3 2 2 5 1 2

2 1 5 1 1 2 5 1 2

2 1 5 1 2 1 2 5 1 2

2 1 2 1 2

2

2 2 1 4

  2.Ta có:

2 2

2 2 1

Do 3 3    2 2 2 2 1 2 2 2

x  y  x y x xy y x xyy  x y   

 2 2

1

2

Dấu " " xảy ra khi 1

2

x y

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1

4khi

1 2

x y

Câu 2

1 Điều kiện 3

2

x

 

2

5( )

( ) 2







  

 Vậy phương trình có nghiệm x5

2 Ta có

(*)

xy x y

Đặt a x 1;b y 2 ta có hệ phương trình:

 

4

*

4

4

4

ab

ab

a b

a b







Nghiệm của hệ phương trình S    1;4 ; 3;0 

3 Phương trình hoành độ giao điểm của  d và  P là x2 2x m 1hay

2

2 1 0 (1)

 d và  P cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt

' 1 m 1 0 m 0

        

Do ,A B thuộc  P nên y1 x y12; 2 x22.Theo đề bài ta có:

1 2

4

3

x x

x x





 Theo hệ thức Viet ta có: 1 2

1 2

2 1

x x





Nếu x x1 2 4 thì      m 1 4 m 3(ktm)

Nếu x x1 2  3thì      m 1 3 m 4(tm)

Vậy m4là giá trị cần tìm

Câu 3

a) Tứ giác BDIP nội tiếp suy ra PIK 1800 PIDPBA

Mà tứ giác CPBAnôi tiếp PCK 1800PCAPBAPIK PCKsuy ra tứ giác

CIPK nội tiếp

b) Tứ giác CIPK nội tiếp và tứ giác PBDI nội tiếp, suy ra PKI PCI và

PDI PBI PKD PCB g g

Mà tứ giác CPBQ nội tiếp suy ra QPBBCQ hay MPBMCQ

mặt khác PMBCMQ(đối đỉnh)

nên MPB MCQ g g  PB MP (2)

Chứng minh tương tự MCP MQB g g( ) PC MP(3)

E G

K

P

N M

C

B

A D

J

Từ (2) và (3) kết hợp MB MC PB PC PC QB (4)

Từ (1) và (4) PK QB PK QC QB PD

c) Do tứ giác BDGI và tứ giác CPBAnội tiếp, suy ra PGI PBIvà

/ / AD KD (5)

AE KI

Trên BC lấy J sao cho KPI CPJ.Tứ giác CIPK nội tiếp , có: IPK 1800 KCI BCA

không đổi

Suy ra J là điểm cố định CB

CJ

 không đổi (6)

Lại có PKI PCJ g g( )và PKD PCB g g( ) KI PK KD KD CB(7)

Từ (5), (6), (7) suy ra AD

AE không đổi

Câu 4

Gọi , ,I K M theo thứ tự là trung điểm của EF EG GH AEF, ,  vuông tại A và có AI là đường trung tuyến nên 1

2

AI  EF

Tương tự 1

2

MC GH IK là đường trung bình của AFG nên 1

2

IK  FG Tương tự: 1

2

KM  EH

2

cEF FGGHHE AI IKKM MC

M

K I

C

A

D

B E

F

G

H

Ta có : AI IKKM MCAC(vì đường gấp khúc AIKMCAC) Suy ra c2AC 2 a2 b2

Câu 5

1 Đặt 2

xa a y b b

Lập bảng

4a 3 2a 1 13

4b 3 2a 13 1

Nhận Loại

Vậy phương trình có nghiệm nguyên là    x y;  9;1

2) Ta có n chẵn  n 2 ,k k Suy ra :

3

Do k1; ;k k1là 3 số nguyên liên tiếp nên k1 k k1chia hết cho 6

Vậy với mọi số nguyên n chẵn thì n320n96chia hết cho 48