SKKN Cách Giải Và Xây Dựng Các Bài Toán Dãy Số Từ Hệ Thức Bất Biến Đổi Với Chỉ Số

1 SKKN NGƯỜI VIẾT: TRẦN VĂN TRUNG GV TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN – PHAN RANG THÁP CHÀM, NINH THUẬN TÊN ĐỀ TÀI: CÁCH GIẢI VÀ XÂY DỰNG CÁC BÀI TOÁN DÃY SỐ TỪ HỆ THỨC BAÁT BIẾN

1

SKKN

NGƯỜI VIẾT: TRẦN VĂN TRUNG

GV TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN – PHAN RANG

THÁP CHÀM, NINH THUẬN TÊN ĐỀ TÀI:

CÁCH GIẢI VÀ XÂY DỰNG CÁC BÀI TOÁN DÃY SỐ TỪ

HỆ THỨC BAÁT BIẾN ĐỐI VỚI CHỈ SỐ 

A Đặt vấn đề

Trong nhiều năm làm công tác giảng dạy và bồi dưỡng các lớp chuyên toán bản

thân tôi cảm thấy nếu một người thầy trực tiếp dạy các lớp này cần một nhiệm vụ và khả năng không thể thiếu được đó là năng lực sáng tạo các bài toán mới và tìm mối quan hệ, sắp xếp cách dạy toán theo một lớp chung cùng xuất xứ từ một vấn đề

Để chia sẻ công việc này tôi giới thiệu các đồng nghiệp một vấn đề “Cách giải và xây dựng các bài toán dãy số từ hệ thức bất biến đối với chỉ số”

Người thầy có khả năng tự giúp mình chủ động trong cách soạn giáo án lên lớp, sáng tác các đề thi mới để kiểm tra chính xác năng lực của học sinh, bởi vì lặp lại các bài toán đã có học sinh có khả năng đã giải trước vì hiện nay thông tin đến với các em rất

là phong phú Hơn nữa các đề thi học sinh giỏi hầu hết được sáng tác mới Công việc này phần nào giúp học sinh hiểu được tư tưởng của người làm đề qua đó các em phân tích nhận định tìm tòi lời giải

Giá trị bất biến này bằng bao nhiêu là tùy thuộc vào giá trị ban đầu

Biểu thức bất biến này được dấu trong một biểu thức phức tạp bởi người xây dựng bài toán mà người giải toán phải xác định được nó

3/ Phân bố thời gian

Cần tập trung nhiều ở phần mở rộng và xây dựng các bài toán từ 1 hệ thức bất biến

www.huongdanvn.com

4/ Bước chuẩn bị của thầy và trò

4.1- Chuẩn bị của trò :

Nắm vững kiến thức cơ bản của dãy số Một số dạng toán cơ bản của dãy

4.2- Chuẩn bị của thầy :

Giáo án và một số dụng cụ dạy học liên quan

Chuẩn bị bài tập mẫu chu đáo

Giới thiêu một số thủ thuật mở rộng và xây dựng bài toán mới

(1) Bài tập :

* Bài tập mẫu dạy tại lớp

+ Bài toán 1: Cho dãy số (a n)xác định bởi :

1 2 2 1 2

1 1 2

n n n

a a a

2 500 2000

a a a

Tiếp tục rèn học sinh phát hiện sự bất biến

Cung cấp cho học sinh thấy thêm kiểu dấu hệ thức bất biến khác

+ Bài toán 3 : Cho dãy số (u n)xác định bởi :

1 2

1 2

2 8

u u

n S



 Dụng ý :

Kĩ thuật sử dụng bất biến ở mức độ cao

Tập học sinh thay đổi đề bài dựa vào bài toán 1

www.huongdanvn.com

3

+ Bài toán 4 : (Kì thi HSG QG: 96-97 bảng A)

Có bao nhiêu hàm số f N:  N thỏa đồng thời các điều kiện : 1/ f(1) = 1

0 1 1999

u u

Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho u n là số nguyên tố

 Bài toán 2: Cho dãy số nguyên a n thoả a n2a n1  2(a n1a n)

Chứng minh rằng tồn tại số nguyên M không phụ thuộc vào n sao cho

M + 4a n1.a n là số chính phương với mọi n  0

 Bài toán 3: Cho dãy số :

3

1 2 1

2

n n n

n

a

a a a

(2) Đồ dùng dạy học

* Đồ dùng dạy học 1 :

 Bài toán 1: Cho dãy số (u n)xác định bởi :

1 2 2 1 2

1 1 2

n n n

a a a

Chứng minh a n nguyên với mọi n

* Đồ dùng dạy học 2 : Mở rộng và xây dựng bài toán

Nguồn gốc bắt đầu từ hệ thức bất biến đối với chỉ số

n n

n

a a

Ta có bài toán 1 và bài toán này cũng được xây dựng như sau :

Từ hệ thức an  4 an1 an2 và dựa vào phương trình Pell : 2 2

x Dy K Ta xây dựng được vô số các bài toán dãy số có cùng lời giải với bài toán 1

( ,x y0 0) là nghiệm không tầm thường của phương trình 2 2

x Dy K và ( , )  là nghiệm cơ sở của phương trình 2 2

5

2 1 2

2

n n

n

a a

 Như vậy thay đổi bất biến khác ta có một loạt dãy số khác

 Ta cũng có thể dẫn bất biến này một hình thức khác tùy bạn sẽ có dãy mới

n

a a



* Đồ dùng dạy học 5 :

 Bài toán 4 : (Kì thi HSG QG: 96-97 bảng A)

Có bao nhiêu hàm số f N:  N thỏa đồng thời các điều kiện ; 1/ f(1) = 1

2/ 2

( ) ( 2) ( 1) 1997

f n f n  f n   n N

* Đồ dùng dạy học 6 : Trình chiếu bài tập tự rèn luyện

 Bài 1 : Cho dãy số (u n)xác định bởi :

0 1

0 1 1999

u u

Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho u n là số nguyên tố

Bài 2 : Cho dãy số nguyên a n n0 thoả a n2 a n1 2(a n1a n)

Chứng minh rằng tồn tại số nguyên M không phụ thuộc vào n sao cho

M + 4a n1.a n là số chính phương với mọi n  0

www.huongdanvn.com

 Bài toán 3 : Cho dãy số :

3

1 2 1

2

n n n

n

a

a a a

II Các bước soạn giảng

 Ngày soạn :

 Ngày dạy :

 Tên bài dạy : CÁCH GIẢI VÀ XÂY DỰNG BÀI TOÁN DÃY SỐ

TỪ HỆ THỨC BẤT BIẾN ĐỐI VỚI CHỈ SỐ

Kĩ năng xây dựng bài toán

Tư duy biện chứng

GV: Qua lời giải học sinh nào phát

hiện được bất biến?

1 1 1( ,i j, k) ( i , j , k )

2

2

n n n

n n

n

a a

GV: Để nắm rõ vấn đề và linh hoạt giải

quyết các bài toán này các em xem người

ta xây dựng loại toán này như sau :

* Hoạt động 3 (8 ph) : Giáo viên sử

dụng bảng trình chiếu để thuyết trình

* Đồ dùng dạy học 2 : Mở rộng và

xây dựng bài toán

Nguồn gốc bắt đầu từ hệ thức bất biến

2

n n

n

a a

Ta có bài toán 1 và bài toán này cũng

được xây dựng như sau :

Từ hệ thức a n 4a n1a n2 và dựa vào

phương trình Pell : x2Dy2 K Ta xây dựng

được vô số các bài toán dãy số có cùng lời giải với

a a a

www.huongdanvn.com

nghiệm cơ sở của phương trình x Dy  1

Khi đó nếu xét 2 dãy số    x n , y n xác định bởi :

1 1

Như vậy đã xuất hiện được hai dãy số

nguyên cho bởi công thức không nguyên

2

n n

n

a a

GV Trình chiếu Bài toán 2

GV : Hỏi bất biến của dãy số này ?

sự khôn khéo trong việc che đậy hệ

n

a a

n n

n

u u

Vậy a n22a a n n1, như thế mọi số hạng của đãy

số đều là số nguyên dương

1 1 1 1

u u arc

u u

Hơn nữa :

*Hoạt động 6 (8 ph):

GV Trình chiếu Bài toán 4

GV : Nhận xét bất biến của bài toán

này ?

 Dự kiến trả lời : Bất biến này

cũng chính là bất biến bài toán 1

GV : Vậy các em có quyền thay đổi giả

thiết mà lời giải bài toán vẫn không

* Bài toán 4 (Thi HSG QG 96-97 bảng A)

Có bao nhiêu hàm số f: N* N* thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

1) f(1) = 1 2) f(n) f(n+2) = f2(n+1) + 1997 với mọi n  N *

Đảo lại, với mỗi ước dương a của 1998 ta xây dựng hàm f: N*  ¡ như sau:

Vậy:

www.huongdanvn.com

11

(1 1)(1 3)(1 1) 16

3 Củng cố : (4 ph)

Sử dụng bất biến để giải toán

Kĩ năng phát hiện bất biến

Sưu tầm các bài toán bất biến

Phát biểu bài toán bằng cách khác

D Đánh giá hiệu quả :

Sau khi học xong bài học này thì học sinh có một cách nhìn khá nhạy bén về vấn

đề Hệ bất biến đối với chỉ số và kết quả đó được thể hiện ở khảo sát sau :

 Nhóm 1 : 15 học sinh

Câu hỏi : Xác định hệ thức bất biến cũa dãy số ( un) với

2 1

2

u u

Xác định số hạng tổng quát của dãy số

Kết quả: 14 em là có lời giải tốt

C Kết luận :

Thực tế trong việc giảng dạy việc truyền thụ để học sinh lĩnh hội những tri thức

một cách chính xác chưa đủ mà cần phải cung cấp cho học sinh hiểu được nguồn gốc và

bản chất của vấn đề từ đó các em mới sáng tạo và linh hoạt trong việc giải toán

Với bài giảng này trên thực tế tôi đã giúp học sinh làm sáng tỏ bản chất của rất

nhiều bài toán về dãy số và cũng được nhiều đồng nghiệp hoan nghênh tại Hội thảo Toan

học tại tỉnh Phú Yên tháng tư vừa rồi

Để một ngày hoàn thiện hơn mong sự góp ý của các đồng nghiệp thêm cho bản

thân tôi

Phan Rang, ngày 10 tháng 5 năm 2011

Trần Văn Trung

www.huongdanvn.com

ĐÁNH GIÁ HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

ĐÁNH GIÁ HỘI ĐỒNG KHOA HỌC SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

www.huongdanvn.com

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho qua M có thể kẻ được ba tiếp tuyến với (C)

 Câu 2 : (2 điểm)

1 Giải phương trình : 4cos cos2 cos3 x x x  cos6 x

2 Xác định m để bất phương trình sau có nghiệm

 Câu 7b : (1 điểm)

Cho (C):

2

22

x x y

sin(sin cos )

2 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường thẳng ( )  : x – y + 1 = 0 và A(3;1), B(2; – 1) Tìm M trên ( )  sao cho MAB có chu vi nhỏ nhất

* Trường THPT Chuyên Lê Quí Đôn

Câu lạc bộ Đề thi thử lần I ngày 27-3-2011  (Thời gian 180’)

và có tâm nằm trên đường thẳng (): x + 6y – 6 = 0

2 Trong không gian Oxyz Cho 2 đường thẳng (d1): 1

2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Cho 3 điểm A(4,– 1,2), B(1,2,2), C(1,1,5) Tìm tọa độ tâm

và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC

 Câu 7b : (1 điểm)

Giải hệ phương trình:

2( 2) log

Cho dãy số un xác định bởi :

0 1

1 2

1 1 2

.

n n n

u u

Giải :

Dễ thấy (u ) ,

www.huongdanvn.com

u u u

v u

  Suy ra ( )v n xác định bởi

0 1

5 4 9 4

3 5

8 4

www.huongdanvn.com

Cho dãy số un xác định bởi :

1 2

2005 2006

u u

1 1

1 2005 1 2006

u u

19

DÃY SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC

*******

*I- Tìm hệ thức bất biến đối với chỉ số

* Bài 1 Cho dãy số ( )a n thỏa mãn

2 1

2

2

n n n

n n

n

a a

a a a

* Bài 2 Cho dãy số ( )a n được định nghĩa bởi

n

a a

*II- Công thức tổng quát của dãy số

* Bài 3 Cho dãy số ( )a n được xác định bởi

n

a a a a

1

k Chú ý rằng do n m i n nên trong phân tích của a n có chứa k 1 thừa số

a p

Chứng minh tương tự ta có 1

1

k n

a p với mọi I = 1, 2, …,r Từ đó ta có đpcm

www.huongdanvn.com

21

*III- Chuyển từ dãy số hữu tỉ sang dãy số nguyên

* Bài 4 Cho dãy số đương ( )a n thỏa mãn a n21a n1(n1)

Chứng minh rằng dãy số chứa số hạng vô tỉ

Lời giải

n n

b a c

A a

b a c

 với b c n, n là những số nguyên dương và gcd( ,b c n n) 1

Từ hệ thức đầu bài ta có

2 2

1 1

36

n n

n n

b c

b c

b c

Bằng qui nạp đơn giản ta thấy rằng với mọi n 1 thì b n và c n luôn khác tính chẵn lẻ

Gọi p là ước nguyên tố chung của 3b n2c n2 và 6b c n n Nếu p là ước của bnhoặc cn thì p là ước chung của bn và cn điều này mâu thuẫn với gcd( ,b c n n) 1

Do đó nếu p là ước nguyên tố chung của 3b n2 c n2 và 6b c n n thì p = 3

Ta sẽ chứng minh rằng phân số

2 2

36

Bằng qui nạp ta sẽ chứng minh rằng 3 bn2  cn2 3 với mọi n = 1, 2, 3,…

Thật vậy, hiển nhiên khẳng định đúng với n = 1

www.huongdanvn.com

23

*IV- Một số bài toán về dãy số trong các đề thi Olympic 30-4

* Bài 6 Cho dãy số  a được xác định bởi : n

u u

u u arc g

u u

n

i i

 lim n 1 2 3

n

n

u u

u u

số chính phương với mọi n  0

Ta giải bài toán khái quát sau:

Cho số nguyên p  2 Cho dãy số  a n thỏa mãn a1  1,a2 3,a n1 (n 2)a n (n 1)a n1 n 2

Hãy tìm tất cả các giá trị của n để a nlà lũy thừa p của một số tự nhiên

* Xét p > 2 Khi đó, do từ (1) ta có a n  0(mod 3)  n 2 (suy ra từ (1) nên điều kiện cần

để  a Y sao cho a n a p là a  n 0(mod 27)hoặc a  n 1 Từ (1) ta có a n    1 n 2 và

    Suy ra a n a8(mod 27)  n 9 Mà a 8 46233 1(mod 27) 

nên a n  1(mod 27) n 8 Như vậy  n 8 đều không tồn tại tại n để a na p

Với 1  n  7, bằng cách thử trực tiếp ta thấy chỉ có duy nhất giá trị n = 1 là giá trị cần tìm

Trở lại bài toán ban đầu Đây là trường hợp đặc biệt của bài toán trên với p = 2 Theo

đó tất cả các giá trị của n thỏa mãn yêu cầu bài toán là n = 1 và n = 3

Từ (1) ta có : b n1b n (b n 3)(b n 2)  n 1 Suy ra nếu b 1 3 thì

1 2 3 n n 1

b b b  b b  

www.huongdanvn.com

29

Do đó, nếu b 1 3 thì không tồn tại m  n sao cho b m b n

Xét b 1 3 Nếu b 1 ¤ thì từ (1) dễ thấy b  n ¤  n  1 Với mỗi n  1, viết b ndưới

n

n

p b

q

 , trong đó: p q n, nc q, n1 và (p q n, n)1. Khi đó nếu tồn tại m  n sao cho b m b n thì phải có qm qn(*) Mặt khác, từ (1) ta có:

2 2 1

+ Với b1  1 thì b2  5suy ra: b3 19  3 suy ra b3b4  b k b k1 suy

ra không tồn tại m  n sao cho b m b n

1) Chứng minh rằng: x n2 5y n2 4  0 với mọi n = 0,1,2…

2) Giả sử a, b là các số nguyên dương thỏa mãn a n2 5b2 4  0 CMR tồn tại số tự nhiên k sao cho x k a và y k b

31

Từ hệ thức (3) bằng qui nạp dễ thấy x n2 5y n2 4  0 với mọi n = 0,1,2…

2) trước hết bằng qui nạp ta chứng minh được:

3 5 2

x y y

n = 0,1,2,…, trong đó a, b là hai số nguyên khác 0 còn d là số thực Tìm giá trị của d

để an là số nguyên với mọi n = 0,1,2…

Giả sử khẳng định đúng với n = k Ta có q(an2an)  pan1 Theo giả thiết qui nạp

* Trường hợp 1: Nếu c  0 suy ra q = 1 tức là d  c

* Trường hợp 1: Nếu c = 0 

2 1

d r

33

1

2 3

x  và 1

1

2(2 1)

n n

n

x x

.

2002 2001 2000

n n n

x x x

I Phần chung dành cho tất cả thí sinh (7 điểm)

 Câu 1 : (2 điểm)

Cho hàm số: y(m1)x33(m1)x2m (1) với m là tham số 2

2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2

3 Xác định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A, B mà  OAB vuông tại O

 Câu 2 : (2 điểm)

1 Giải phương trình : 3sin 2x3sinx8cosx 4 0 với x0, 2

2 Biện luận theo m, tập xác định của hàm số :

Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,

BC = 2a Gọi M là một điểm trên cạnh AA1 Đặt BMC, góc giữa mặt phẳng (MBC) và mặt phẳng (ABC) là  Tính thể tích khối lăng trụ ABCA1B1C1 theo

 Câu 7a : (1 điểm)

Giải phương trình : 2 z2   iz 1 0 trên tập số phức

www.huongdanvn.com

Cho hàm số: y f x( )mx33mx2(m1)x với m là tham số 1

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1

x   z Tìm N trên (  ) sao cho MN nhỏ nhất

 Câu 7a : (1 điểm) Giải phương trình : ( 5 1) x( 5 1) x2x32  0

2/ Theo chương nâng cao

y’ = 3(m – 1)x[x + 2(m – 1)] 0,25 điểm

TH1 m = 1

y’ = 0;  m  hàm số không có cực trị TH2 m  1

 OAB vuông tại O  OA OB   0

0.(2 – 2m) + (m – 2)[4(m – 1)3+ m – 2] = 0  2 03

3sin2x – 3sinx – 8cosx + 4 = 0

 6sinxcosx – 3sinx – 8cosx + 4 = 0

 3sinx(2cosx – 1) – 4 (2cosx – 1) = 0  (2cosx – 1)(3sinx – 4) = 0 0,25 điểm



1 cos

2 4

Ta có

2

2 2

Lúc đó M nằm trong (S) (kể cả mặt cầu (S)) do đó () và (S) có điểm chung

( ,( ))6

17

d I F

(  )  (d) nên phương trình có dạng : 3x – 4y + m = 0 0,25 điểm

Gọi H là trung điểm của AB ta có :

10

m m