Tóm tắt hinh 12 p1

Chương 1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNGHỆ TỌA ĐỘ.. dTâm của đường tròn nội tiếp tam giác giao các phân giác trong của các góc của tam giác: Tâm K của đường tròn nội tiếp D ABC tìm đ

Chương 1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

HỆ TỌA ĐỘ TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIỂM :

1 Hệ tọa độ : Hai trục tọa độ x’Ox và y’Oy vuông góc nhau tạo

nên hệ trục tọa độ Đêcac Oxy: O là gốc tọa độ; x’Ox là trục

hoành và y’Oy là trục tung.Trong đó: 

i = (1; 0) và j = (0;1) là các vectơ đơn vị trên các trục.Ta có:

i =j =1 và

i j =0

2 Tọa độ của vectơ :

u = (x ; y) Û u = x.i + y.j

3 Tọa độ của điểm : 

OM = (x ; y) Û M(x ; y) x: hoành độ và y: tung độ của điểm M

4 Các kết quả : Trong hệ tọa độ Oxy cho A(xA; yA), B(xB; yB) và

các vectơ 

a =(a1; a2) và 

b = (b1 ; b2) Ta có:

a) 

a± b = ( a1 ± b1; a2 ± b2)

a

k = (ka1 ; ka2) (k là số thực)

c) Tích vô hướng: 

a b = a1 b1 + a2 b2.

Hệ quả:

1 | a  | = a 12 a22

2

2 1

2 2

2

1

2 2 1 1

b b a a

b.

a b.

a )b

,a

cos(











3 

a ^ b Û a1 b1 + a2 b2 = 0

d) 

a =b Û 







2 2

1 1

b a

b a

e) 





















 Û











0 b a b a b

b

a a

a

b a

b a

k b : R k

1 2 2 1 2

1

2 1

2 2 1

1

f) Tọa độ của vectơ:AB =(x BxA;yByA)

A B

2 A

B- x ) (y - y ) (x

| AB |



h) Điểm M chia AB theo tỉ số k ( k¹1) Û 

MA = k.MB Khi đó tọa độ của M tính bởi:

k 1

kx x

M





k

1

ky

y

M







M là trung điểm AB ta có:

2

x x

M



2

y y

M





5 Kiến thức về tam giác : Cho A(xA;yA),B(xB; yB) và C(xC; yC)

a) Trọïng tâm của tam giác (giao các đường trung tuyến):

G là trọng tâm D ABC:

3

x x x

G





3

y y y

G







b) Trực tâm của tam giác (giao các đường cao):

^

^ Û





CA BH

BC AH

tâm trực là H







 Û









0 CA BH

0 BC AH

c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ( giao của các trung trực):

I(a;b) là tâm của (ABC) Û AI = BI = CI = R (bán kính của (ABC)).Giải hệ AI2=BI2 và BI2=CI2 Þ Tọa độ của I

d)Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác (giao các phân giác trong của các góc của tam giác):

Tâm K của đường tròn nội tiếp D ABC tìm được khi thực hiện hai lần công thức điểm chia đoạn theo

tỉ số k:

Vì k 1

AC AB DC

DB







 nên D chia BC theo tỉ số

k1 ÞTọa độ của D

BD

BA KD

KA











nên K

chia AD theo tỉ số k2 Þ Tọa độ của K

e) Diện tích tam giác:

S= aha 2

1

2

1

2 1

2

1

2

1

2 1

S=

R 4

abc

= pr = p(p a)(p b)(p c)

 S= AB2.AC2 (AB.AC)2 2

2

, trong đó: det( 

AB, 

AC) = 1 2

b b

a a

=a1b2a2b1

với 

AB=(a1; a2) và 

AC= (b1 ; b2)

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG :

1) Định nghĩa : Cho các vectơ 

u và 

nkhác vectơ 

0

u là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng D khi u nằm trên 1

đường thẳng song song hoặc trùng với D Mọi vectơ chỉ phương của D đều có dạng k.

u ( k ¹ 0)

 n là 1 vectơ pháp tuyến của đường thẳng D khi n nằm trên

1 đường thẳng vuông góc với D Mọi vectơ pháp tuyến của D đều có dạng k.

n ( k ¹ 0)

Một đường thẳng D hoàn toàn xác định khi biết M0D và 1 vectơ chỉ phương

u hoặc 1 vectơ pháp tuyến 

n của D

Trang 1

2) Phương trình tổng quát của đường thẳng:

a) Định lý: Phương trình tổng quát của đường thẳng D có dạng:

Ax+By+C = 0 với A2+B2 ¹ 0

Chú ý: D có vectơ pháp tuyến 

n= (A;B) và có vectơ chỉ phương 

u= (B; A) hoặc 

u= ( B; A)

b) Hệ quả: Phương trình đường thẳng D đi qua M0(x0 ; y0) và có vectơ pháp tuyến 

n= (A;B) là:

A(xx0) + B(yy0) = 0 với A2+B2 ¹ 0

3) Phương trình tham số  chính tắc của đường thẳng:

a) Phương trình tham số của đường thẳng: Phương trình tham số

của đường thẳng D đi qua M0(x0 ; y0) và có vectơ chỉ phương 

u

=(a; b) là: 









bt y

y

at x

x

0 0

với a2+b2 ¹ 0, tR

b) Phương trình chính tắc của đường thẳng: Phương trình chính

tắc của đường thẳng D đi qua M0(x0 ; y0) và có vectơ chỉ phương



u=(a; b) là:

b

y y a

x





(a2+b2 ¹ 0)

 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG CHÙM ĐƯỜNG THẲNG :

1) Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Cho 2 đường thẳng

D1:A1x+B1y+C1 = 0 (1) và D2:A2x+B2y+C2=0 (2) ( 2

1

2

1 B

A  ¹0 và A 22 B22¹ 0) Giải hệ gồm (1) và (2) ta có kết quả sau:

 Hệ có duy nhất nghiệm ÛA1B2A2B1¹0ÛD1và D2 cắt nhau

 Hệ vô nghiệm ÛA1B2A2B1=0 và B1C2B2C1¹0Û D1 //ø D2

 Hệ có vô số nghiệm

ÛA1B2A2B1=B1C2 B2C1=C1A2C2A1= 0Û D1 D2

2)

Chùm đường thẳng : Hai hoặc nhiều đường thẳng cùng đi qua một điểm I, tạo nên chùm đường thẳng có tâm I Nếu

D1:A1x+B1y+C1=0 và D2:A2x+B2y+C2=0 cắt nhau tại I (A1B2 ¹A2B1) thì phương trình của chùm đường thẳng tâm I là: m(A1x+B1y+C1 )+ n(A2x+B2y+C2) = 0 (với m2+n2 ¹ 0)

 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG  KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG :

1.

Góc giữa hai đường thẳng :

Cho 2 đường thẳng D1:A1x+B1y+C1=0 và D2:A2x+B2y+C2 =0 Nếu gọi  (00    900) là góc giữa D1 và D2 thì:

2 2

2 2

2 1

2 1

2 1 2 1

B A B A

B B A A cos











Hệ quả: D ^ D Û AA+ BB = 0

2 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

a)Công thức: Khoảng cách từ M(x0;y0) đến D:Ax+By+C=0 là:

2 2 0 0

B A

C By Ax ) , M ( d









D (A2+B2¹0)

b) Hệ quả: Nếu D1 : A1x+B1y+C1=0 và D2 : A2x+B2y+C2 = 0 cắt

nhau tại I (A1B2 ¹A2B1) thì phương trình các phân giác tạo bởi

2

2 2

2 2 2 2

1

2 1

1 1 1

B A

C y B x A B

A

C y B x A







±









 ĐƯỜNG TRÒN :

1.Phương trình của đường tròn:

a) Phương trình đường tròn (C) tâm I(a;b) bán kính R có dạng:

(xa)2+(yb)2=R2

b) Phương trình đường tròn tâm O bán kính R :

x2+y2 = R2

c) Phương trình x2+y2+2Ax+2By+C = 0 với A2+B2C>0 là

phương trình của một đường tròn (C) có tâm I(A;B) và bán kính



2.Phương tích của một điểm đối với một đường tròn:

Cho (C) : F(x,y) = x2+y2+2Ax+2By+C = 0 Phương tích của một

điểm M(x0 ; y0) đối với (C) là:

P M/(C)= F(x0,y0) =x y2 2Ax0 2By0 C

0

2

3.Trục đẳng phương của hai đường tròn khác tâm:

a) Tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với 2 đường tròn

khác tâm (C1) và (C2) là một đường thẳng d vuông góc với

đường thẳng nối 2 tâm I1 và I2 của (C1) và (C2) và gọi là trục

đẳng phương của (C1) và (C2)

b) Cho hai đường tròn: (C1):F1(x,y)=x2+y2+2A1x+2B1y+C1=0 và

(C2):F2(x,y)=x2+y2+2A2x+2B2y+C2=0 khác tâm, phương trình

của trục đẳng phương của (C1) và(C2) là:

F1(x,y)= F2(x,y)Û 2(A1 A2)x+2(B1 B2)y+C1 C2 = 0

4 Tiếp tuyến của 1 đường tròn :

Cho (C):F(x;y)=(xa)2+(yb)2R2=0 và điểm M(x0;y0), để viết

phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua M ta tìm phương tích của

M đối với (C):

Nếu P M/(C) < 0 thì M nằm trong (C), qua M không kẻ được

tiếp tuyến nào với (C)

Nếu P M/(C) = 0 thì M thuộc (C), qua M kẻ được một tiếp

tuyến với (C) và tiếp tuyến này đi qua M có vectơ pháp tuyến



IM= (x0a; y0b)

Nếu P M/(C) > 0 thì M nằm ngoài (C), qua M ta kẻ được 2

tiếp tuyến với (C), phương trình các tiếp tuyến này thực hiện

như sau:

 Gọi D là đường thẳng qua M và có vectơ pháp tuyến 

n

=(A;B)ÞD: A(xx0)+B(yy0) = 0 (1) với A2+B2 ¹0

 D tiếp xúc (C)Û d(I,D)=

2

A

C Bb Aa







=R với C=(Ax0+By0) Bình phương 2 vế, chọn hai cặp A, B thỏa phương trình này và thay vào (1) để có hai phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua M

 ElÍP :

1)Định nghĩa : Tập hợp các điểm M của mặt phẳng sao cho

MF 1 +MF 2 =2a (2a không đổi và a> c> 0) là một đường elíp

 F1,F2: cố định là hai tiêu điểm và F1F2=2c là tiêu cự của elíp

 MF1, MF2: là các bán kính qua tiêu

2) Phương trình chính tắc của elíp: 1

b

y a

x

2

2 2

2



 với b2 = a2  c2

3) Tính chất và hình dạng của elíp::

1 b

y a

x

2

2 2

2



(a> b > 0)

 Trục đối xứng Ox (chứa trục lớn);

Oy (chứa trục bé).Tâm đối xứng O

 Đỉnh: A1(a;0), A2(a;0), B1(0;b) và

B2(0; b) Độ dài trục lớn là 2a và độ dài trục bé là 2b

 Tiêu điểm: F1(c; 0), F2( c; 0)

 Nội tiếp trong hình chữ nhật cơ sở PQRS có kích thước 2a và 2b với

b2 = a2  c2

.

 Tâm sai:

a

b a a

c

e   2 2 < 1

 Hai đường chuẩn: x=

c

a e

±



±

 M(x;y)(E): MF): MF1 = a+ ex và MF2 = aex

4) Tiếp tuyến của elíp (E): MF): 1

b

y a

x

2

2 2

2



 Tại M0(x0;y0)(E): MF) có phương trình: 1

b

y

y a

x x

2

0 2 0





 Đi qua M(x1; y1) là D:A(xx1)+B(yy1)=0 với điều kiện:

D tiếp xúc (E): MF)ÛA2a2+B2b2 =C2 A2+B2 ¹0,C=(Ax1+By1)¹0

 HYPEBOL :

1.Định nghĩa : Tập hợp các điểm M của mặt phẳng sao cho

MF1 MF 2=2a (2a không đổi và c > a> 0) là một Hypebol

 F1, F2 : cố định là 2 tiêu điểm và F1F2=2c là tiêu cự

MF, MF: là các bán kính qua tiêu

2.Phương trình chính tắc của hypebol: 1

b

y a

x

2

2 2

2



 b2 = c2  a2 Trang 2

3) Tính chất và hình dạng của hypebol (H):

1 b

y

a

x

2

2 2

2





 Trục đối xứng Ox (trục thực)

Oy (trục ảo) Tâm đối xứng O

 Đỉnh:A1(a;0),A2(a;0).Độ dài trục thực:2a và độ dài trục ảo:2b

 Tiêu điểm F1(c; 0), F2( c; 0)

 Hai tiệm cận: y= ±

a

b x

 Hình chữ nhật cơ sở PQRS có kích thước 2a, 2b với b2= c2  a2

.

 Tâm sai:

a

b a a

c

e   2  2 > 1

 Hai đường chuẩn: x=

c

a e

±



±

 Độ dài các bán kính qua tiêu của M(x;y)(H):

* MF1= ex + a và MF2= exa khi x > 0

* MF1= exa và MF2=ex+ a khi x < 0

4) Tiếp tuyến của hypebol (H): 1

b

y a

x

2

2 2

2



Tại M0(x0; y0) (H) có phương trình: 1

b

y

y a

x x

2

0 2 0





Đi qua M(x1; y1) là D: A(xx1)+B(yy1) = 0 với điều kiện:

D tiếp xúc (H) Û A2a2  B2b2 = C2 A2+B2¹0,C=(Ax1+By1)¹0

 PARABOL :

1) Định nghĩa :

Parabol là tập hợp các điểm M của mặt phẳng cách đều 1 đường

thẳng D cố định và 1 điểm F cố định không thuộc D.

D: đường chuẩn; F: tiêu điểm và d(F, D) = p > 0 là tham số tiêu

2) Phương trình chính tắc của Parabol : y2 2px



3) Hình dạng của Parabol (P) :

2px

y2



Trục Ox, đỉnh O.Tiêu điểm F(

2

p ;

0)

Đường chuẩn D: x = 

2

p

M(x;y)(P): MF = x+

2

p

với x  0

4) Tiếp tuyến của parabol (P): y 2 =2px:

 Tại M0(x0; y0) (P):y2=2px có phương trình: y0y = p(x0+x)

 Đi qua M(x; y) là D: A(xx)+B(yy) = 0 với điều kiện:

D tiếp xúc (P) Û pB2 = 2AC A2+B2 ¹0 và C=(Ax1+By1)¹0

Tài liệu dành cho học sinh 12 – HK1