Tập hợp và phép đếm

Chứng minh số các tập con có số phần tử lẻ của một tập hợp bất kỳ cũng bằng số tập con có số phần tử chẫn.. Các quan hệ R sau đây trên tập con ngời thoả những tính chất nào trong các tín

Chơng 1Tập hợp và phép đếm

5. Nếu X, Y, Z rời nhau từng đôi một và A ⊆ X ∪ Y và B ⊆ X ∪ Z, chứng minh A ∩ B ⊆ X

6. Biểu thức nào đúng đối với mọi tập hợp A, B và C Chứng minh hoặc cho phản ví dụ

9. Cho A = {a, {b}} và B = {a, b, {a, b}}

Hãy xác định các tập sau : A ∩ B, A ∪ B, P(A), B ∩P(A), A x B và (A x B) ∩ (B x A)

10 Chứng minh qui tắc kết hợp của phép toán hiệu đối xứng : (A ∆ B) ∆ C = A ∆ (B ∆ C)

11 Đúng, sai ? Cho phản ví dụ

13 Chứng minh nếu "cặp có thứ tự" (,) đợc định nghĩa bởi (x, y) = {{x}, {x, y}} thì

(x1, x2) = (y1, y2) kéo theo x1 = y1 và x2 = y2

14 Chứng minh nếu "cặp có thứ tự" (,) đợc xác định bởi (x,y) = {{x,0},{ y,1}} thì tính chất

trong câu 13 vẫn đúng Hãy đa ra một tổng quát hoá để định nghĩa bộ n

15 Chỉ ra bằng phản ví dụ các “định nghĩa” sau về cặp có thứ tự là không đúng

a (x,y) = x ∪ {x, y}

b (x,y) = {{x}, x ∪ y}

16 Một bệnh viện giữ các bản ghi về 1000 bệnh nhân đợc tiếp nhận trong một năm Dữ liệu đợc

lu trữ gồm có tên, địa chỉ, ngày sinh, ngày nhập và ngày ra viện, điều kiện chẩn đoán và chữatrị và việc chữa bệnh có thành công hay không Hãy mô tả tích Cartesian của các tập hợptrong đó mỗi bản ghi là một thành phần Dùng ui(r) để biểu thị thành phần thứ i của bản ghi r,viết các điều sau đây bằng ký hiệu tập hợp

a Tập hợp các bệnh nhân 50 tuổi hoặc hơn nhập viện

18 Xây dựng các tập hợp dựa trên các ý tởng sau và tìm ra nghịch lý của nó :

a Một thợ cắt tóc tuyên bố : Chỉ cắt tóc cho ngời nào không tự cắt

b Tồn tại một thực tế là có những tỉnh trởng không sống trong tỉnh của mình Vì vậy chínhphủ quyết định thành lập một tỉnh mới và buộc mọi tỉnh trởng không sống trong tỉnh củamình phải về sống trong tỉnh đó !

II phép đếm

19 Có bao nhiêu ngời có tên họ viết tắt bằng 3 chữ cái khác nhau, trong đó không có chữ cái nào

đợc lặp lại

20 Tính số xâu đối xứng gơng có độ dài n.

21 10 ngời cả cô dâu và chú rể cùng chụp ảnh Tính số phơng án chụp để :

a mọi kiểu ảnh đều có cô dâu

b có cô dâu và chú rể

c hoặc có cô dâu, hoặc có chú rể (không loại trừ)

22 Có bao nhiêu xâu độ dài 10 có hoặc 5 số 0 hoặc 5 số 1 liền nhau

23 Có bao nhiêu số nguyên dơng nhỏ hơn 1000 :

a 0

b 1

c 2

d 9

25 Trong bao nhiêu ngời thì chắc chắn có ít nhất 6 ngời trùng con giáp ngày sinh.

26 Cần bao nhiêu ngời để chắc chắn có 2 ngời sinh trùng thứ và trùng tháng (có thể khác năm

sinh)

27 Với d+1 số nguyên có ít nhất 2 số khi chia cho d có cùng số d.

28 Cho 5 điểm toạ độ nguyên Chứng minh có ít nhất một điểm giữa của một cặp đỉnh nào đó có

toạ độ nguyên

29 Chỉ ra rằng nếu có 5 điểm phân biệt trong một hinh vuông cạnh bằng 2 thì có ít nhất hai điểm

có khoảng cách bé hơn hoặc bằng 2

30 Trong một mạng n máy tính, mỗi máy nối với ít nhất một máy khác Chứng minh rằng có ít

nhất 2 máy mà số các máy khác nối với chúng là bằng nhau

31 Trong dãy n số liên tiếp có ít nhất một số chia hết cho n.

32 Một bữa tiệc có ít nhất 2 ngời Chứng minh rằng có hai ngời có số ngời quen bằng nhau.

33 Một lớp 25 sinh viên thuộc 3 nhóm A, B, C Chỉ ra rằng :

a Có một nhóm số sinh viên không ít hơn 9

b Hoặc nhóm A có ít nhất 3 sv và nhóm B ít nhất 19 sv, hoặc nhóm C có ít nhất 5 sv

34 *Trong n+1 số nguyên dơng bất kỳ không vợt quá 2n có ít nhất 2 số nguyên tố cùng nhau ?

35 *Chỉ ra rằng trong dãy m số nguyên bất kỳ tồn tại dãy con liên tiếp có tổng chia hết cho m.

36 Chứng minh trong 11 số nguyên dơng bất kỳ có ít nhất hai số có cùng chữ số cuối cùng.

Trong 91 số có ít nhất 10 số có cùng chữ số cuối cùng

37 Chứng minh rằng biểu diễn thập phân của một số hữu tỉ phải lập lại từ một điểm nào đó trở

đi

38 Viết chơng trình liệt kê tất cả dãy con không tăng (không giảm) của một dãy bất kỳ.

III hoán vị và tổ hợp không lặp

39 8 ngời cùng dự thi, chiếm 3 giải nhất, nhì, ba Hỏi có bao nhiêu khả năng chiếm giải ?

40 8 ngời cùng dự thi, chọn ra 3 ngời Hỏi có bao nhiêu khả năng chọn ?

41 Có n sinh viên nam và n sinh viên nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng sao cho nam nữ đứng

xen kẽ nhau ?

42 Một tập hợp 10 phần tử, có bao nhiêu tập con với số phần tử lẻ

43 Có thể tạo đợc bao nhiêu đề thi trắc nghiệm (mỗi đề 20 câu hỏi) từ một tập 40 câu hỏi

44 Có bao nhiêu đa giác đều n cạnh khác nhau nội tiếp trong vòng tròn (Hai đa giác gọi là nh

nhau nếu nó có thể nhận đợc từ nhau bằng cách quay một góc nào đó)

45 Trong một lớp có 10 sinh viên nam và 20 sinh viên nữ Có bao nhiêu cách chọn ra một nhóm

6 ngời trong đó số sinh viên nam ít hơn nữ

46 Có bao nhiêu cách chia bộ bài 52 quân cho 4 ngời chơi (mỗi ngời 13 quân) ?

47 Nếu X là một tập hợp có 10 phần tử, tìm số lớn nhất các tập con 4 phần tử của X có tính

chất :

a Các tập con rời nhau từng đôi một

b Không có hai tập con nào chung nhau hơn một phần tử

48 *Nếu X là một tập hợp có 10 phần tử, tìm số phần tử của họ tập các tập con 4 phần tử của X

có tính chất :

a Các tập con rời nhau từng đôi một

b Không có hai tập con nào chung nhau hơn một phần tử

49 Cho p là số nguyên tố và k là số nguyên sao cho 1 ≤ k ≤ p-1 Chứng minh C(p,k) chia hết chop

50 Có bao nhiêu hạng thức trong khai triển của (x + y)100

51 Tính hệ số của hạng thức x100y49 trong khai triển (2x – 3y)150

52 *Tìm công thức tính hệ số của xk trong khai triển của (x + 1/x)100

53 *Tìm công thức tính hệ số của xk trong khai triển của (x2 - 1/x)100

54 *Cho n là số nguyên dơng Tìm hệ số nhị thức lớn nhất C(n,r), trong đó r là số nguyên không

++

=+

61 *Dùng công cụ tổ hợp chứng minh : n kC(n,k) nC( n ,n )

k

1121

∑

=(Gợi ý : Tính bằng 2 cách số phơng án chọn hội đồng n uỷ viên từ n giáo s toán học và n giáo s tinhọc và thêm vào chọn chủ tịch hội đồng đó là giáo s toán)

62 Chứng minh số các tập con có số phần tử lẻ của một tập hợp bất kỳ cũng bằng số tập con có

số phần tử chẫn

63 Trong mặt phẳng Oxy, một con bọ di chuyển bằng cách nhảy từng bớc một với độ dài 1 đơn

vị theo chiều dơng của trục x hoặc trục y Chứng minh rằng số cách của con bọ có thể dichuyển từ gốc toạ độ đến điểm (m, n) bằng C(m+n, n)

(Gợi ý : Mỗi đờng đi có thể đợc biểu diễn bởi một xâu nhị phân 0,1, trong đó 0: đi theo truc x, 1:theo trục y)

64 áp dụng hằng đẳng thức VanDermonde tính : C(20,10)

IV Hoán vị và tổ hợp có lặp

65 Có bao nhiêu phơng án chọn có hoàn lại lần lợt 5 phần tử từ tập hợp có 3 phần tử ?

66 Có bao nhiêu xâu gồm 6 chữ cái ?

67 Hàng ngày một sinh viên chọn một chiếc bánh để ăn từ một gói có 6 loại bánh Hỏi có bao

nhiêu cách anh sinh viên chọn bánh trong 7 ngày của một tuần, nếu có kể tới thứ tự củanhững chiếc bánh đợc chọn ?

68 Có bao nhiêu cách chọn 8 đồng xu từ một hộp chứa 100 đồng 1 xu giống nhau và 80 đồng 5

xu giống nhau ?

69 Có bao nhiêu cách cất 300 bản sách giống nhau vào 3 giá sách ?

70 Phơng trình x + y + z + t = 20 có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm ?

71 Phơng trình x + y + z = 19 có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm thoả điều kiện x ≥ 3, y ≥ 4

?

3, y ≤ 4, u, v ≥ 6 ?

(Gợi ý : đa thêm biến t sao cho x + y + z + t = 11)

74 Có bao nhiêu số nguyên dơng nhỏ hơn 1.000.000 có tổng các chữ số bằng 19 ?

75 Có bao nhiêu số nguyên dơng nhỏ hơn 1.000.000 có tổng các chữ số bằng 13 và chứa đúng

77 Trong không gian Oxyz, một con bọ di chuyển bằng cách nhảy từng bớc một với độ dài 1 đơn

vị theo chiều dơng của 1 trong 3 trục x, y hoặc z Tính số cách để con bọ có thể di chuyển từgốc toạ độ đến điểm (2, 3, 4) (Gợi ý : Biểu diễn đờng đi của con bọ bằng 3 hộp chứa số bớctheo 3 trục)

78 Có bao nhiêu cách chia cỗ bài 52 quân cho 4 ngời chơi, mỗi ngời 9 quân ? (Gợi ý : Chỗ bài

còn thừa là ngời chơi thứ 5)

79 Có bao nhiêu cách xếp 300 cuốn sách khác nhau lên 3 kệ sách theo :

a Không cố định số lợng trên từng kệ, không tính đến vị trí của từng cuốn sách

b Chia đều mỗi kệ 100 cuốn sách, không tính đến vị trí của từng cuốn sách

c Chia đều mỗi kệ 100 cuốn sách, tính đến vị trí của từng cuốn sách

d Không cố định số lợng trên từng kệ, tính đến vị trí của từng cuốn sách

80 Có bao nhiêu số hạng khác nhau trong khai triển của (x1 + x2 + + xm) n sau khi cộng các sốhạng đồng dạng với nhau ?

81 Tìm khai triển (x + y + z)4

82 Tìm hệ số của x3y2z5 trong khai triển (x + y + z)10

83 Có bao nhiêu số hạng trong khai triển của (x + y + z)100 ?

84 Nêu chứng minh hoàn chỉnh về công thức tính số tổ hợp lặp chập k.

85 Chứng minh công thức tính số phơng án phân chia n vật khác nhau vào k hộp khác nhau.

V Sinh hoán vị và tổ hợp

86 Chứng minh đối với mỗi hoán vị bất kỳ có duy nhất 1 hoán vị liền sau.

87 Chứng minh tính đúng đắn của cách tìm hoán vị liền sau.

88 Tìm hoán vị liền sau theo thứ tự từ điển của các hoán vị sau :

90 Chứng minh đối với mỗi tổ hợp bất kỳ có duy nhất 1 tổ hợp liền sau.

91 Chứng minh tính đúng đắn của cách tìm tổ hợp liền sau.

92 Tìm tổ hợp chập 4 liền sau của 6 phần tử theo thứ tự từ điển của các tổ hợp sau :

2314, 1654, 1564, 5432, 5412.

94 Có thể ánh xạ mỗi tập con của tập hợp n phần tử là một xâu nhị phân độ dài n Xâu liền sau

của xâu s đợc tìm bằng cách : tìm vị trí i đầu tiên từ phải sang trái sao cho s[i] = 0 Thay s[i]bằng 1 và tất cả các vị trí còn lại (từ i+1 đến n) bằng 0 áp dụng cách tìm xâu liền sau củaxâu nhị phân để liệt kê tất cả tập con của tập A có n phần tử

95 Hãy xây dựng thuật toán dựa trên thứ tự từ điển và viết chơng trình sinh ra chỉnh hợp chập k

từ tập n phần tử (Gợi ý : kết hợp 2 thuật toán hoán vị và sinh tổ hợp chập k)

96 Viết hoàn chỉnh chơng trình sinh hoán vị bằng một NNLT nào đó.

97 Viết hoàn chỉnh chơng trình sinh tổ hợp chập k bằng một NNLT nào đó

98 áp dụng thuật toán sinh tổ hợp chập r để liệt kê tất cả tập con của tập A có n phần tử.

99 Có thể ánh xạ mỗi tập con của tập hợp n phần tử là một xâu nhị phân độ dài n Xâu liền sau

của xâu s đợc tìm bằng cách : tìm vị trí i đầu tiên từ phải sang trái sao cho s[i] = 0 Thay s[i]bằng 1 và tất cả các vị trí còn lại (từ i+1 đến n) bằng 0 áp dụng cách tìm xâu liền sau củaxâu nhị phân để liệt kê tất cả tập con của tập A có n phần tử

Chơng 2Quan hệ

1. Biểu diễn quan hệ sau (trên tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}) bằng các phơng pháp : liệt kê, ma trận,

đồ thị:

a aRb ⇔ a + b = 2k

b aRb ⇔ a – b = 3k (k ∈ N )

c aRb ⇔ a mod 3 > b mod 3

2. Biểu diễn quan hệ sau (trên tập A = {∅, {∅{, {{∅}}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {{∅}}}) bằngcác phơng pháp : liệt kê, ma trận, đồ thị :

a {(a, b) : a,b ∈ A và a = b}

b {(a, b) : a,b ∈ A và a ⊆ b}

c {(a, b) : a,b ∈ Α và a ⊂ b}

d {(a, b) : a,b ∈ A và b = P(a)}

3. Các quan hệ R sau đây (trên tập con ngời) thoả những tính chất nào trong các tính chất : phảnxạ, đối xứng, phản đối xứng, bắc cầu nếu (a,b) ∈ R, khi và chỉ khi :

d Phản xạ và đối xứng

6. Có bao nhiêu quan hệ bắc cầu trên tập n phần tử với n = 1, 2, 3 ?

7. Để chứng minh khẳng định “nếu R là đối xứng và bắc cầu thì R có tính chất phản xạ”, mộtsinh viên đã chứng minh : ∀a ∈ A, lấy (a,b) ∈ R Vì R đối xứng nên (b,a) ∈ R Do R bắccầu ⇒ (a,a) ∈ R, vậy R phản xạ Hãy chỉ ra sai lầm trong chứng minh trên

II Quan hệ ngợc và quan hệ hợp thành

8. Cho R và S lần lợt là các quan hệ cha và chị đợc xác định trên tập hợp của con ngời (còn sốnghoặc đã chết) Hãy mô tả chính xác các quan hệ sau đây

(Quan hệ R đợc gọi là không phản xạ nếu ∀a ∈ A có (a, a) ∉ R)

12 Chứng minh rằng R là phản xạ khi và chỉ khi R-1 là phản xạ

13 Chứng minh rằng R là đối xứng khi và chỉ khi R-1 là đối xứng

chéo ∆ = {(a,a) | a ∈ A}.

15 Chứng minh rằng nếu R là quan hệ phản xạ trên tập A thì R ⊆ R2

n

III Quan hệ tơng đơng

20 Cho A là một tập không rỗng và R là một quan hệ tơng đơng trên A Chứng minh rằng tồn tại

một hàm f có A là miền xác định sao cho (x,y) ∈ R nếu và chỉ nếu f(x) = f(y)

21 Cho R là quan hệ trên tất cả các cặp số nguyên dơng đợc sắp sao cho ((a,b),(c,d)) ∈ R nếu vàchỉ nếu a + d = b + c Chứng minh rằng R là một quan hệ tơng đơng

22 Cho R là quan hệ trên tất cả các cặp số nguyên dơng đợc sắp sao cho ((a,b),(c,d)) ∈ R nếu vàchỉ nếu ad = bc Chứng minh rằng R là một quan hệ tơng đơng

23 R đợc gọi là quan hệ vòng quanh nếu aRb và bRc kéo theo cRa Chứng minh R là quan hệ

phản xạ và vòng quanh nếu và chỉ nếu nó là một quan hệ tơng đơng

24 Trong số các tập hợp của các tập con sau, tập hợp nào là phân hoạch của tập các số nguyên ?

a Tập con các số chẵn và tập con các số lẻ

b Tập con các số nguyên dơng và tập con các số nguyên âm

c Tập con các số nguyên chia hết cho 3, tập con các số nguyên chia hết cho 3 còn d 1, tậpcon các số nguyên chia hết cho 3 còn d 2

d Tập con các số nhỏ hơn -100 tập con các số nguyên có trị tuyệt đối không vợt quá 100 vàtập con các số nguyên lớn hơn 100

25 Cho R là một quan hệ tơng đơng, kí hiệu [a] là lớp tơng đơng chứa phần tử a Hãy chứng

R1, R2 Chứng minh rằng R1 ⊆ R2 nếu và chỉ nếu P1 là cái mịn của P2 (mỗi tập con của P1chứa trong tập con nào đó của P2)

28 Một vòng đeo tay có 3 hạt cờm, mỗi hạt có màu hoặc đỏ, trắng hoặc xanh Định nghĩa một

quan hệ R giữa các vòng đeo tay nh sau : (B1, B2) ∈ R nếu và chỉ nếu B2 nhận đợc từ B1 bằngcách quay nó hoặc quay rồi lấy ảnh gơng

a Chứng minh R là một quan hệ tơng đơng

b Xác định các lớp tơng đơng của R.

29 Cho p(n) là kí hiệu số các quan hệ tơng đơng khác nhau trên một tập n phần tử (và cũng chính

là số các phân hoạch của một tập n phần tử) Chứng minh : p(n) = ∑−

=

1

0

n j

C(n-1, j) p(n-j-1) vớip(0) = 1

30 Cho tập A Viết chơng trình tính :

a Số các quan hệ bắc cầu trên A

b Số các quan hệ tơng đơng trên A

IV Bao đóng

31 Chứng minh rằng bao đóng đối với tính chất P của quan hệ R = {(0,0), (0,1), (1,1), (2,2)} là

không tồn tại nếu P là tính chất :

a Không có tính phản xạ

b Có một số lẻ phần tử

32 Chứng minh rằng bao đóng của quan hệ R đối với tính chất P nào đó nếu tồn tại, là giao của

tất cả các quan hệ chứa R và có tính chất P

33 Chứng minh rằng bao đóng đối xứng của một bao đóng phản xạ của một quan hệ bất kỳ cũng

chính là bao đóng phản xạ của bao đóng đối xứng của quan hệ đó

34 Chứng minh rằng bao đóng bắc cầu của bao đóng đối xứng của bao đóng phản xạ của một

quan hệ R là quan hệ tơng đơng nhỏ nhất chứa R

35 Cho R là quan hệ chứa cặp (a,b) nếu a và b là các máy tính có đờng nối trực tiếp Khi nào thì

(a,b) thuộc :

a R2

b R3

c R*

36 Tìm bao đóng bắc cầu của quan hệ {(a,b), (a,c), (b,a), (b,c), (c,a), (c,b), (d,a)}

37 Dùng thuật toán Warshall tìm bao đóng bắc cầu của quan hệ :

39 Mô phỏng thuật toán Warshall để tìm bao đóng phản xạ của bao đóng bắc cầu.

40 Viết chơng trình tìm bao đóng của quan hệ R theo tính chất P, với P là tính :

Chơng 3lôgic và suy luận toán học

1. Cho p, q, r là những mệnh đề :

p: bạn bị cúm q: bạn thi trợt kỳ thi cuối khoá r: bạn đợc lên lớp

Hãy diễn đạt những mệnh đề sau thành câu thông thờng :

b Bạn lái xe trên 65 km/h nhng bạn không bị phạt vì quá tốc độ cho phép

c Bạn sẽ bị phạt vì quá tốc độ cho phép Nếu bạn lái xe trên 65 km/h

d Nếu bạn không lái xe với tốc độ trên 65 km/h thì bạn sẽ không bị phạt vì quá tốc độ chophép

e Lái xe với tốc độ 65 km/h là đủ để bị phạt vì quá tốc độ cho phép

f Bạn bị phạt vì quá tốc độ cho phép nhng bạn không lái xe trên 65 km/h

g Mỗi lần bị phạt vì quá tốc độ cho phép là bạn đã lái xe trên 65 km/h

3. Có hai nhóm ngời : nhóm luôn luôn nói dối và nhóm luôn luôn nói thật

a Giải thích vì sao câu hỏi "có phải anh là ngời nói dối ?" hoặc "có phải anh là ngời nói thật

?" sẽ không thể xác định đợc ngời trả lời là nói dối hay nói thật

b Tìm câu hỏi để biết đợc ngời trả lời thuộc nhóm nói dối hay nói thật

4. Viết các mệnh đề sau dới dạng “p nếu và chỉ nếu q” trong ngôn ngữ thông thờng

a Để nhận đợc điểm giỏi trong khoá học này cần và đủ là phải học giải đợc các bài tập củatoán học rời rạc

b Nếu đọc báo mỗi ngày bạn sẽ thạo tin tức và ngợc lại

c Trời ma nếu là ngày cuối tuần và là ngày cuối tuần nếu trời ma

d Bạn có thể nhìn thấy lão phù thuỷ nếu lão không ở trong đó và lão không ở trong đó nếubạn nhìn thấy lão

5. Lập bảng chân trị cho các công thức mệnh đề sau :

a (p ∨ q) ∨ r b (p ∨ q) ∧ơr c (p ∧ q) ∨ơr d (ơp ∨ơq) ∧ r

e (p ∨ơq) → r f (ơp → q) ∧ r g (p → q) ∨ (ơq → r) h (p ∧ q) → (ơq ∨ r)

6. Các phép toán XOR (⊕), NAND (|), NOR (↓) đợc định nghĩa nh sau :

XOR : A ⊕ B = T khi và chỉ khi A, B nhận giá trị khác nhau

NAND : A | B = F khi và chỉ khi A, B nhận giá trị T

NOR : A ↓ B = T khi và chỉ khi A, B nhận giá trị F

Hãy lập bảng chân trị cho các mệnh đề sau :

a phép toán NAND b phép toán NOR

11 Lập công thức mệnh đề từ các mệnh đề p, q, r sao cho nó đúng khi và chỉ khi p và q đúng và r

là sai

12 Lập công thức mệnh đề từ các mệnh đề p, q, r sao cho nó đúng khi và chỉ khi 2 trong 3 mệnh

đề là đúng

13 Biểu diễn câu sau chỉ dới dạng phép tuyển và phủ định : "Nếu CSDL danh bạ đợc mở thì

monitor đợc đặt ở trạng thái đúng, nếu hệ không ở trạng thái ban đầu của nó" Sau đó phátbiểu lại câu nói này theo công thức vừa tìm đợc

II Lôgic vị từ

14 Cho P(x) là câu “x học ở lớp hơn 5 giờ mỗi ngày trong tuần”, không gian là tập hợp các sinh

viên hãy diễn đạt các biểu thức lôgic sau thành câu thông thờng :

a ∃xP(x) b ∀xP(x) c ∃xơP(x) b ∀x ơP(x)

15 Cho P(x, y) là câu “x đã học môn y”, với không gian của x là tập hợp sinh viên trong lớp,

không gian của y là tập hợp các môn học Hãy diễn đạt các mệnh đề sau thành câu thông ờng

th-a ∃x∃y P(x,y) b ∃x∀y P(x,y) c ∀x∃y P(x,y)

d ∃y∀x P(x,y) e ∀y∃x P(x,y) f ∀x∀y P(x,y)

16 Cho L(x, y) là câu “x yêu y”, không gian của x, y là tập hợp ngời Dùng lợng từ diễn đạt các

câu sau

a Mọi ngời đều yêu Jerry

b Mọi ngời đều yêu một ai đó

c Có một ngời mà tất cả mọi ngời đều yêu

d Không có ai yêu tất cả mọi ngời

e Có một ngời mà Lindya không yêu

f Có một ngời mà không ai yêu

g Có đúng một ngời mà tất cả mọi ngời đều yêu

h Có đúng 2 ngời mà Lynn yêu

i Mọi ngời đều yêu chính mình

j Có một ngời không yêu ai ngoài chính mình

17 Dùng lợng từ diễn đạt các câu sau :

a Tất cả sinh viên tin học đều phải học môn toán học rời rạc

b Có một sinh viên lớp này đã có máy vi tính

c Tất cả sinh viên lớp này đã học ít nhất một môn tin học

d Có một sinh viên lớp này đã học ít nhất một môn tin học

e Mỗi sinh viên trong lớp này ở một nhà trong ký túc xá

f Có một sinh viên lớp này đã ở tất cả các phòng của ít nhất một nhà trong kí túc xá

g Tất cả sinh viên lớp này ít nhất đã ở một phòng trong tất cả các nhà của kí túc xá

18 Giả sử không gian của hàm mệnh đề P(x, y) gồm các cặp số x, y với trên tập {1, 2, 3} Dùng

phép hội và tuyển viết các mệnh đề sau :

số nguyên, hãy xác định chân trị của các mệnh đề sau :

III Qui tắc suy luận

26 Quy tắc suy luận nào đợc dùng trong mỗi một lập luận sau:

a Alice là giỏi môn toán Do đó Alice là giỏi môn toán hoặc môn tin

b Jerry là giỏi môn toán và môn tin Do vậy Jerry giỏi môn toán

c Nếu trời ma thì bể bơi sẽ đóng cửa.Trời ma do đó bể bơi đóng cửa

d Nếu hôm nay tuyết rơi thì trờng đại học sẽ đóng cửa Hôm nay trờng đại học không đóngcửa Do vậy hôm nay đã không tuyết rơi

e Nếu tôi đi bơi thì tôi sẽ phơi nắng đợc nhiều Nếu tôi phơi nắng nhiều thì tôi rám nắng

Do đó nếu tôi đi bơi thì tôi sẽ rám nắng

27 Quy tắc suy luận nào đợc dùng trong mỗi một lập luận sau:

a Những con Kanguroo sống ở Australia và là loài thú có túi Do đó Kanguroo là loài thú

có túi

b Hoặc là hôm nay trời nóng trên 100 độ hoặc là sự ô nhiễm là nguy hại Hôm nay nhiệt độngoài trời nhỏ hơn 100 độ Do đó ô nhiễm là nguy hại

c Linđa là vận động viên bơi tuyệt vời Nếu Linđa là vận động viên bơi tuyệt vời, khi đó cô

ta có thể làm việc nh một ngời cứu đắm ở bể bơi Do đó Linđa có thể làm việc nh một

ng-ời cứu đắm ở bể bơi

d Steve sẽ làm việc ở một công ty tin học vào mùa hè này Do dó mùa hè này anh ta sẽ làmviệc ở một công ty tin học hoặc là một kẻ lang thang ngoài bãi biển

e Nếu tôi cả đêm làm bài tập này, thì tôi có thể trả lời đợc tất cả các bài tập Nếu tôi trả lời

đợc tất cả các bài tập thì tôi sẽ hiểu đợc tài liệu này Do đó nếu tôi cả đêm làm bài tậpnày thì tôi sẽ hiểu đợc tài liệu này

28 Xác định xem mỗi suy luận sau là có căn cứ không Nếu một suy luận là có căn cứ thì nó

dùng quy tắc suy luận nào Nếu không hãy chỉ ra ngụy biện nào đã đợc sử dụng

a Nếu n là một số thực lớn hơn 1 khi đó n2 > 1 Giả sử n2 > 1 Khi đó n > 1

b log23 là vô tỷ nếu nó không là tỷ số của hai số nguyên Do đó, vì log23 không thể viết dớidạng a/b với a và b là hai số nguyên, nên nó là vô tỷ

c Nếu n là một số thực và n > 3 khi đó n2 > 9 Giả sử n2≤ 9 Khi đó n ≤ 3

d Một số nguyên dơng hoặc là số chính phơng hoặc có một số chẵn các ớc nguyên dơng.Giả sử n là một số nguyên dơng có một số lẻ các ớc nguyên dơng Khi đó n là số chínhphơng

e Nếu n là một số thực và n > 2, khi đó n2 > 4 Giả sử n ≤ 2 Khi đó n2≤ 4

thì n không chia hết cho 3” Nguyên nhân là do dùng suy luận vòng tròn Sai lầm ở đâu ? Nếu

n2 là không chia hết cho 3, khi đó n2 không bằng 3k với k là một số nguyên nào đó Vì thế nkhông bằng 3l với một số nguyên l Kết luận n không chia hết cho 3.

30 Hãy chứng minh mệnh đề P(0), trong đó P(n) là mệnh đề “Nếu n là số nguyên dơng lớn hơn

1, khi đó n2 > n” Bạn đã dùng kiểu chứng minh nào?

31 Hãy chứng minh mệnh đề P(1), trong đó P(n) là mệnh đề “Nếu n là số nguyên dơng, khi đó

n2 ≥ n” Bạn đã dùng kiểu chứng minh nào?

32 Giả sử P(n) là mệnh đề “nếu a và b là các số thực dơng, thì (a + b)n ≥ an + bn” Chứng minhP(1) là đúng Bạn đã dùng kiểu chứng minh nào ?

33 Chứng minh rằng bình phơng của một số chẵn là một số chẵn bằng :

a Chứng minh trực tiếp

b Chứng minh gián tiếp

c Chứng minh bằng mâu thuẫn

34 Hãy chứng minh tổng hai số nguyên lẻ là một số chẵn.

35 Chứng minh tổng hai số hữu tỷ là số hữu tỷ.

36 Chứng minh tổng một số hữu tỷ với một số vô tỷ là một số vô tỷ nhờ chứng minh bằng mâu

thuẫn

37 Chứng minh rằng tích của hai số hữu tỷ là một số hữu tỷ.

38 Chứng minh hoặc bác bỏ rằng tích hai số vô tỷ là một số vô tỷ.

39 Chứng minh hoặc bác bỏ rằng tích một số hữu tỷ khác không và một số vô tỷ là số vô tỷ.

40 *Chứng minh hoặc bác bỏ rằng n2 - n + 41 là nguyên tố khi n là số nguyên dơng

42 Chỉ ra rằng 3 3là vô tỷ

44 Chứng minh rằng x và y là hai số thực khi đó max(x,y) + min(x,y) = x + y (Gợi ý: Sử dụng

chứng minh từng trờng hợp, với hai trờng hợp tơng ứng là x ≥ y và x < y)

45 Chứng minh rằng một số nguyên không chia hết cho 5, thì bình phơng của nó khi chia cho 5

sẽ d 1 hoặc 4

46 Chứng minh rằng nếu x và y là hai số thực khi đó |x| + |y| ≥ |x+y| (trong đó |x| là giá trị tuyệt

đối của |x|)

47 Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dơng khi đó n là chẵn nếu và chỉ nếu 7n+6 là chẵn.

48 Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dơng khi đó n là lẻ nếu và chỉ nếu 5n+6 là lẻ.

49 Chứng minh rằng nếu m2 = n2 nếu và chỉ nếu m = n hoặc m = -n

50 Cho p là một số nguyên tố Chứng minh rằng a2 ≡ b2 (mod p) nếu và chỉ nếu a ≡ b (mod p)hoặc là a ≡ - b (mod p)

51 Hãy chứng minh hoặc bác bỏ rằng n2 - 1 là hợp số với n nguyên dơng lớn hơn 1

52 Hãy chứng minh hoặc bác bỏ rằng nếu m và n là các số nguyên sao cho mn = 1 khi đó hoặc

là m = 1 và n = 1 hoặc là m = -1 và n = -1.

53 Hãy chứng minh hoặc bác bỏ rằng a mod m + b mod m = (a+b) mod m, với m là số nguyên

dơng

54 Hãy chứng minh hoặc bác bỏ rằng mọi số nguyên dơng có thể đợc viết dới dạng tổng các

bình phơng của hai số nguyên

55 Chứng minh rằng nếu n là một số nguyên dơng sao cho tổng các ớc của nó bằng n + 1, thì n

là số nguyên tố Bạn đã dùng kiểu chứng minh nào?

56 Chứng minh rằng ít nhất một trong các số thực a1, a2, , an lớn hơn hay bằng trung bình cộngcủa các số này Bạn đã dùng kiểu chứng minh nào?

57 *Dùng bài tập 31 chỉ ra rằng nếu 10 số nguyên dơng đầu tiên đợc đặt xung quanh một vòng

tròn, theo một thứ tự bất kỳ, sẽ tồn tại 3 số nguyên đứng liền nhau có tổng lớn hơn hay bằng17

58 Chứng minh rằng nếu n là một số nguyên, bốn mệnh đề sau là tơng đơng:

60 Chứng minh hoặc bác bỏ rằng có ba số nguyên dơng lẻ liên tiếp là các số nguyên tố, tức là

các số nguyên tố lẻ dạng p, p+2 và p+4 (còn gọi là bộ số sinh ba)

61 Chứng minh hoặc bác bỏ rằng với n là một số nguyên dơng khi đó có n số nguyên dơng lẻ

liên tiếp là các số nguyên tố

62 Quy tắc suy luận nào đã dùng để khẳng định kết luận của lý lẽ Lewis Carroll trong ví dụ 14

của 1.3 ?

63 Quy tắc suy luận nào đã dùng để khẳng định kết luận của lý lẽ Lewis Carroll trong ví dụ 15

của 1.3 ?

64 Hãy đa ra một chứng minh kiến thiết của mệnh đề “Với mọi số nguyên dơng n có một số

nguyên chia hết cho nhiều hơn n số nguyên tố"

65 Tìm phản ví dụ cho mệnh đề “ với mọi số nguyên tố n, n+2 cũng là số nguyên tố”.

66 *Chứng minh rằng có vô hạn các số nguyên tố đồng d 3 theo modun 4 Chứng minh của bạn

thuộc loại kiến thiết hay không kiến thiết (Gợi ý : Một phơng pháp giả sử rằng chỉ có một sốhữu hạn các số nguyên tố p1, p2, , pn đồng d 3 (mod 4) Gọi q = 4 p1 p2 pn + 3 Chứng tỏrằng q có ớc nguyên tố đồng d 3 theo môdun 4 không nằm trong các số nguyên tố p1, p2, ,pn)

67 Chứng minh hoặc bác bỏ rằng nếu p1, p2, , pn là số nguyên tố nhỏ nhất thì p1p2 pn+1 là một

số nguyên tố

68 Chứng minh rằng các mệnh đề p1, p2,p3, p4 và p5 có thể chỉ ra là tơng đơng nếu chứng minh

đ-ợc rằng các mệnh đề kéo theo p1→ p4, p3 → p1, p4 → p2, p2 → p5 và p5 → p3 là đúng

69 Chứng minh hay bác bỏ rằng nếu a và b là các số hữu tỷ khi đó ab cũng là hữu tỷ

loại kiến thiết hay không kiến thiết? (Gợi ý: Cho a= 2 và b = 2 Chỉ ra rằng ab hoặc (ab)b

là hữu tỷ)

71 Chứng minh bàn cờ 8x8 có thể phủ hoàn toàn bằng các quân domino (1x2 ô).

72 *Chứng minh rằng không thể phủ hoàn toàn bàn cờ 8x8 bằng các quân domino nếu hai ô ở

các góc đối diện bị cắt bỏ

73 *Bài toán Lô-gic, lấy từ WFF’N PROOF, trò chơi Lôgic, có hai giả thiết:

1 “Môn lôgic là khó hoặc không có nhiều sinh viên thích môn lôgic”

2 “Nếu môn toán là dễ thì lôgic là không khó”

Bằng cách chuyển các gỉả thiết trên thành các mệnh đề chứa các biến và các toán tử lôgic Hãy xác

định xem mỗi một trong các khẳng định sau đây có là các kết luận có cơ sở của các giả thiết đãcho không:

a Môn toán là không dễ nếu nhiều sinh viên thích môn lôgic

b Không có nhiều sinh viên thích môn lôgic nếu môn toán là không dễ

c Môn toán là không dễ hoặc môn lôgic là khó

d Môn lôgic là không khó hoặc môn toán là không dễ

e Nếu không có nhiều sinh viên thích môn lôgic khi đó hoặc là môn toán không dễ hoặc làlôgic không khó

74 *Hãy xác định xem suy luận sau đây có cơ sở hay không: “Nếu một siêu nhân có khả năng

và muốn ngăn cản một tội ác thì anh ta sẽ làm điều đó Nếu một siêu nhân không có khả năngngăn cản một tội ác thì anh ta là ngời bất lực Nếu anh ta không muốn ngăn cản tội ác anh ta

sẽ là một ngời xấu bụng Một siêu nhân không ngăn cản tội ác Nếu siêu nhân tồn tại thì anh

ta không bất lực và không xấu bụng Do đó siêu nhân không tồn tại”

IV Qui nạp toán học

75 Hãy tìm công thức tính tổng n số nguyên chẵn đầu tiên.

76 Dùng quy nạp toán học chứng minh công thức tìm đợc trong Bài tập trên.

77 Dùng quy nạp toán học chứng minh rằng 3.5 + 3.52 + + 3.5n = 3.(5n+1 -1)/4, với n là sốnguyên không âm

78 Dùng quy nạp toán học chứng minh rằng 7 + 2.72- + 2(-7)n = (1 - (-7)n+1)/4, với n là sốnguyên không âm

2 + + + nbằng cách quan sát các giá trị của biểu thức này với các giá trị nhỏ của n Dùng quy nạp toán học

để chứng minh kết quả của bạn

80 Tìm công thức tính tổng 1 21. 2 31. 1 1

( )

n n

bằng cách quan sát các giá trị của biểu thức này với các giá trị nhỏ của n Dùng quy nạp toán học

để chứng minh kết quả của bạn

81 Chỉ ra rằng 12 + 22 + + n2 = n(n+1)(2n+1)/6, với n nguyên dơng

82 Chỉ ra rằng 13 + 23 + + n3 = [n(n+1)/2]2, với n nguyên dơng

83 Chỉ ra rằng 12 + 32 + + (2n+1)2 = (n+1)(2n+1)(2n+3)/3, với n nguyên không âm

84 Chứng minh rằng 1.1! + 2.2! + + n.n! = (n+1)! - 1 với n nguyên dơng.

85 *Bằng quy nạp toán học hãy chứng minh bất đẳng thức Bernoulli :

“Nếu h > -1 thì 1 + nh ≤ (1+h)n, với mọi n nguyên không âm”

87 Chứng minh rằng 2n≥ n2 với mọi n nguyên lớn hơn 4

88 Chứng minh bằng quy nạp rằng n! ≤ nn với mọi n nguyên lớn hơn 1

89 Chứng minh bằng quy nạp rằng 1.2 + 2.3 + + n(n+1) = n(n+1)(n+2) /3, với mọi n nguyên

1

2 1

2

+ + + + < −

n n, với mọi n nguyên lơn hơn 1

93 Chỉ ra rằng với bất cứ bu phí nào là một số nguyên lớn hơn 7 xu cũng có thể tạo đợc bằng chỉ

hai loại tem 3 xu và 5 xu

97 *Chứng minh bằng quy nạp rằng n2- n chia hết cho 8 với n nguyên dơng lẻ

99 Chứng minh bằng quy nạp rằng tập hợp n phần tử có n(n-1)/2 tập con chứa đúng 2 phần tử

trong đó n là số nguyên lớn hơn hay bằng 2

100 *Chứng minh bằng quy nạp rằng tập hợp n phần tử có n(n-1)(n-2)/6 tập con chứa đúng 3 phần

tử trong đó n là số nguyên lớn hơn hay bằng 3

101 Sử dụng quy nạp toán học chứng minh: