SKKN hình học tọa độ oxy image marked

Với ý định đú, trong sỏng kiến kinh nghiệm này tụi muốn nờu ra một cỏch định hướng tỡm lời giải bài toỏn hỡnh học toạ độ trong mặt phẳng dựa trờn bản chất hỡnh học phẳng của bài toỏn đú.

Trang 1

A MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

Trong chương trỡnh hỡnh học lớp 10 cú một phần rất quan trọng của hỡnh

học phổ thụng đú là phương phỏp toạ độ trong mặt phẳng, đõy là phần tiếp nối của hỡnh học phẳng ở cấp THCS nhưng được nhỡn dưới quan điểm đại

số và giải tớch Như vậy mỗi bài toỏn hỡnh học toạ độ trong mặt phẳng đều mang bản chất của một bài toỏn hỡnh học phẳng nào đú Tuy nhiờn khi giải cỏc bài toỏn hỡnh học toạ độ học sinh thường khụng chỳ trọng đến bản chất hỡnh học của bài toỏn ấy, một phần vỡ học sinh ngại hỡnh học phẳng vỡ cứ nghĩ hỡnh học phẳng là khú, một phần vỡ giỏo viờn khi dạy cũng khụng chỳ trọng khai thỏc hướng dẫn cho học sinh Do đú hiệu quả giải toỏn khụng cao mà sự phõn loại dạng toỏn, phương phỏp giải toỏn cũng khụng rừ ràng

Vỡ vậy, thực tế yờu cầu phải trang bị cho học sinh một hệ thống cỏc phương phỏp suy luận giải toỏn hỡnh học toạ độ trong mặt phẳng Với ý định đú, trong sỏng kiến kinh nghiệm này tụi muốn nờu ra một cỏch định hướng tỡm lời giải bài toỏn hỡnh học toạ độ trong mặt phẳng dựa trờn bản chất hỡnh học phẳng của bài toỏn đú

II Cơ sở lý luận của đề tài

Thực trạng đứng trước một bài toỏn hỡnh học toạ độ trong mặt phẳng học sinh thường lỳng tỳng và đặt ra cõu hỏi: “ Phải định hướng tỡm lời giải bài toỏn từ đõu ?” Một số học sinh cú thúi quen khụng tốt là khi đọc đề chưa kỹ đó vội làm ngay, cú khi sự thử nghiệm đú sẽ dẫn tới kết quả, tuy nhiờn hiệu suất giải toỏn như thế là khụng cao Với tỡnh hỡnh ấy để giỳp học sinh định hướng tốt hơn trong quỏ trỡnh giải toỏn hỡnh học toạ độ trong mặt phẳng, người giỏo viờn cần tạo cho học sinh thúi quen xem xột bài toỏn dưới nhiều gúc độ, khai thỏc cỏc yếu tố đặc trưng hỡnh học của bài toỏn để tỡm lời giải Trong đú việc hỡnh thành cho học sinh khả năng tư duy theo cỏc phương phỏp giải là một điều cần thiết Việc trải nghiệm qua quỏ trỡnh

Trang 2

giải toán sẽ giúp học sinh hoàn thiện kỹ năng định hướng và giải toán Cần nhấn mạnh một điều rằng, đa số các học sinh sau khi tìm được một lời giải cho bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng thường không suy nghĩ, đào sâu thêm Học sinh không chú ý đến bản chất hình học phẳng của bài toán nên mặc dù làm rất nhiều bài toán hình học toạ độ nhưng vẫn không phân loại được dạng toán cơ bản cũng như bản chất của bài toán

Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên với thực trạng đã chỉ ra, thông thường học sinh sẽ dễ dàng cho lời giải đối với các bài toán có cấu trúc đơn giản Còn khi đưa ra bài toán khác một chút cấu trúc cơ bản học sinh thường tỏ ra rất lúng túng và không biết định hướng tìm lời giải bài toán

Từ đó, hiệu quả giải toán của học sinh bị hạn chế rất nhiều Trước thực trạng đó của học sinh, tôi thấy cần thiết phải hình thành cho học sinh thói quen xem xét bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng theo bản chất hình học phẳng Và vì vậy song song với các lời giải cho bài toán hình học toạ

độ trong mặt phẳng, tôi luôn yêu cầu học sinh chỉ ra bản chất và bài toán hình phẳng tương ứng, từ đó phân tích ngược lại cho bài toán vừa giải Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi sẽ chỉ ra một trong nhiều nội dung được áp dụng có hiệu quả Việc đưa nội dung này nhằm khai thác các tính chất hình học phẳng để định hướng tìm lời giải bài toán hình học toạ độ và xem việc chỉ ra bản chất hình học phẳng sẽ bổ trợ cho giải toán chứ không phải là chúng ta đi giải một bài hình học phẳng Qua đó giúp học sinh nhận thức được rằng: “Mỗi bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng luôn chứa đựng một bài toán hình phẳng tương ứng” Vì vậy phân tích bản chất của bài toán hình học phẳng để bổ trợ cho việc giải bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng là một suy nghĩ có chủ đích, giúp học sinh chủ động hơn trong việc tìm kiếm lời giải cũng như phân loại một cách tương đối các bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng

Trang 3

3 Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin về khả năng nắm vững kiến thức của học sinh

4 Trong mỗi bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng đều yêu cầu học sinh thực hiện phân tích bản chất hình học phẳng cũng như đưa ra các hướng khai thác mở rộng cho bài toán

5 Cung cấp hệ thống các bài tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện

II CÁC BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN

Nội dung này được triển khai thông qua 3 buổi học (mỗi buổi học 3 tiết) Các buổi học giáo viên nêu vấn đề và định hướng cách suy nghĩ giải toán, giáo viên hướng dẫn làm các ví dụ mẫu Qua đó, bằng cách phân tích trên hình phẳng tương ứng với bài toán, giáo viên phân tích lợi ích của việc

“suy nghĩ có định hướng theo bản chất hình học phẳng của bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng” cũng như phân tích cho học sinh thấy rằng việc lựa chọn phương pháp giải không phải là ngẫu nhiên mà luôn chất chứa những nguyên nhân sâu xa rất bản chất Đó chính là cấu trúc của bài toán, hình thức của bài toán và các mối quan hệ “tất yếu” giữa các yếu tố tạo nên bài toán Cũng chính vì điều đó mà việc phân tích bài toán toạ độ trên hình phẳng tương ứng một mặt giúp học sinh hiểu được bản chất của bài toán, mặt khác giúp học sinh biết cách định hướng trong việc tìm lời giải bài toán Để các buổi học đạt hiệu quả, tôi đã thực hiện ngay sau khi

Trang 4

học xong phần hình học toạ độ trong mặt phẳng ở lớp 10 Để tăng cường tính chủ động cho học sinh trong buổi học thứ nhất tôi đã cung cấp cho học sinh một hệ thống các bài tập đề thi về bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng cho bài học Yêu cầu học sinh về nhà chuẩn bị lời giải , phân loại các bài toán thành các nhóm tương tự nhau cũng như trả lời câu hỏi :"bản chất bài toán ấy là gì? có tổng quát, mở rộng, phân loại dạng toán được không?" Bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng xuất hiện thường xuyên trong các đề thi ĐH, đề thi học sinh giỏi với mức độ tương đối khó Vì vậy

để giải được dạng toán này chúng ta cần tìm hiểu bản chất cũng như xây dựng phương pháp tư duy giải toán đặc trưng cho loại toán Trong các buổi học này chúng ta sẽ cùng nghiên cứu về một phương pháp tư duy giải toán:

"phân tích bản chất hình học phẳng trong bài toán hình học toạ độ tương ứng" Trước hết ta cần chú ý chuyển bài toán toạ độ về bài toán hình phẳng trên cơ sở các dữ kiện bài toán đã cho Sau đó ta sẽ phân tích tính chất hình học trên hình phẳng để định hướng tìm lời giải bài toán

III MỘT SỐ VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH

Các ví dụ Một bài toán hình học toạ độ có thể được giải theo một trong ba hướng chính sau:

H1: Giải hoàn toàn theo quan điểm hình học giải tích

H2: Giải hoàn toàn theo quan điểm hình học phẳng sau đó áp dụng vào toạ

độ

H3: Khai thác các yếu tố hình học phẳng để giải toán hình giải tích

Mỗi hướng giải toán đều có những ưu thế riêng cho từng bài toán nhưng nói chung H3 thường hiệu quả hơn cả

Trang 5

Thực hành giải toán:

Bước 1: Vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán Trên cơ sở dữ kiện và yêu cầu bài toán phân tích các yếu tố hình phẳng cần thiết để giải toán

Bước 2: Lập sơ đồ các bước giải bài toán

Bước 3: Trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ ở bước 2

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC có góc C nhọn, tâm đường tròn ngoại tiếp tam

D(-1; -1), đường thẳng AC đi qua điểm M(-1; 4) Tìm toạ độ A, B biết đỉnh

A có hoành độ dương

I D

A

B

C M

Bước 1 Vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán, khai thác yếu tố hình phẳng

Trang 6

Bước 2 Lập sơ đồ các bước giải bài toán

tại I, suy ra IA IB   0 từ đó tìm được toạ độ điểm B

Bước 3 Trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ bước 2

Trang 7

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC nhọn Đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ

từ A và đường thẳng BC lần lượt có phương trình 3x 5y  8 0, x y   4 0 Đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại đ iểm thứ hai là D(4; -2) Viết phư ơ ng trình các đường thẳng AB, AC biết x B  3

M

sau:

Mà  ACK  ADB (góc nội tiếp chắn cung AB ) suy ra BHK  ADB, do đó tam giác BHD cân tại B, mà BK là đường cao nên K là trung điểm của HD

+) Viết phương trình AD: đi qua D và vuông góc với BC

+) K là trung điểm của DH suy ra toạ độ điểm H

Trang 8

+) B BC nên biểu thị toạ độ điểm B theo tham số t, M là trung điểm của

BC suy ra toạ độ điểm C theo tham số t

+) H là trực tâm tam giác ABC nên  HB AC  0 suy ra toạ độ B, C

Mà  ACK  ADB (góc nội tiếp chắn cung AB ) suy ra BHK  ADB, do đó tam giác BHD cân tại B, mà BK là đường cao nên K là trung điểm của HD

, M là trung điểm của BC suy ra ( ; 4)

B BC B t t C(7 t;3 t)

H là trực tâm tam giác ABC nên HB AC   0 suy ra t = 2 hoặc t = 7 (loại)Khi đó B(2; -2), C(5; 1)

Pt (AB): 3x + y – 4=0; pt(AC): y – 1 = 0

Ví dụ 3 Cho hình vuông ABCD có hai điểm M, N lần lượt là trung điểm

Trang 9

B I

P H

sau:

Tứ giác AMID nội tiếp đường tròn tâm E( với E là trung điểm của AH) suy

+) Chứng minh tam giác AIP vuông tại I

+) Viết phương trình đường thẳng AI: đi qua I và vuông góc với PI

AI = 2IP suy ra toạ độ điểm A, rồi viết phương trình AP

Trang 10

+) Viết phương trình DN: qua I và vuông góc với AP, suy ra toạ độ điểm

, H là trung điểm ID suy ra toạ độ điểm D

H APDN

+) Viết phương trình DC: qua D và vuông góc với AD, suy ra toạ độ điểm

, P là trung điểm DC suy ra toạ độ điểm C

PAHDC

+)  AB DC suy ra toạ độ điểm B

MBC NCD CM DN

Tứ giác AMID nội tiếp đường tròn tâm E( với E là trung điểm của AH) suy

Trang 11

Ví dụ 4 Cho hình vuông ABCD và điểm E thuộc cạnh BC Một đường

thẳng qua A vuông góc với AE cắt CD tại F, đường thẳng chứa trung tuyến

AM của tam giác AEF cắt CD tại K Tìm toạ đ ộ đ iểm D biết A(-6; 6), M(-4; 2), K(-3; 0)

A

E

C D

+) Viết phương trình EF: qua M và vuông góc AM

+) Viết phương trình đường tròn (C) tâm M bán kính MA

+) E, F là giao điểm của đường thẳng EF và đường tròn (C), suy ra toạ độ

E, F

Trang 12

+) Viết phương trình CD đi qua F, K Viết phương trình AD: đi qua A và

nên tam giác AEF cân tại A, mà AM là AF

x y





 

Trường hợp 1: E(-8; 0), F(0; 4)

Viết phương trình CD đi qua F, K: 4x 3y 12 0 

5 5

D 

Trường hợp 1: E(0; 4), F(-8; 0) suy ra D(-6;0)

Ví dụ 5 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H là hình chiếu vuông góc của B

lên AC; M, N lần lượt là trung điểm của AH, BH Trên cạnh CD lấy điểm

K sao cho MNCK là hình bình hành Biết 9 2; , K(9; 2) và các đ ỉnh

Trang 13

N

C D

B

M

K H

+) C d 2 nên toạ độ điểm C biểu thị theo tham số a BC CK   0 suy ra toạ

độ C K là trung điểm CD suy ra toạ độ điểm D

+)  AB DC suy ra toạ độ điểm A

Trang 14

Vậy A(1; 0), B(1; 4), C(9; 4), D(9; 0)

Ví dụ 6 Cho hình chữ nhật ABCD có D(4; 5), M là trung điểm đoạn AD,

thẳng d1: 2x y   1 0, y C  2 Tìm toạ độ A, B, C

A

I

C D

B

M

K

H G

Trang 15

+) C thuộc CM nên biểu thị toạ độ điểm C theo tham số c CB CD   0 suy ra toạ độ điểm C

Trang 16

Ví dụ 7 Cho hình bình hành ABCD có N là trung điểm của CD, đường

thẳng AC sao cho AC = 4 AM Gọi H là điểm đối xứng với N qua C, H thuộc đường thẳng  : 2 x 3 y 0   Biết 3AC = 2AB, tìm toạ độ A, B, C, D

A

I

H D

B

N

M

H G

Trang 17

8 (H, BN) 2d(C, BN) ( , )

tam giác MNH vuông tại M

5

d H BN  d M BN

+) H   Biểu thị toạ độ điểm H theo tham số a toạ độ điểm H

+) Tam giác MNH vuông tại M suy ra phương trình đường thẳng MN

+) N là trung điểm CD suy ra toạ độ điểm D

+) CM  3MA  toạ độ điểm A, I, B

Gọi I  ACBD G BN,  AC suy ra G là trọng tâm tâm tam giác BCD

Trang 18

Vì H, M nằm khác phía đối với BN nên H(3; 2)  pt MH( ) :y  2 0 Suy ra pt(MN): x + 1 = 0 N( 1;0)   C(1;1), D( 3; 1)  

vuông góc của điểm D lên AB, BC lần lượt là M(-2; -1), N(2; -1) Biết AC

+) Chứng minh I thuộc trung trực của MN

+) Viết phương trình đường trung trực của MN, suy ra toạ độ điểm I, suy ra

độ dài IM, BD, AC

+) Viết phương trình đường tròn đường kính AC, suy ra toạ độ A, C là giao điểm của AC và đường tròn đường kính AC

Trang 19

Phương trình đường tròn đường kính AC là 2 2 25

1 2

Ví dụ 9 Cho hình thang cân ABCD có hai đ áy là AD và BC, biết

M(-2; -5) thuộc đường thẳng AD Viết phương trình CD biết B(1; 1)

F

D A

M

sau:

Tứ giác ABCD là hình thang cân nên ABCD nội tiếp đường tròn

Gọi E là điểm đối xứng của B qua AC suy ra E thuộc AD



BAD

Trang 20

+) Gọi E là điểm đối xứng của B qua AC suy ra E thuộc AD Viết phương

toạ độ điểm E

+) Viết phư ơ ng trình BC đ i qua B và song song AD, suy ra toạ đ ộ

C ACBC

Tứ giác ABCD là hình thang cân nên ABCD nội tiếp đường tròn

Gọi E là điểm đối xứng của B qua AC suy ra E thuộc AD

không phải là hình thang cân, mâu thuẫn với giả thiết Vậy bài toán vô nghiệm

Trang 21

Ví dụ 10 Cho hình thang cân ABCD với CD = 2AB Đường thẳng AC,

BD lần lượt có phương trình x y   4 0,x y   2 0 Biết toạ độ các đỉnh A,

B đều dương và diện tích hình thang bằng 36, tìm toạ độ các đỉnh của hình thang

I

C D

sau:

Ta có ACBD IDC vuông cân tại I nên ACD 45 0, suy ra tam giác

Trang 22

+) Ta cú 2 suy ra toạ độ hai điểm A, B

DC 2 AB nờn toạ độ điểm D biểu thị theo tham số c

Ta cú IC = ID suy ra toạ độ C, D

Bước 3 Trỡnh bày lời giải bài toỏn theo sơ đồ bước 2

Ta cú ACBD IDC vuụng cõn tại I nờn ACD 45 0, suy ra tam giỏc

Gọi A(a; 4-a), B(b; 2- b)

IV Bài học kinh nghiệm:

- Trước một bài toán, người thày phải biết hướng dẫn học sinh tự giải, biết tìm ra hướng đi đúng đắn Bởi một số bài toán đòi hỏi phải sáng tạo, đòi hỏi phải có tư duy nhất định mói có thể giải quyết được

- Biết trân trọng thành quả lao động sáng tạo của các nhà toán học, giúp học sinh hứng thú học tập bộ môn nhằm nâng cao chất lượng bộ môn toỏn và chất lượng giáo dục hiện nay

Trang 23

- Bản thân tôi tự cảm thấy đề tài này còn nhiều hạn chế Do vậy tôi mong rằng người đọc hãy đóng góp ý kiến xây đựng đề tài, để đề tài ngày càng hoàn thiện hơn

- Hiện nay đa số các thầy cô giáo cũng đã biết phương pháp này Tuy nhiên ứng dụng của nó thì hiện nay chưa được nghiên cứu một cách tổng thể Do vậy tôi mong rằng những kinh nghiệm nhỏ nhoi của tôi có thể giúp ích được phần nào cho công tác giảng dạy tại các trường phổ thông hiện nay

Người viết sáng kiến

Định dạng
Số trang	28
Dung lượng	304,25 KB