(trường chuyên) 482 câu hình học không gian 2018 image marked image marked

Câu 6: Chuyên Đại Học Vinh Người ta thả một viên billiards snooker có dạng hình cầu với bán kính nhỏ hơn 4,5 cm vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước thì viên billiards đó tiếp xúc v

Câu 1: (Chuyên Đại Học Vinh) Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có cạnh bên

AA '=h và diện tích của tam giác ABC bằng S Thể tích của khối hộp ABCD.A'B'C'D'bằng

Ta có: SABCD=2SABC =2SVABCD.A 'B'C'D' =2Sh

Câu 2: (Chuyên Đại Học Vinh) Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, chiều cao bằng h Biết rằng hình trụ đó có diện tích toàn phần gấp đôi diện tích xung quanh Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 3:(Chuyên Đại Học Vinh)

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C'có đáy ABC là tam giác

vuông cân tại A, AB AA' a= = (tham khảo hình vẽ bên) Tính tang

của góc giữa đường thẳng BC' và mặt phẳng (ABB'A ' )

Câu 5: (Chuyên Đại Học Vinh) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Gọi M,

N lần lượt là trung điểm của AC và B'C' (tham khảo hình vẽ bên)

Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và B’D’ bằng

Câu 6: (Chuyên Đại Học Vinh)

Người ta thả một viên billiards snooker có dạng hình cầu với bán kính

nhỏ hơn 4,5 cm vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước thì viên

billiards đó tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc với mặt nước sau khi dâng

(tham khảo hình vẽ bên) Biết rằng bán kính của phần trong đáy cốc

bằng 5,4 cm và chiều cao của mực nước ban đầu trong cốc bằng 4,5

cm Bán kính của viên billiards đó bằng

Đáp án D

Phương pháp:

+) Tính thể tích của mực nước ban đầu V1

+) Gọi R là bán kính của viên billiards hình cầu, tính thể tích khối cầu V2

+) Tính thể tích mực nước lúc sau V

+) Từ giả thiết ta có phương trình V=V +V ,tìm R

Cách giải:

Thể tích mực nước ban đầu là: 2 2

V = r h = .5, 4 4, 5 Gọi R là bán kính của viên bi ta có sau khi thả viên bi vào cốc, chiều cao của mực nước bằng 2R, do đó tổng thể tích của nước và bi sau khi thả viên bi vào trong cốc là:

Giải phương trình trên với điều kiện R4, 5R=2, 7cm

Câu 7: (Chuyên Đại Học Vinh) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C'có đáy ABC là tam giác vuông, AB BC a= = Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (ACC' và AB'C' ) ( )bằng 60 (tham khảo hình vẽ bên) Thể tích của khối chóp B'.ACC'A' bằng

Câu 8: (Chuyên Đại Học Vinh) Cho hình chóp S.ABCD có

đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD )

Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB và M, N lần lượt là trung

điểm của SC, SD (tham khảo hình vẽ bên) Tính côsin của góc

giữa hai mặt phẳng (GMN và ABCD ) ( )

Đáp án D

Phương pháp:

Gọi H là trung điểm của ABSH⊥(ABCD)

( ) ( ) ( ( ) ( ) ) 1 2

n nGMN ; ABCD cos GMN ; ABCD

n n

Cách giải:

Gọi H là trung điểm của AB.Vì (SAD) (⊥ ABCD)SH⊥(ABCD)

Gắn hệ tọa độ Oxyz, với

Và mặt phẳng (ABCD có véc tơ pháp tuyến là ) n2 =n( ABCD )= =k (0;0;1)

Vậy cosin góc giữa hai mặt phẳng ( ) ( ) 1 2

n n 2 39GMN , ABCD cos

Gọi H là trung điểm của ABSH⊥(ABCD)

n n

Cách giải:

Gọi H là trung điểm của AB.Vì (SAD) (⊥ ABCD)SH⊥(ABCD)

Gắn hệ tọa độ Oxyz, với

Và mặt phẳng (ABCD có véc tơ pháp tuyến là ) n2 =n( ABCD )= =k (0;0;1)

Vậy cosin góc giữa hai mặt phẳng ( ) ( ) 1 2

n n 2 39GMN , ABCD cos

Do 0

BAD=BAA '=BAD=60  A’ABD là tứ diê ̣n đều

Dựng A ' H⊥(ABCD) suy ra H là tro ̣ng tâm tam giác đều ABD Ta có:

Dựng OK AC'⊥  OK là đoa ̣n vuông góc chung của AC’ và BD

Dựng CE//AH AE 4AH 4.a 3

Go ̣i r và R lần lượt là bán kính đường tròn nô ̣i tiếp và ngoa ̣i tiếp tam giác ABC

Thể tích hình nón nô ̣i tiếp hình chóp là: 2

1 2 2

Câu 11: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội)

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân tại a, AB=AC=a,

AA'=2a Thể tích khối tứ diện A'BB'C là

Mỗi ca ̣nh của tứ diê ̣n ta ̣o thành 2 vecto thỏa mãn đề bài, suy ra có 6.2 12= vecto

Câu 13: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Thể tích khối chóp S.ABCD là

A 3

a B

3

a 3

2 C

3

a 3

3 D

3

a 3

6

Đáp án D

Ho ̣i H là trung điểm của AB Khi đó SH⊥(ABCD)

Thể tích khối chóp là:

3 2

Go ̣i D và E lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SC

Khi đó: ( (SBC ; SAC) ( ) )=AED

S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy,

A 12cm

10

S = R Diê ̣n tích đáy hình hô ̣p: 2 2

2

S =a =4R

Chiều cao bằng nhau nên tỉ lê ̣ thể tích: 1 1

với đáy góc 45 , cạnh bên của hình hộp bằng 1 Thể tích khối hộp là:

Câu 26: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Cho hình

lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông BA=BC=a, cạnh bên AA '=a 2,

M là trung điểm của BC Khoảng cách giữa AM và B' C là:

bằng a, cạnh bên bằng a 2 Thể tích của khối chóp là:

Đáp án A

Do BC / /ADnên giao tuyến d của (SBC) và (SAD)song song với BC và AD

Suy ra d⊥(BSA)( (SBC ; SAD) ( ) )=BSA=45

Câu 29: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Xét tứ diện O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc Gọi , ,   lần lượt là góc

giữa các đường thẳng OA, OB, OC với mặt phẳng (ABC) Khi đó, tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau ( 2 )( 2 )( 2 )

M= 3 cot+  3 cot+  3 cot+ 

Đáp án D

Gọi H là hình chiếu của O lên (ABC) là trực tâm ABCH 

Ta có OA; ABC( ) (= OA; AH)=OAH=  ; tương tự OBH= ;OCH= 

Câu 30:( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình

vuông cạnh bằng a, SA⊥(ABCD ,) SA=a 3.Gọi M là trung điểm của SD Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CM

Câu 31: ( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là hình

vuông tại B và BA BC a.= = Cạnh bên SA 2a= và vuông góc với mặt phẳng (ABC) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là:

Câu 32: ( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC

đều, đường cao SH với H nằm trong ABC và 2SH=BC, SBC( ) tạo với mặt phẳng

(ABC) một góc 60 Biết có một điểm O nằm trên đường cao SH sao cho

BPC 120= ABPC nội tiếp

Câu 33: ( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam)

Hình nào dưới đây không phải là hình đa diện?

a

3

a 2.6

Câu 35:( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam)

Tính diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính đáy a và đường cao a 3

Câu 36: ( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam)

Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a Gọi M là trung điểm của

AB và  là góc tạo bởi đường thẳng MC’ và mặt phẳng (ABC) Khi đó tan  bằng

Câu 37:( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam)

Cho hình nónN1có chiều cao bằng 40cm Người ta hình nónN1bằng một mặt phẳng

song song với mặt đáy của nó để được một hình nón nhỏ N2 có thể tích bằng 1

3

Đáp án A

S.MNQ S.ABC

V = SA SB SC =2 2 3= 6 =

Câu 39:( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam) Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại,

AB= và a AC=a 3 Tính độ dài đường sinh l của hình nón có được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB

A l a.= B l 2a.= C l= 3a D l= 2a

Đáp án B

Độ dài đường sinh chính là độ dài đoạn thẳng BC, khi đó 2 2

l=BC= AB +AC =2a

Câu 40: ( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình

vuông cạnh 2a, cạnh SB vuông góc với đáy và mặt phẳng (SAD) tạo với đáy một góc

AD⊥ SAB  SAD ; ABCD = SA; AB =SAB=60

Tam giác SAB vuông tại B, có 0

SB=tan 60 AB=2a 3

Diện tích hình vuông ABCD là ( )2 2

ABCD

S = 2a =4a Thể tích khối chóp S.ABCD là

3 2 ABCD

Câu 41:( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam)

Xét khối tứ diện SABC có cạnh SA, BC thỏa mãn: 2 2

SA +BC =18 và các cạnh còn lại đều bằng 5 Biết thể tích khối tứ diện SABC đạt giá trị lớn nhất có dạng: Vmax x y;

Gọi I, H lần lượt là trung điểm của SA, BC Ta có BI SA SA (BIC)

A H là trọng tâm tam giác ABC B H là trung điểm của BC

C H là trực tâm của tam giác ABC D H là trung điểm của AC

Đáp án C

Câu 43:( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018) Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SD Số đo của góc giữa hai đường thẳng MN và SC

Ta có: A 0;0;0 ,S 0;0; b , M x;a;0 , N a; y;0 ( ) ( ) ( ) ( ) AM x;a;0 , AS 0;0; b( ) ( )  vtpt của (SAM) là: n1=AM; AS=(ab; bx;0− ) (=b a; x;0− ) MS(− −x; a; b), NS(− −a; y; b) 

2

n =MS; NS= by ab; bx ab; xy a− − − (Dethithpt.com)

Để hai mặt phẳng (SAM và SMN vuông góc với nhau thì ) n n1 2 = 0



3

2 a.3



3

a 3

3

a 6

12

Đáp án A

Gọi K là trung điểm của BC và I SK EF.= 

Từ gt EF 1BC a, EF / /BC

 = =  I là trung điểm của SK và EF

Ta có SAB = SAC Hai trung tuyến tương ứng AE AF.=

 Tam giác AEF cân tại AAI⊥AF

trọng tâm các tam giác SAB, SBC, SCD, SDA Biết thể tích khối chóp S.MNPQ là V, khi

đó thể tích của khối chóp S.ABCD là

Câu 53: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy

là tam giác ABC vuông tại A, AC=a, 0

ACB=60 Đường thẳng BC’ tạo với mặt phẳng (AA’C’C) góc 0

30 Tính thể tích khối lăng trụ đã cho

Qua O có mấy đường thẳng vuông góc với  ?

Đáp án A

3 ACB'D ' ABCD.A 'B'C 'D '

Câu 58:( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh

a Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của cạnh AB Cạnh bên 3a

VR2

aS

3



2 xq

a 2S

3



2 xq

a 3S

Chiều cao của hình nón là: 2 a 3 a 6

3

a 2V

9

3

2a 3V

2

SB' SA 2SB'.SB SA

Tương tự

2 2

vuông tại A và D; SD vuông góc với mặt đáy (ABCD ; AD) =2a; SD=a 2 Tính khoảng cách giữa đường thẳng CD và mặt phẳng (SAB)

Câu 65: ( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Với một đĩa phẳng hình tròn bằng thép bán kính

R, phải làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành một hình nón Gọi độ dài cung tròn của hình quạt còn lại là x Tìm x để thể tích khối nón tạo thành nhận giá trị lớn nhất

Câu 66: ( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác

vuông cân tại B, AB=BC=a 3,

SAB=SCB=90 và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng a 2 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a

Dựng hình vuông ABCDSD⊥mp ABCD ( )

Khi đó mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC chính là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Kẻ DH⊥SC H SC(  )mà BC⊥(SCD)DH⊥(SBC )

Mặt khác AD / /BCD A; SBC( ( ) )=d D; SBC( ( ) )=DH=a 2

Tam giác SCD vuông tại D, có 1 2 12 12 SD a 6

DH =SD +CD  = Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là

2 2

Câu 67: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 )

Tính thể tích khối trụ biết bán kính đáy r=4 cm và chiều cao h=6 cm

Câu 68: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 )

Cho khối lăng trụ có thể tích V, diện tích đáy là B và chiều cao h Tìm khẳng định đúng

A V 1Bh

3

Đáp án C

Câu 69: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 )

Cho hình nón có chiều cao 2a 3 và bán kính đáy 2a Tính diện tích xung quanh của hình nón đó

Câu 70: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 )

Hình đa diện bên có bao nhiêu mặt?

Câu 71: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 )

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD

Đáp án B

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD

Câu 72: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 )

Cho tứ diện ABCD có thể tích V Gọi G là trọng tâm tam giác ADC Tính thể tích khối chóp G.ABC theo V

Ta có: VG.ABC 1VD.ABC V.

Câu 73: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 )

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, BC và CD Hỏi thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP) là hình gì?

A Hình ngũ giác B Hình tam giác C Hình tứ giác D Hình bình hành Đáp án A

Thiết diện là ngũ giác KPNIM

Câu 74: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 )

Hình nào dưới đây không có trục đối xứng?

A Tam giác cân B Hình thang cân C Hình bình hành D Hình elip Đáp án C

Câu 75: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 ) Cho hình lập phương cạnh a nội tiếp mặt cầu (S) Tính diện tích mặt cầu (S)



Đáp án C

Câu 77: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 )

Cho khối chóp S.ABC có SA⊥(ABC , SA) =a, AB=a, AC=2a và BAC=120 Tính thể tích khối chóp S ABC

Thiết diện là hình thang EFJI

Tam giác AMN có CM a 5; CN a 2; MN 3a.

Câu 80:(Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 ) Một hộp đựng phần hình hộp chữ nhật

có chiều dài 30 cm , chiều rộng 5 cm và chiều cao 6 cm Người ta xếp thẳng đứng vào đó các viên phấn giống nhau, mỗi viên phấn là khối trụ có chiều cao 6 cm và bán kính đáy

1

r cm

2

= Hỏi có thể xếp được tối đa bao nhiêu viên phấn

A 150 viên B 153 viên C 151 viên D 154 viên Đáp án B

Để xếp được số viên phấn nhiều nhất ta sẽ xếp xen kẽ các viên phấn

Do đó, số viên bi tối đa xếp được là 153 viên

Câu 81:(Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 ) Cho khối chóp S.ABC có

MSA, NSB cho MA= −2MS, NS= −2NB Mặt phẳng ( ) đi qua hai điểm M, N và song song với SC chia khối chóp thành hai khối đa diện Tính tỉ số thể tích của hai khối

đa diện đó (số bé chia số lớn)

Chuẩn hóa khối chóp S.ABC có SA AB AC 1.

Câu 82:(Chuyên Thái Nguyên Lần 1)

Một bình để chứa Oxy sử dụng trong công nghiệp và trong y tế được thiết kế gồm hình

trụ và nửa hình cầu với thông số như hình vẽ

Thể tích V của hình này là bao nhiêu?

A Mặt phẳng (P) và đường thẳng a không nằm trên (P) cùng vuông góc với đường thẳng

b thì song song với nhau(Dethithpt.com)

B Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau

C Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với

nhau

D Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau Đáp án C

Câu 84: (Chuyên Thái Nguyên Lần 1) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình

bình hành Hai điểm M, N thuộc các cạnh AB và AD (M, N không trùng với A) sao cho

Câu 85: (Chuyên Thái Nguyên Lần 1)

Cho hình chóp S ABC có độ dài cạnh SA=BC=x SB, =AC= y SC, =AB=z thỏa mãn điều kiện 2 2 2

Câu 86:(Chuyên Thái Nguyên Lần 1) Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy R=a 2,

góc ở đỉnh bằng 60 Diện tích xung quanh của hình nón bằng

2.2 2 4

S=Rl=a a = a

Câu 87:(Chuyên Thái Nguyên Lần 1) Một hình lăng trụ có 2018 mặt Hỏi hình lăng trụ

Khi đó 3 2

Câu 89:(Chuyên Thái Nguyên Lần 1) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông

cạnh 2a, tam giác SAB đều, góc giữa (SCD và ) (ABCD bằng 60 ) (Dethithpt.com) Gọi

M là trung điểm của cạnh AB Biết hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng

(ABCD nằm trong hình vuông ABCD Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng )

Câu 90:(Chuyên Thái Nguyên Lần 1) Để chặn đường hành lang hình

chữ L người ta dung một que sào thẳng dài đặt kín những điểm chạm với

hành lang (như hình vẽ bên) Biết rằng và hỏi cái sào thỏa mãn điều kiện

trên có chiều dài tối thiểu là bao nhiêu?

Đáp án C

Theo bài ra, thanh sào sẽ đi qua các điểm B, M , C (hình vẽ dưới)

Suy ra độ dài thanh sào là

= Vậy độ dài tối thiểu của thanh sào là 15 5

Câu 91: (Chuyên Thái Nguyên Lần 1) Cho hình thang cân ABCD có các cạnh

C

3

72 37

a

D

3

72 27

a

Đáp án C

Gọi H là trung điểm của MCA H' ⊥MCA H' ⊥(ABC)

Tam giác MA C đều cạnh ' 2a 3MC=2a 3và 'A H=3a

A Khối bát diện đều B Khối lăng trụ tam giác đều

C Khối chóp lục giác đều D Khối tứ diện đều

Đáp án A

Tâm các mặt của hình lập phương tạo thành khối bát diện đều

Câu94: (Chuyên Thái Nguyên Lần 1)Cho hình chóp S ABCD có

SA⊥ ABCD AC=a S = và góc giữa đường thẳng SC và mặt phằng

(ABCD bằng 60 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC Tính theo a thể tích )khối chóp H ABCD

a

C

3

68