Tìm tạo độ điểm M trêm C để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất Cách làm -Gọi Mx0,y0=cx ax d b 0 0 - Tìm đường tiệm cận ngang và tính khoảng cách từ M đến tiệm cận nga
Trang 1Các bài tập liên quan đến tiệm cận Bài toán tổng quát y cx ax d b
(C)
1 Tìm tạo độ điểm M trêm (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất
Cách làm
-Gọi M(x0,y0=cx ax d b
0
0 )
- Tìm đường tiệm cận ngang và tính khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang
- Tìm đường tiệm cận đứng và tính khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng
- Tổng d=d(M,tcn)+d(M,tcd) và áp dụng BĐT cô si a b 2 ab
dấu bằng xẩy ra khi a=b
2 Chứng minh rằng giao điểm tiệm cận là tâm đối xứng của dồ thị
Cách làm
- Tìm tiệm cận đứng
- Tìm tiệm cận ngang
- Suy ra giao điểm I(xI ,yI ) hai tiệm cận
- Dùng phép tịnh tiến chuyển trục OXY thành trục IXY theo phép tịnh tiến véctơ OI bằng cách
Y y y
X x x
I I
- Khi đó ta Y=F(X)
- Nếu F(-X)=-F(X) thì I là tâm đối xứng
3 Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận Tìm M để tiếp tuyến của (C) tại
M vuông góc với đường thẳng IM
Cách làm
- Tìm tiệm cận đứng
- Tìm tiệm cận ngang
- Suy ra giao điểm I
- Goi M(x0,y0)
0
0 0
x x
y y x x
y y
m
m
- Tính f’(x0)=k2
- viết pt tiếp tuyến tại M
- y-y =f’(x )(x-x )
Trang 2- Để IM vuông góc với tt thì k1.k2=-1.
4 Tìm toạ độ điểm M trên (C) để khoảng cách từ M đến hai tiệm cận bàng nhau
Cách làm
-Gọi M(x0,y0=cx ax d b
0
0 )
- Tìm tiệm cận ngang và tính khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang
- Tìm tiệm cận đứng và tính khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng
- d(M,tcn)=d(M,tcd)
5 Tìm khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận đến đường thẳng
: ax+by+c=0
Cách làm
- Tìm tiệm cận đứng
- Tìm tiệm cận ngang
- Suy ra giao điểm I
- Tính d(I,)
6 Nếu đồ thị hàm số có tiệm cận, chứng minh rằng tích số các khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên đồ thị đến các đường tiệm cận của
nó là một hằng số
Cách làm
-Gọi M(x0,y0=cx ax d b
0
0 )
- Tìm đường tiệm cận ngang và tính khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang d(M,tcn)
- Tìm đường tiệm cận đứng và tính khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d(M,tcđ)
- d(M,tcn).d(M,tcđ)=const
7 Gọi M là điểm bất kỳ trên (C), tiếp tuyến tại M của (C) cắt tiệm cận tại A,B Chứng minh rằng M là trung điểm của AB và tam giác IAB
có diện tích không đổi
Cách làm
- Viết phương trình tiếp tuyến tại M
Trang 3- Tìm giao điểm của với tiệm cận đứng.
- Tìm giao điểm của với tiệm cận ngang
- Tính tạo độ trung bình của điểm A,B
- Tính diện tích tam giác SIAB=21 IA.IB
8 Gọi I là giao điểm hai tiệm cận Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào tại M của (C) đi qua I
Cách làm
- Tìm tiệm cận đứng
- Tìm tiệm cận ngang
- Suy ra giao điểm I
- Viết pt tiếp tuyến tại M
- Thay toạ độ điểm I vào pttt sau đó giải pt với ẩn là x0 thấy vô nghiệm thì ta kết luận được
9 Tính khoảng cách từ một M(xM ,yM ) điểm đến tiệm cận đứng (x-x
0=0) hoặc ngang (y-y0=0)
Cách làm
- Tìm đường tiệm cận ngang và tính khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang d(M,tcn)= y M y0
- Tìm đường tiệm cận đứng và tính khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d(M,tcđ)= x M x0
10 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị, biết tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng tiệm cận ngang lần lượt tại A,B sao cho tam giác IAB cân, với I là giao điểm của hai tiệm cận đó
Cách làm
Cách 1.
- Tính f’(x0)
- Do tam giác IAB cân tại I khi đó hệ số góc của tiếp tuyến f’(x
0)=-1(1) Giải pt (1) ta tìm được x0
- Suy ra điểm M(x0,y0) viết pt tiếp tuyến tai M
Cách 2
- Ta xác định điểm A,B,I và sử dụng điều kiện IA=IB