SKKN - Toán 9

- Nếu hs được rèn luyện kĩ năng vận dụng BĐT côsi vào giải các bài toántìm cực trị, thì tư duy của các em trở lên linh hoạt hơn, sáng tạo hơn trongquá trình tìm tòi lời giải bài toán cũn

2 Lí do chủ quan.

- Trong thực tế giảng dạy ở trường THCS Hải Đông, cũng như trong quátrình ôn thi HSG tôi thấy HS thường gặp nhiều khó khăn khi giải các bàitoán liên quan đến tìm GTLN, GTNN của một biểu thức, hs rất lúng túng,chậm chạp mặc dù đã được thầy gợi ý, hướng dẫn

- Nếu hs được rèn luyện kĩ năng vận dụng BĐT côsi vào giải các bài toántìm cực trị, thì tư duy của các em trở lên linh hoạt hơn, sáng tạo hơn trongquá trình tìm tòi lời giải bài toán cũng như trong quá trình giải quyết cáctình huống trong thực tế

II/ Nhiệm vụ, phạm vi, đối tượng nghiên cứu của đề tài.

1 Nhiệm vụ của đề tài

- Xác định cơ sở của việc rèn luyện kĩ năng vận dụng BĐT côsi vào giảicác bài toán tìm cực trị(đại số) của hs lớp 9 diện khá, giỏi

- Tìm hiểu thực trạng về kĩ năng giải toán tìm cực trị, cũng như việc vậndụng BĐT côsi để giải một số bài toán tìm cực trị

- Đề xuất một số phương pháp để rèn luyện kĩ năng vận dụng BĐT côsi vào giải toán tìm cực trị

2 Phạm vi nghiên cứu của đề tài

- Kĩ năng vận dụng BĐT côsi vào giải các bài toán tìm cực trị (đại số) của hs lớp 9A,9B trường THCS Hải Đông

3 Đối tượng nghiên cứu

Các hs khá, giỏi của lớp 9A,9B trường THCS Hải Đông

III/ Phương pháp nghiên cứu.

1 Các phương pháp chủ yếu:

- Phương pháp điều tra

- Phương pháp thực nghiệm

tư duy toán học mà còn giúp các em rèn luyện tư duy sáng tạo.

- Số lượng bài tập, cũng như dạng bài tập về vận dụng BĐT côsi tìm cực trị rất đa dạng và phong phú, muốn giải quyết tốt thì cần phải có

kĩ năng cơ bản về sử dụng BĐT côsi

- Do đặc điểm tâm lí của hs trong giai đoạn này chưa được ổn định, dễ phát triển theo những chiều hướng tích cực cũng như tiêu cực nên việcđịnh hướng phương pháp giải là rất quan trọng

2 Cơ sở thực tiễn

- Kĩ năng vận dụng BĐT côsi của đa số hs khá, giỏi còn yếu, đặc biệt trong việc áp dụng vào giải quyết các bài toán tìm cực trị đại số, hs rấtlúng túng, chậm chạp nhiều khi bế tắc không tìm ra hướng giải

Chương II:

Thực trạng việc rèn luyện kĩ năng vận dụng BĐT côsi

vào giải toán tìm cực trị của hs lớp 9 trường THCS Hải Đông

1 Về đội ngũ giáo viên

- Trường có 8 giáo viên có chuyên môn toán, 100% đạt trình độ chuẩn

- đa số các đồng chí giáo viên còn trẻ, có lòng nhiệt tình với công việc nhưng chưa có nhiều kinh nghiệm, nhất là trong lĩnh vực ôn thi HSG

2 Về học sinh

- Đa số các em là con em nông dân, điều kiện học tập còn nhiều thiếu thốn, chưa có thời gian cho việc học tập nâng cao, ôn luyện.

- Kĩ năng vận dụng kiến thức vào giải bài tập ở mức độ thấp, nhất là trong lĩnh vực nâng cao

- Chưa có thói quen suy nghĩ, tư duy, tìm tòi sáng tạo

Chương III

Một số biện pháp rèn luyện kĩ năng vận dụng BĐT côsi vào giải các bài

toán tìm cực trị(đại số)

I Kiến thức cần nhớ

A khái niệm GTLN, GTNN của một biểu thức

* Nếu biểu thức f(x) xác định trên tập hợp D và có:

( )

f x ³ m; tồn tại x0 Î D để f x( ) 0 =m thì m được gọi là GTNN của biểu thứcf(x)

Kí hiệu Min f(x) = m, đạt được khi x=x0

*Nếu biểu thức f(x) xác định trên tập hợp D và có:

2

a b

a b£æ çç + ÷ ö÷÷

çè ø

Dấu “=” xảy ra khi a = b

2) Cho ba số x,y,z không âm, ta luôn có 3

xyz£æ çç + + ÷ ö÷

÷

çè ø dấu “=” xảy ra khi x = y = z

3) Mở rộng cho n số không âm a a a1 , , , , 2 3 a n ta luôn có:

1 2 3 n 1 2 3

a + + +a a + ³a n a a a a dấu “=” xảy ra khi a1 =a2 = = a n

4) Bài toán mở đầu.

Cho hai số a b, ³ 0

a) Nếu a+b = k ( k là hằng số) Tìm GTLN của a.b

b) Nếu a.b = k ( k là hằng số) Tìm GTNN của a + b

ïî Vậy GTNN của a.b là 2 k , đạt được khi a= =b k

Nhận xét: Qua bài toán trên ta thấy

- Nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích đạt GTLN khi hai số bằng nhau

- Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng đạt GTNN khi hai số băng nhau

II Các dạng toán cơ bản:

(do x > 0) Vậy ymin= 4, đạt được khi x = 6

*Ví dụ 2: Cho x,y,z > 0 Tìm GTNN của biểu thức A = x y+ +y z z x

Giải: Do x,y,z > 0 nên x 0;y 0;z 0

y> z > x> áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có A = x y z 3 3 x y z 3

y+ + ³z x y z x = , dấu “=” xảy ra khi x y = =y z z x hay

x = y = z Vậy Min A = 3, đạt được khi x = y = z

Nhận xét: Trong hai ví dụ trên ta đã áp dụng trực tiếp BĐT côsi cho các

số có tích không đổi để tìm GTNN của một biểu thức, tuy nhiên trong nhiều trường hợp ta phải áp dụng nhiều lần BĐT côsi hoặc phải áp dụng

cả hai chiều của BĐT côsi để giải, ta xét các ví dụ sau

*Ví dụ 3: Cho a, b > 0 Tìm GTNN của biểu thức B = (a b)(1 1)

íï =

Min B = 4; đạt được khi a = b

*Ví dụ 4: Tìm GTNN của biểu thức A = xy z +yz x +xz y với x, y, z là các số dương và

x + y + z = 1

Giải: áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có

xy yz 2 xy yz 2y

z + x ³ z x = (1)Tương tự ta có: yz xz 2 yz xz 2z

x + y ³ x y = (2)

xz xy 2 xz xy 2x

y + z ³ y z = (3)Cộng vế với vế của (1),(2) và (3) ta được 2A³ 2(x+ + =y z) 2

Vậy Min A = 1, đạt dược khi

1

1 3

íï = = ïïïî

*Ví dụ 5: Cho x > 0; y > 0 thỏa mãn 1x+ =1y 12 Tìm GTNN của

A = x+ y

Giải: Do x > 0; y > 0 nên x; y xác định và 1 0;1 0

x> y> , áp dụng BĐT côsi đối với hai số dương 1 1;

áp dụng BĐT côsi đối với hai số dương x; y ta được

A = x+ y³ 2 x y = 2 4 = 4 Dấu “=” xảy ra khi

*Ví dụ 7: Tìm GTLN của biểu thức y = (x + 2)(3 – x) với - £ £ 2 x 3.

Giải: Do - £ £ 2 x 3 nên x+ ³ 2 0;3 - x³ 0 áp dụng BĐT côsi cho hai số không âm ta có: y = (x + 2)(3 – x)

x+ = - xÛ x= Vậy Max y = 254 ; đạt được khi x=12

*Ví dụ 8: Tìm GTLN của biểu thức D = (2x + 1)(2 – 3x) với -21£ £x 23

.Nhận xét Ta chưa thể áp dụng ngay BĐT côsi cho hai số 2x + 1 và 2 – 3x vì tổng của chúng chưa là hằng số, ta sẽ giải như sau

Mà 2 (5 - x x)( - 1) ³ 0, nên A2 ³ 4 Û A³ 2 dấu “=” xảy ra khi x = 5 hoặc

x = 1 Vậy Min A = 2, đạt được khi x = 5 hoặc x = 1

Mặt khác áp dụng BĐT côsi cho hai số ta có

A2 = 4 + 2 (5 - x x)( - 1) £ 4 + 5 – x + x – 1 = 8 suy ra A £ 2 2 Dấu “=” xảy ra khi 5 – x = x – 1 hay x = 3 Vậy Max A = 2 2, đạt dược khi x = 3

*Ví dụ 10: Cho x³ 0;y³ 0 và x+ £y 6 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức

x y

ì = ïï

Vậy Min A = -64, đạt được khi ì =ïïíï =ïîx y 42

III Một số phương pháp rèn luyện kĩ năng vận dụng BĐT côsi để giải toán tìm cực trị

1 Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số.

*Ví dụ 11: Cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức: y = 2

= Û = Û = Vậy Min y= 3, đạt được khi x =1

*Ví dụ 12: Cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức N = x3+x2000

Giải: áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có

= Û = Û = Vậy Min N = 300, đạt được khi x = 10

*Ví dụ 13: Cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức E = 3

2

3

x x

*Ví dụ 14: Cho a, b, x là những số dương Tìm GTNN của biểu thức

*Ví dụ 15: Cho các số dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 1 Tìm

Dấu “=” xảy ra khi

2 1

5 3

= - Û = Vậy Max y = 4, đạt được khi x = 2

*Ví dụ 18: Tìm GTLN của biểu thức Z = x3(2 – x)5 với x³ 0

3 Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực tri của bình phương biểu thức đó.

*Ví dụ 19: Tìm GTNN của biểu thức A = 3x- 5 + 7 3 - x , với 53£ £x 73

î î î Vậy Max B = 4, đạt được khi ì =ïïíï =ïîx y 87

*Ví dụ 21: Tìm GTNN của biểu thức A = xy z +yz x +xz y với x, y, z là các sốdương thỏa mãn x2 +y2 + =z2 1

Vậy Min A = 3, đạt được khi 3

- Vậy Min P = 7, đạt được khi x=12

Nhận xét Trong ví dụ trên ta đã bớt 1 và thêm 1 để xuất hiện hạng tử

Nhận xét Theo ví dụ trên ta cần làm xuất hiện các hạng tử có dạng 13-x x

và 4(1x- x) để khi nhân vào ta được tích là một hằng số Vậy cần phải thêm và bớt bao nhiêu?

- Vậy Min Q = 7 4 3 + , đạt được khi

2 ( 3 1)

x > y nên x – y > 0 áp dụng BĐT côsi ta có A³ 2 2, dấu “=” xảy ra khi

*Ví dụ 25: Cho ba số dương a, b, c tìm GTNN của biểu thức.B =

Vậy B³ 32, dấu “=” xảy ra khi a = b = c

Suy ra Min B = 32, đạt được khi a = b = c

5 Nhân, chia với cùng một số khác không.

*Ví dụ 26: Tìm GTLN của biểu thức M = 9

5

x x

a như thế nào?( phần này sẽ giải thích trong phần V “kĩ thuật chọn điểmrơi trong BĐT côsi”) Với bài này ta sẽ giải như sau.

3 3

a b c

ì + + = ïï

Nhận xét Ta vẫn cần làm “trội” một tổng vì vậy cần coi mỗi hạng tử như làmột tích

Dấu “=” xảy ra khi

2 2 2

íï

ïï - =ïî

Vậy Max y =3 6 ,

đạt được khi x = ± 5

6 Thêm hạng tử vào biểu thức đã cho.

*Ví dụ 29: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2

tương tự như vậy đối với các hạng tử thứ hai và thứ ba Dấu đẳng thức xảy

ra đồng thời ở cả (1),(2),(3) khi và chỉ khi x= = =y z 23

7 Đặt ẩn phụ để biến đổi biểu thức đã cho thành biểu thức có chứa các hạng tử có tích không đổi.

*Ví dụ 30: Cho ba số dương a, b, c tìm GTNN của biểu thức.

ï = íï ïï

-ï = ïï ïî

áp dụng BĐT côsi cho hai số không âm ta có.

ï > >

ïï ïïî

Vậy Min A = 8, khi a=b=2

IV Một số sai lầm thường gặp

kĩ thuật chọn “điểm rơi ” trong BĐT côsi

Bài 1: Cho x³ 3 Tìm GTNN của biểu thức S x 1

Û = = mâu thuẫn với x³ 3

*Phân tích tìm lời giải:

Xét bảng biến thiên các giá tri của x; 1/x và S để dự đoán Min S

1 5

1 6

1 7

1 8

1 9

1 10

1 11

3

3

1 4 4

1 5 5

1 6 6

1 7 7

1 8 8

1 9 9

1 10 10

1 11 11

*Nhận xét Khi x càng tăng thì S càng lớn, dự đoán khi x = 3 thì S đạt

GTNN Để tạo ấn tượng ta nói Min S = 103 , tại “điểm rơi” x = 3.

Do BĐT côsi xảy ra dấu “=” tại điều kiện các số tham gia phải bằng nhau, nên tại “điểm rơi” x = 3 ta không thể sử dụng BĐT côsi trực tiếp cho hai số

x và 1x vì 3 1

3

¹ Lúc này ta giả sử sử dụng BĐT côsi cho cặp số x;1

x a

æ ö÷

çè ø sao cho tại “điểm rơi” x = 3 thì a x =1x tức là ta có lược đồ “điểm rơi” sau đây

1

3 9

3

x

x x

Vậy Min S = 103 , đạt được khi x = 3

Bài 2: Cho x³ 2 Tìm GTNN của biểu thức 2

x

a

ìïï = ïïï

= Þ íïï Þ = Þ =

= ïïïî

*Nguyên nhân sai lầm Mặc dù đã biến đổi theo sơ đồ “điểm rơi” và đáp số Min A = 94 là đúng nhưng sai lầm ở chỗ đánh giá mẫu số “

Min A = 94, đạt được khi x = 2

Bài 3: Cho x³ 6 Tìm GTNN của biểu thức 2 4

x

a

ìïï = ïïï

= ïï ïî

*Sơ đồ “điểm rơi”

x

a

ìïï = ïïï

= Þ íïï Þ =

= ïïïî

xy

Bài 5: Tìm GTNN của biểu thức y= x2 + + +x 1 x2 - x+ 1

Bài 6: Cho x > 0; y > 0 thỏa mãn x + y = 1 Tìm GTNN của E a2 b2

= + (a, b là những số dương cho trước)

Bài 7: Cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức

6 6 6 3

3 3

Với x y z, , ³ 0 và x + y + z = 1

Bài 11: Tìm GTLN của biểu thức B x 1 y 2

-

-= + , với x³ 1;y³ 2.Bài 12: Cho x, y, z > 0 thỏa mãn điều kiện x + y + z = a (a là hằng số)

2 Bài học kinh nghiệm.

Qua việc hướng dẫn học sinh làm bài tập cho thấy phần kiến thức về đề tài là phần kiến thức mở do giáo viên đưa vào cuối các giờ luyện tập, hoặc giờ tự chọn, bồi dưỡng học sinh giỏi nên nội dung đối với học sinh còn phức tạp, khó hình dung vì vậy cần đưa kiến thức cho học sinh làm

từ dễ đến khó, kết hợp ôn tập và giao bài tập về nhà, kiển tra học sinh Sau khi hướng dẫn xong nội dung đề tài cần chỉ cho học sinh những kiến thức cần thiết, đồng thời rèn kĩ năng làm bài tập cho học sinh Cần đưa nội dung vào giờ dạy cho phù hợp, tránh dồn ép học sinh tiếp nhận một cách thụ động mà đạt kết quả không như mong muốn

3 Phạm vi áp dụng của đề tài

- Chuyên đề “Rèn luyện kĩ năng vận dụng BĐT côsi vào giải các bài toán tìm cực trị(đại số)”được áp dụng cho đối tượng học sinh khá, giỏilớp 8,9 là thích hợp nhất

4 Kết luận.

Các bài tập về tìm cực trị thường là tương đối khó với học sinh, nhưng khi hướng dẫn xong chuyên đề này, học sinh sẽ thấy rằng việc giải toán tìm cực trị có thể trở lên đơn giản hơn, đồng thời đứng trước bài toán khócho dù ở dạng nào học sinh cũng có hướng suy nghĩ và tập suy luận, các

Tôi xin chân thành cảm ơn./

Hải Đông ngày 03 tháng 04 năm 2009.

Người viết chuyên đề

Nguyễn Tiến Đào