Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMCD, BMEF.. a/ Chứng minh rằng AE vuông góc với BC.. b/ Gọi H là giao điểm của AE và BC.. Chứng minh rằng ba điểm D, H, F thẳng hàng.. c/ Chứng minh
Trang 1phòng GD-đt bố trạch Đề thi học sinh giỏi
Đề giới thiệu Môn toán lớp 9 - Năm học: 2009 - 2010
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngời ra đề: Mai Văn Phú
Đề ra:
Bài 1 ( 1,0 điểm): Cho bốn số nguyên dơng a, b, c và d thỏa mản a2 + b2 = c2 + d2
Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số
Bài 2 (1,0 điểm): Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì số:
A = n3 n2 72 36 n chia hết cho 420
Bài 3 (2,0 điểm): Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của a + b +
c + d biết rằng :
2
3 3 2 2 13
2 2
2 2
d a ad
c b bd ac
Bài 4 (2,0 điểm): Tìm tất cả các tam giác vuông có độ dài các cạnh là các số nguyên dơng và hai lần số đo diện tích bằng ba lần số đo chu vi
Bài 5 (4 điểm): Cho M là điểm bất kỳ trên đoạn thẳng AB Vẽ
về một phía của AB các hình vuông AMCD, BMEF
a/ Chứng minh rằng AE vuông góc với BC
b/ Gọi H là giao điểm của AE và BC Chứng minh rằng ba
điểm D, H, F thẳng hàng
c/ Chứng minh rằng đờng thẳng DF luôn luôn đi qua một
điểm cố định khi M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố
định
*Các tài liệu tham khảo:
Tuyển tập toán chọn lọc THCS
Tuyển tập đề thi toán THCS
Chuyên đề bồi dỡng HSG Toán
Các bài toán hay đại số 8, hình học 8
Tuyển các bộ đề chuyên, chọn, HSG
số báo danh
Trang 2phòng GD-đt bố trạch Hớng dẫn chấm thi hsg
Đề giới thiệu Môn toán lớp 9 - Năm học: 2009 - 2010
Bài/
Tổng
điểm Tóm tắt nội dung ĐiểmChi
tiết
Bài1
(1
điểm)
:
Với mọi số nguyên n thì n2 - n = n(n - 1) là số chẵn
Do đó a2 + b2 + c2 + d2 - (a + b + c + d) là số chẵn
Vì a2 + b2 = c2 + d2 suy ra a2 + b2 + c2 + d2 = 2 (a2 +
b2) là số chẵn
Vậy a + b + c + d là số chẵn
Vì a, b, c, d Z+ nên a + b + c + d là hợp số
0,25 0,25
0,25 0,25
Bài 2
(1
điểm)
:
Biến đổi A về dạng: A= (n - 3).(n - 2).(n - 1).n.(n + 1)
(n + 2).(n + 3)
Ta biết rằng tích của n số nguyên liên tiếp luôn tìm
đ-ợc một số chia hết cho n Vì thế A luôn chia hết cho 5,
cho 6, cho 7
Các số này đôi một nguyên tố cùng nhau nên A chia
hết cho (5.6.7) = 420
0,50 0,25 0,25
Bài 3
(2
điểm)
:
2 2
3 3 2 2 13
2 2
2 2
d a ad
c b bd
4
3 ) 2 (
2 ad a2 d2 ad 2 d2 >
0 với mọi a và d
2
3 3 2 2 13
2 2
2 2
d a ad
c b bd
abcd2 a b2 b c2 c d2 9
Vì a b2 0; b c2 0 ; c d2 0
Do đó: abcd2 9 nên abcd 3
Vậy max(a + b + c + d) = 3 khi a = b = c = d =
4 3
0,25
0,75 0,25 0,25 0,25
Trang 3min(a + b + c + d) = 3 khi a = b = c = d =
-4
3
0,25
Bài 4
(2điể
m)
Gọi x, y, z lần lợt là số đo các cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác
Theo bài ra ta có hệ phơng trình
2 z y x 3 xy
1
2 2
2 y z x
Rút z từ (2) ta có: 3z = xy - 3x - 3y, Khi đó: 9z2 = (xy - 3x - 3y)2
và từ (1) ta có: 9z2 = 9x2 + 9y2 Suy ra: (xy - 3x - 3y)2 = 9x2 + 9y2 Biến đổi phơng trình này, cuối cùng đợc:
(x - 6)(y - 6) = 18
Do x, y nguyên dơng nên
(x - 6) -5; (y - 6) -5 Xét các trờng hợp xảy ra ta có các cạnh của tam giác vuông thoả mãn đề bài là (7; 24; 25), (18; 15; 17) và (9; 12; 15)
0,25 0,75
0,5
0,5
Trang 4Bài 5
(4
điểm)
:
D C
H
F
OO
A I’ M
B
a/( 1điểm) Xét tam giác CAB có: CM AB,
BE AC (vì BE MF, MF//AC)
suy ra AE BC
b/(1điểm) Gọi O là giao điểm của AC và DM VìAHC
= 900(Câua), nên OH=
2
AC
2
DM
(1)
Chứng minh tơng tự góc MHF = 900
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: H, D, F thẳng hàng
c/ (1,5 điểm) Gọi I là giao điểm của DF và AC Tam
giác DMF có DO= MO,
OI// MF nên I là trung điểm của DF
Kẻ I I’ AB thì I’ là trung điểm của AB và
I I’ =
2 2
2
AB MB AM BF
AD
Do đó I là điểm cố định: I nằm trên đờng trung trực
của AB và cách AB một khoảng bằng .
2
AB
Vẻ hình,
đúng rỏ: 0,5
0,25 0,5 0,25
0,25 0,25 0,25 0,25 0,5
0,5 0,5
L
điểm tối đa.
bài hình.
I
O
E O’