Qua M vẽ các đường thẳng song song BC cắt AC lần lượt tại E và N.. Chứng minh rằng : tổng DE + MN không đổi... Bài 5: 3 điểm Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng đường chéo AC, trên tia đối
Trang 1PHÒNG GD – ĐT TP THỦ DẦU MỘT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS
GIẢI THƯỞNG LƯƠNG THẾ VINH
NĂM HỌC: 2012-2013 MÔN TOÁN: LỚP 8
Thời gian làm bài : 120 phút (Không kể thời gian phát đề)
Ngày thi : 30/3/2013
Bài 1: (3d)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) – 24
b) Cho a,b,c thoả mãn: 2 2 20
2009
a b c
+ + =
Tính A = a4 + b4 + c4
Bài 2: (3đ)
a) Cho x,y,z thoả mãn: x + y + z = 3 Tìm giá trị lớn nhất của B = xy + yz + xz b) Cho Phương trình: 2 1 3
x m x
− + − =
− + Tìm m để phương trình có nghiệm dương.
c) Cho a,b,c có tổng bằng 1 (a,b,c > 0) Chứng minh rằng : 1 1 1 9
a b c+ + ≥
Bài 3(2đ)
Cho tam giác ABC, phân giác trong đỉnh A cắt BC tại D, trên các đoạn DB, DC lần lượt lấy điểm E và F sao cho EAD FAD· =· Chứng minh rằng . 22
BE BF AB
CE CF = AC
Bài 4(2đ)
Cho tam giác ABC, các điểm D và M di động trên AB sao cho AD = BM Qua M vẽ các đường thẳng song song BC cắt AC lần lượt tại E và N Chứng minh rằng : tổng
DE + MN không đổi.
Trang 2
-Hết -Giải Bài 1: (3d)
a) Cho a,b,c thoả mãn: 2 2 20
2009
a b c
+ + =
Tính A = a4 + b4 + c4
Cách 1:
Ta có: a+b+c=0
⇒ a+b = -c
⇒ (a+b)2 – 2ab = c2
⇒ (a+b)2 – c2 = 2ab
⇒ (a+b+c)(a+b-c) = 2ab
⇒ 0 = 2ab
⇒ a=0 hoặc b=0
• Nếu a=0 ⇒ b = -c và b2 + c2 = 2009
⇒ b2 + b2 = 2009
⇒ 2b2 = 2009
2 và c = - 2009
2
Do đó: A = a4 + b4 + c4 =
• Nếu b=0 ⇒ a = -c và a2 + c2 = 2009
⇒ a2 + a2 = 2009
⇒ 2a2 = 2009
⇒ a= 2009
2 và c = - 2009
2
Do đó: A = a4 + b4 + c4 =
Từ (1) và (2) ⇒ A = a4 + b4 + c4 2009 2 1
2
=
Trang 3Cách 2:
Ta có: a2 + b2 + c2 = 2009
⇔ (a2 + b2 + c2 )2 = 20092
⇔ a4 +b4 +c4 + 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 = 20092
⇔ a4 +b4 +c4 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2 ) = 20092
⇔ a4 +b4 +c4 = 20092 - 2(a2b2 + b2c2 + c2a2 ) (1)
Ta có: a2 + b2 + c2 = 2009
⇔ (a+b+c)2 - 2ab - 2ac - 2bc = 2009
⇔ ab+ac+bc 2009
2
= − ( do a+b+c = 0)
⇔ (ab+ac+bc )2 20092
4
=
⇔ a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2a2bc + 2b2ac + 2c2ab 20092
4
=
⇔ a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc(a+b+c) 20092
4
=
⇔ a2b2 + b2c2 + c2a2 20092
4
= ( do a+b+c = 0)
(1) ⇒ a4 +b4 +c4 = 20092 -2 20092
4
⇔ a4 +b4 +c4 20092
2
=
Bài 2: (3đ)
a) Cho x,y,z thoả mãn: x + y + z = 3 Tìm giá trị lớn nhất của B = xy + yz + xz
Cách 1:
Ta có: (x-y)2 ≥ 0 với mọi x,y ∈ R
Tương tự : (y-z)2 ≥ 0 , (z-x)2 ≥ 0 với mọi x,y,z ∈ R
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức ta được:
x2 – 2xy + y2 – 2yz + z2 + z2 – 2zx + x2 ≥ 0
⇔ 2(x2 + y2 + z2 ) - 2(xy+yz+xy) ≥ 0
⇔ (x2 + y2 + z2 ) - (xy+yz+xy) ≥ 0
⇔ (xy+yz+xy) ≤ (x2 + y2 + z2 )
⇔ 3(xy+yz+xy) ≤ (x2 + y2 + z2 ) + 2(xy+yz+xy)
⇔ 3(xy+yz+xy) ≤ (x + y + z)2 = 9
⇔ (xy+yz+xy) ≤ 3
Vậy B = 3 thì đạt giá trị lớn nhất
Dấu “=” xảy ra khi x=y=x =1
Cách 2:
Ta có: B = xy + yz + xz và x + y + z = 3
B = xy + z(x+y) = xy + [3-(x+y)](x+y)
=xy + 3(x+y) – (x+y)2
Trang 4= -x2 – y2 – xy + 3x + 3y
1 3 3
Dấu “=” xảy ra khi
1 0 3
2 0
y y
x y z
− =
+ + =
Vậy giá trị lớn nhất của B là 3 khi x=y=z=1
b) Cho Phương trình: 2 1 3
x m x
− + − =
− + Tìm m để phương trình có nghiệm dương.
Đk: x ≠ ± 2
Ta được: (2x-m)(x+2) + (x-1)(x-2) = 3(x-2)(x+2)
⇔ 2x2 + 4x – mx – 2m + x2 – 3x + 2 = 3x2 – 12
⇔ (1-m)x = 2m – 14
1
m
x
m
−
=
−
Đề phương trình có nghiệm dương x > 0 khi
( )
loai
m
− > >
− > <
− < <
− < >
(1)
+Với Đk x ≠ 2 ⇔ ( − )
−
2 7 1
m
m ≠ 2 ⇔ m ≠ 4 (2)
Từ (1), (2)
Vậy 1< m < 7 và m ≠ 4 thì phương trình trên có nghiệm dương
Trang 5PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
HUYỆN VŨ THƯ ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN – LỚP 8
NĂM HỌC 2008 – 2009
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (4 điểm)
1, Cho ba số a, b, c thoả mãn + + =
+ + =
2 2 2
a b c 0
a b c 2009, tính A a= +4 b4+c 4
2, Cho ba số x, y, z thoả mãn x y z 3+ + = Tìm giá trị lớn nhất của B xy yz zx= + + .
Bài 2: (2 điểm)
Cho đa thức f x( ) =x2+px qvới + p Z,q Z Chứng minh rằng tồn tại số nguyên∈ ∈
k để f k( ) (=f 2008 f 2009 ) ( )
Bài 3: (4 điểm)
1, Tìm các số nguyên dương x, y thoả mãn 3xy x 15y 44 0+ + − = .
2, Cho số tự nhiên a=( )29 2009, b là tổng các chữ số của a, c là tổng các chữ số của b,
d là tổng các chữ số của c Tính d
Bài 4: (3 điểm)
Cho phương trình 2x m x 1 3
− + − =
− + , tìm m để phương trình có nghiệm dương.
Bài 5: (3 điểm)
Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng đường chéo AC, trên tia đối của tia AD lấy điểm
E, đường thẳng EB cắt đường thẳng DC tại F, CE cắt à tại O Chứng minh ∆AEC đồng dạng∆CAF, tính ·EOF
Bài 6: (3 điểm)
Cho tam giác ABC, phân giác trong đỉnh A cắt BC tại D, trên các đoạn thẳng DB, DC
lần lượt lấy các điểm E và F sao cho ·EAD =·FAD Chứng minh rằng: BE BF = AB22
Bài 7: (2 điểm)
Trên bảng có các số tự nhiên từ 1 đến 2008, người ta làm như sau lấy ra hai số bất kỳ
và thay bằng hiệu của chúng, cứ làm như vậy đến khi còn một số trên bảng thì dừng lại
Có thể làm để trên bảng chỉ còn lại số 1 được không? Giải thích
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 6PHÒNG GD-ĐT VŨ THƯ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 8
1.1
Cho ba số a, b, c thoả mãn + + =
+ + =
2 2 2
a b c 0
a b c 2009, tính A a= +4 b4+c 4 2,00
a + + = + +b c a b c −2 ab bc ca+ + = −2 ab bc ca+ +
+ +
2
0,50
0,50
1,00
1.2 Cho ba số x, y, z thoả mãn x y z 3+ + = Tìm giá trị lớn nhất của B xy yz zx= + + . 2,00
= + + = + − + +
= + + − + = − − − + +
= − + ÷ + = − + ÷ + − + ≤
2
Dấu = xảy ra khi
y 1 0
y 3
2
x y z 0
− =
−
+ = ⇔ = = =
+ + =
Vậy giá trị lớn nhất của B là 3 khi x = y = z = 1
1,25
0,50
0,25
2 Cho đa thức f x( ) =x2+px qvới + p Z,q Z Chứng minh rằng tồn tại số nguyên∈ ∈
k để f k( ) (=f 2008 f 2009 ) ( )
2,00
( )
2
2 2
2
+ = + + + +
= + + + + +
= + + + + +
= + + + + = +
Với x = 2008 chọn k f 2008 2008= ( ) + ∈¢
Suy ra f k( ) (=f 2008 f 2009) ( )
1,25 0,50 0,25
3.1 Tìm các số nguyên dương x, y thoả mãn 3xy x 15y 44 0+ + − = 2,00
♦3xy x 15y 44 0+ + − = ⇔(x 5 3y 1+ ) ( + =) 49
♦ x, y nghuyêndương do vậy x + 5, 3y + 1 nguyên dương và lớn hơn 1
♦Thoả mãn yêu cầu bài toán khi x + 5, 3y + 1 là ước lớn hơn 1 của 49 nên có:
0,75 0,50
Trang 7x 5 7 x 2
+ = =
Vậy phương trình có nghiệm nguyên là x = y = 2
0,75
3.2 Cho số tự nhiên a=( )29 2009, b là tổng các chữ số của a, c là tổng các chữ số của b, d
là tổng các chữ số của c Tính d
2,00
( )
2009 3.2009 6027
⇒ ≤ + = ⇒ ≤ + =
3
2 ≡ −1mod9⇒ ≡ −a 1mod9 mà a b c dmod9≡ ≡ ≡ ⇒ ≡ −d 1mod9 ( )2
Từ (1) và (2) suy ra d = 8
1,00 0,75 0,25
4 Cho phương trình 2x m x 1
3
− + − =
− + , tìm m để phương trình có nghiệm dương.
3,00
Điều kiện: x 2;x≠ ≠ −2
− + − = ⇔ ⇔ − = −
m = 1phương trình có dạng 0 = -12 vô nghiệm
m 1≠ phương trình trở thành x 2m 14
1 m
−
=
−
Phương trình có nghiệm dương
1 m
m 4
2m 14
0
1 m
−
−
⇔ ≠ − ⇔
− < <
−
>
−
Vậy thoả mãn yêu cầu bài toán khi m 4
1 m 7
≠
< <
0,25 0,75 0,25 0,50
1,00
0,25
5 Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng đường chéo AC, trên tia đối của tia AD lấy điểm
E, đường thẳng EB cắt đường thẳng DC tại F Chứng minh ∆AECđồng dạng∆CAF
, tính ·EOF
3,00
Trang 8D
B A
C E
F
♦∆AEB đồng dạng CBF∆ (g-g)
♦∆AEC đồng dạng CAF∆ (c-g-c)
♦∆AEC đồng dạng CAF∆
⇒AEC CAFã =ã mà
ã
EOF AEC EAO ACF EAO
1,00
1,00
1,00
6 Cho tam giỏc ABC, phõn giỏc trong đỉnh A cắt BC tại D, trờn cỏc đoạn thẳng DB,
DC lần lượt lấy cỏc điểm E và F sao cho ãEAD = ãFAD Chứng minh rằng:
= 22
3,00
A
K H
♦Kẻ EH⊥AB tại H, FK⊥AC tại K
BAE CAF; BAF CAE
HAE
ABE ACF
∆
∆
♦Tương tự BF AF.AB
CE = AE.AC
♦ BE BF AB22
1,00
1,25 0,50
0,25
7 Trờn bảng cú cỏc số tự nhiờn từ 1 đến 2008, người ta làm như sau lấy ra hai số bất
kỳ và thay bằng hiệu của chỳng, cứ làm như vậy đến khi cũn một số trờn bảng thỡ
dừng lại Cú thể làm để trờn bảng chỉ cũn lại số 1 được khụng? Giải thớch
2,00
Khi thay hai số a, b bởi hiệu hiệu hai số thỡ tớnh chất chẵn lẻ của tổng cỏc số cú trờn
bảng khụng đổi
2
+
do vậy trờn bảng khụng thể chỉ cũn lại số 1
1,00
1,00
Phòng Giáo dục- Đào tạo đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
Trang 9TRựC NINH
môn: Toán 8
(Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao
đề)
Đề thi này
gồm 1 trang
Bài 1 (4 điểm): Cho biểu thức
= 2− 2 2 − 2 + 2 +2 + 2
1 1
: y
4xy A
x xy y
x y x
a) Tỡm điều kiện của x, y để giỏ trị của A được xỏc định
b) Rỳt gọn A
c) Nếu x; y là cỏc số thực làm cho A xỏc định và thoả món: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, hóy tỡm tất cả cỏc giỏ trị nguyờn dương của A?
Bài 2 (4 điểm):
a) Giải phương trỡnh :
82
44 93
33 104
22 115
11+ + = + + +
x
b) Tỡm cỏc số x, y, z biết :
x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx
và x2009 +y2009 +z2009 =32010
Bài 3 (3 điểm): Chứng minh rằng với mọi n N∈ thỡ n5 và n luụn cú chữ số tận cựng giống nhau
Bài 4 (7 điểm): Cho tam giỏc ABC vuụng tại A Lấy một điểm M bất kỳ trờn cạnh AC Từ C vẽ một
đường thẳng vuụng gúc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E
a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và ãEAD ECB=ã
b) Cho ãBMC=1200 và S AED =36cm2 Tớnh SEBC?
c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trờn cạnh AC thỡ tổng BM.BD + CM.CA cú giỏ trị khụng đổi
d) Kẻ DH ⊥BC (H∈BC) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng BH, DH Chứng
minh CQ⊥PD
Bài 5 (2 điểm):
a) Chứng minh bất đẳng thức sau: + ≥2
x
y y
x
(với x và y cựng dấu)
b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P =
2 2
+ − + ữ+
(với x 0, y 0≠ ≠ )
đề chính thức
Trang 10Phòng Giáo dục- Đào tạo
TRựC NINH
*****
đáp án và hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi năm học
2008 - 2009
môn: Toán 8
Bài 1 : (4 điểm)
a) Điều kiện: x ≠ ±y; y≠0 (1 điểm)
c) Cần chỉ ra giỏ trị lớn nhất của A, từ đú tỡm được tất cả cỏc giỏ trị nguyờn dương của A
+ Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1 ⇒2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = 1
⇒ 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + 1 = 2 ⇒A + (x – y + 1)2 = 2
⇒ A = 2 – (x – y + 1)2 ≤ 2 (do (x – y + 1) ≥ 0 (với mọi x ; y) ⇒A ≤ 2 (0,5đ)
+ A = 2 khi ( )
x y 1 0
− + =
≠ ± ≠
⇔
1 x 2 3 y 2
=
=
+ A = 1 khi ( )
2
2x x y 1
≠ ± ≠
Từ đú, chỉ cần chỉ ra được một cặp giỏ trị của x và y, chẳng
hạn:
2 1 x
2
2 3 y
2
=
+
=
+ Vậy A chỉ cú thể cú 2 giỏ trị nguyờn dương là: A = 1; A = 2 (0,5 điểm)
Bài 2: (4 điểm)
a) x 11 x 22 x 33 x 44
+ + + = + + +
x 126 x 126 x 126 x 126
⇔
x 126 0
⇔ + =
b) x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx
⇔2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = 0
⇔(x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0 (0,75 điểm)
Trang 11x y 0
y z 0
z x 0
− =
⇔ − =
− =
x y z
⇔ = =
Thay vào điều kiện (2) ta cú 3.z2009 = 32010
⇔ z2009 = 32009
⇔ z = 3
Bài 3 (3 điểm)
Cần chứng minh: n5 – n M 10
- Chứng minh : n5 - n M 2
n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) M 2 (vỡ n(n – 1) là tớch của hai số nguyờn liờn
- Chứng minh: n5 – n M 5
n5 - n = = n( n - 1 )( n + 1)( n2 – 4 + 5)
= n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 )
lý luận dẫn đến tổng trờn chia hết cho 5 (1,25 điểm)
- Vỡ ( 2 ; 5 ) = 1 nờn n5 – n M 2.5 tức là n5 – n M 10
Suy ra n5 và n cú chữ số tận cũng giống nhau (0,75 điểm)
Bài 4: 6 điểm
I P
Q
H
E
D A
M
Câu a: 2 điểm
* Chứng minh EA.EB = ED.EC (1 điểm)
- Chứng minh ∆EBD đồng dạng với ∆ECA (gg) 0,5 điểm
- Từ đó suy ra EB ED EA EB ED EC
* Chứng minh ã EAD ECB = ã (1 điểm)
- Chứng minh ∆EAD đồng dạng với ∆ECB (cgc) 0,75 điểm
- Suy ra EAD ECB ã = ã 0,25 điểm
Trang 12Câu b: 1,5 điểm
- Từ ãBMC = 120o ⇒ ãAMB = 60o ⇒ ãABM = 30o 0,5 điểm
- Xét ∆EDB vuông tại D có àB= 30o
⇒ ED = 1
2 EB ⇒
1 2
ED
- Lý luận cho
2
EAD ECB
= ữ từ đó ⇒ SECB = 144 cm20,5 điểm
Câu c: 1,5 điểm
- Chứng minh ∆BMI đồng dạng với ∆BCD (gg) 0,5 điểm
- Chứng minh CM.CA = CI.BC 0,5 điểm
- Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị không đổi 0,5 điểm
Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2
Câu d: 2 điểm
- Chứng minh ∆BHD đồng dạng với ∆DHC (gg) 0,5 điểm
2 2
- Chứng minh ∆DPB đồng dạng với ∆CQD (cgc)
BDP DCQ
ma BDP PDC
Bài 5: (2 điểm)
a) vỡ x, y cựng dấu nờn xy > 0, do đú x y + ≥ 2
y x
(*) ⇔ x2+ y2≥ 2xy
2
⇔ − ≥ (**) Bất đẳng thức (**) luụn đỳng, suy ra bđt (*) đỳng (đpcm) (0,75đ)
b) Đặt x y t
y x+ =
2
Biểu thức đó cho trở thành P = t2 – 3t + 3
P = t2 – 2t – t + 2 + 1 = t(t – 2) – (t – 2) + 1 = (t – 2)(t – 1) + 1 (0,25đ)
- Nếu x; y cựng dấu, theo c/m cõu a) suy ra t ≥ 2 ⇒ t – 2 ≥ 0 ; t – 1 > 0 ⇒ −(t 2 t 1 0) ( − ≥)
P 1
⇒ ≥ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 2 ⇔x = y (1) (0,25đ)
- Nếu x; y trỏi dấu thỡ x 0
y< và y 0
x< ⇒t < 0 ⇒ t – 1 < 0 và t – 2 < 0
( t 2 t 1 ) ( )
⇒ − − > 0 ⇒ P > 1 (2) (0,25đ)
- Từ (1) và (2) suy ra: Với mọi x ≠ 0 ; y ≠ 0 thỡ luụn cú P ≥ 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x
= y Vậy giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P là Pm=1 khi x=y