Vẽ tia Ax vuông góc với AD cắt BC tại E ; vẽ tia Ay vuông góc với AB cắt CD tại F.. 1 Trong trờng hợp ãBAD là góc tù.
Trang 1kì thi vao lớp 10chuyên năm học 2009 – 2010 Môn thi : toán
Thời gian làm bài : 150 phút
Câu I: ( 2.5 điểm )
Cho phơng trình : x2 - 2x + 3 - m = 0 , gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm giá trị của m để : 3 2
2x + (m+ 1)x = 16 Câu II: (2.5 điểm )
1) Cho phân số : A = 2 4
5
n n
+ +
Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn 1 ≤ ≤n 2009
sao cho A là phân số cha tối giản
2) Cho a≥ 2;b≥ 3;c≥ 4.Tìm giá trị nhỏ nhất của :
P a2 1 b2 1 c2 1
= + + Câu III: (2.0 điểm)
Giải phơng trình :
3 3x2 − +x 2007 − 3 3x2 − 7x+ 2008 − 3 6x− 2009 = 3 2008
Câu IV: ( 3 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O Vẽ tia Ax vuông góc với AD cắt
BC tại E ; vẽ tia Ay vuông góc với AB cắt CD tại F
1) Trong trờng hợp ãBAD là góc tù Chứng minh : EF đi qua O
2) Chứng minh : . .
+
=
+
Trang 2sở giáo dục và đào tạo
Hải Dơng kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2008 - 2009
Môn thi : toán Hớng dẫn chấm H
ớng dẫn chấm:Đề số 2
câu1
2.5 điểm Điều kiện để phơng trình : x2 - 2x + 3 - m = 0 có nghiệm :
, 0 2 m 0 m 2
∆ ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≥
Theo hệ thức Viet : 1 2
1 2
2 3
Ta có :
2
1 1 2 1 1 2 1
2
Và 2
2 ( 1 2 ) 2 1 2 2 2 2 (3 )
x = x +x x −x x =Sx − =P x − −m
2x + (m+ 1)x = 16
2
1 2 2
=
⇔ = −
Vậy m = 3 thỏa mãn điều kiện đầu bài
0.25
0.5 0.25
0.25 0.25
0.25 0.25 0.25 0.25
CâuII
2.5 điểm
1) Gọi d là ớc chung lớn nhất của n2 + 4 và n+5
Vì A là phân số cha tối giản nên d > 1
Ta có (n + 5)2 - ( n2 + 4) chia hết cho d
Hay 10(n + 5) - 29 chia hết cho d mà có n + 5 chia hết cho d
Nên 29 chia hết cho d mà 29 là số nguyên tố và d > 1⇒ d = 29
Tồn tại số m nguyên dơng sao cho : n + 5 = 29m Khi đó:
1 ≤ ≤n 2009 ⇒ 29m− ≤ 5 2009 và m nguyên dơng nên các giá trị của
m là 1;2;3 …69
Vậy có tất cả 69 số tự nhiên n thỏa mãn
0.25 0.25 0.25
0.25 2)* Ta chứng minh BĐT sau : Với x , y là các số không âm ta có :
2
x y+ ≥ xy ,(1)Đẳng thức xảy ra khi x = y
Thật vậy : (1)
Trang 3Đẳng thức xảy ra khi x = y
Có P = a 1 b 1 c 1
+ + + + +
Ta có :
a
Hay : 1 1 3 5
a a
+ ≥ + = ,(2) Đẳng thức xảy ra khi a = 2 Tơng tự : 1 8 1 2 1 8.3 2 8 10
b
Đẳng thức xảy ra khi b = 3
Và 1 1 15 2 1 15.4 2 15 17
c
Đẳng thức xảy ra khi c = 4
Do đó : P 5 10 17 30 40 51 121
Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 121
12 khi
2 3 4
a b c
=
=
=
0.25 0.25
0.25
0.25 0.25
0.25
Câu III
2 3 2 3 3
3 3 3
2008
= − −
Thay vào phơng trình và lập phơng hai vế của phơng trình ta đợc :
3 3
(a b c+ + ) = 2008 = 2008
Nên phơng trình tơng đơng với :
3 3 3 3
3 3 3 3
a b b c c a
Xét 3 trờng hợp :
1)
0
1
6
+ = ⇔ = −
2)
0.25 0.25
0.25 0.25
0.25
Trang 42 2
0
6
6
x
x
+ = ⇔ = −
=
= −
3)
2
2 2
0
+ = ⇔ = −
Vậy phơng trình đã cho có tập nghiệm là: 1 1; 13 1; 13
0.25
0.25
0.25 CâuIV
3 điểm 1)
y
x
t
P E
F
O
A
D
Nối EF , gọi P là điểm đối xứng với A qua EF
Trờng hợp O nằm ngoài ∆AEP,ta có : EAFã =EPFã ,(1)
Gọi tia At là tia đối của tia AB , ta có EAFã =tADã (cùng phụ với
ãDAF )
Mà BCD tADã = ã ( Cùng bù với ãBAD do tứ giác ABCD nội tiếp )
BCD EAF
Từ (1) và (2) suy ra :EPFã =BCD ECFã = ã
Nên tứ giác EPCF nội tiếp ⇒DCP FEPã + ã = 180 0
Mà có FEP FEA PADã = ã = ã ( cùng phụ với ãEAP)
Nên DCP PADã + ã = 180 0 ⇒Tứ giác ADCP nội tiếp
Hay P thuộc đờng tròn tâm O Mà EF là trung trực của AP nên EF
phải qua tâm O của đờng tròn
Trờng hợp O nằm trong ∆AEP chứng minh tơng tự
0.25 0.25
0.25 0.25 0.25 0.25
Trang 52)Trớc hết ta chứng minh Bài toán sau :
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng D
H O A
tròn (O;R) với AB = c; AC = b ;BC = a
Chứng minh : Diện tích tam giác ABC đợc tính theo công thức :
4
ABC
abc
S
R
= (*)
Thật vậy : Kẻ đờng cao AH, đờng kính AD
Ta có :∆ABH : ∆ADC g g( − )
S R
Hay
4
ABC
abc
S
R
=
Kẻ đờng chéo AC và BD của tứ giác ABCD ta có
ABCD ABC ADC
+
+
Gọi R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD ,áp dụng
công thức trên ta có :
AB AD BD CB CD BD
AB AD BD CB CD BD
+ +
+
0.25 0.5
0.5 0.25