Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1.. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1, biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và
Trang 1GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI A
KỲ THI TUYỂN SINH ĐH – CĐ NĂM 2009
I Phần chung cho tất cả thí sinh
Câu I: (2,0đ)
Cho hàm số:
x 2
2x 3
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục
hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc
toạ độ O
Bài giải
3 x 2 x 2
3
1 TXÐ: \
2
S bi n thiên
Tìm ti m c n ng: lim th hàm s (1) có ti m c n ng x
Tìm ti m c n ngang: lim th hàm s (1) có ti m c n ngang y
1
2x 3
ù Õ
i x hàm s luôn ngh ch bi n trên ; và ; không có c c tr
Bảng biến thiên
Đồ thị:
bảng biến thiên phụ
Vẽ đồ thị:
Trang 2-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4 -2
2 4
x y
Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm của 2 tiệm cận là điểm I 3 1,
2 2
làm tâm đối xứng
2 G i A a;0 Ox; B 0;b Oy theo gi thi t ta có: |a| |b|
nh ng vì hàm s lu n ngh ch bi n nên ti p tuy n ch có th có d ng
y kx m v i k < 0 nên a b 0
x y
Ph ng trình ng th ng AB: 1
a b
x y
1 y x a ti p xúc v
a a
í
2 2
x 2
x a 2x 3
i (1)
1
1 (2x 3)
x 1 a 0 (lo i) 1
V y ph ng trình ti p tuy n c a (1) là y x 2
¹
õ ¬
Câu II: (2,0 đ)
1 Giải phương trình:
1 2sinx cosx
3
1 2sinx 1 sinx
Trang 32 Giải phương trình: 2 3x 2 3 6 5x 8 0 x3
Bài giải
2 2
6 1
sinx 1
2
1 2sinx cosx
3
1 2sinx 1 sinx
cos x 2sin x cos x 3 1 sinx 2sinx 2sin x
cosx 2sinxcosx 3 2sin x sinx +1
cos x 3 sin x 3 cos2x s
1 §iÒ Ö
in2x
cos x sin x cos2x sin2x
k2
2
Trang 4
3
3 3
2
3
2
3 2
2 2
2) 2 3x 2 3 6 5x 8 0
Ð t 3x 2 u 3x 2 u
6 5x v 0 6 5x v
3
3 5u 3v 8
2 3
Gi i ph ng trình: 5 4 v 3v 8
2 135v 1104v 2880v 2496 0
v 4 135v 564v 624 0
v 4
Vì 135v
Æ
¶ ¬
564v 624 0 VN
6 5x 16 x 2
Câu III: (1,0 đ)
Trang 5
/2
0
1
/2
2 2 0
/2
0
Tính tích phân I (cos x 1)cos x dx
Gi i
I cos x dx cos x dx I I
Tính I cos x dx cos x.cos x dx
1 sin x d(sin x)
sin x 2sin x 1 d(sin x)
/ 2 sin x 2sin x
sin x
1
¶
2 2
1 Tính I cos x dx 1 cos2x dx
2 / 2 1
sin2x
8
Ta c : I I I
15 4
® î
Câu IV: (1,0điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D ; AB = AD
= 2a, CD = a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 Gọi I là trung điểm của cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Bài giải
Hình thang ABCD
Trang 7
0
Hình thang ABCD
A D 90
A B l tam gi c vu ng B A AB a 4a 5a
vu ng DC : C a a 2a
T C k CH AB CHB l tam gi c vu ng
CH 2a, CD a HB a
BIC l tam gi c c n BC B 5a
K
«
Î
0 0
K CB : T nh K
a 2
G i J l trung m C J
2
a 9a
3a
2
BJ C
Ta có BJ C K.BC K
BC 3a
a 2
3a 2
K
S C , S C ABCD S ABCD
IK BC SK BC SKI 60
3a
S K.tan60 3
5
AB CD AD 2a a 2a
Ý
2
Câu V: (1,0 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta
có :
(x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z) 5(y + z)3
Bài giải
Trang 8
2
2
2
2
x xt
t t y z, gi thi t suy ra yz
3
3
4
2x t 2t 2x t
B T ph i ch ng minh
2x y z 3 x y x z 2x y z 3 x y x z y z 5 y z 2x y z 3 x y x z 2x 5 x z
2x y z 6x x x y z yz 5
3
2
Vì t 0
y z
x xt
3 2t 2x 3xt 2t 0
2x 3xt 2t 0
2x 3xt 2t 0 pcm
D u " " x y ra x y z 0
®
Phần riêng (3,0)
A Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2.0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2)
là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng
AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng: : x + y – 5 = 0 Viết phương trình đường thẳng AB
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z – 4 = 0
và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = 0 Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó
Bài giải
Trang 9' '
'
I
M
I
' '
Ph ờ
I là giao c a AC và BD nờn M ỡ M CD
M t khỏc: ME IE nờn:
EM IE 0 (11 u )(x 1) (1 y )(y
ầnưri ngưcâuư6aư(1)
ủ đốiưxứngưvớiưMưquaIth
ặ
E
E
'
5) 0
x 12x 11 y 4y 5 0
x y 12x 4y 6 0 (1)
Mà E :x + y -5 =0
x y 5 0 (2)
x y 12x 4y 6 0
x 5 y
79
y
169 79
x
18
29 61
18 18
ừư(1) và(2) ó
à
AB AB
t ch ph ngc a AB hayu (29; 61) n (61; 29)
Ph ng trỡnh ng AB :
61(x 1) 29(y 5) 0
61x 29y 84 0
ơ ỉ ư ơ ủ
ư ơ đư ờ
Trang 10
2
2 2
2
6a2 Ph ng trình (C) x 2 y 2 2
T m 2 ; 2 ; b n k nh R 2
K H ( ) H l trung m AB
1 4m
V i H d /
1 m
ng th ng ( ) c t (C) khi H R
| 1 4m |
2 14m 8m 1 0
1 m
m
t H x K : 0 x 2
Trong vu ng HA ta c : HA
¬
í
2
2 AB
AB
AB
2 2
HA 2 x
1
S H.AB x 2 x
2
Áp d ng B T c si ta c :
x 2 x
2 max S 1 khi x 2 x x 1 tho m n
m 0 tho m n
| 1 4m |
1 m
15
¶ ·
¶ ·
¶ ·
Câu VII.a (1,0 điểm)
Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 + 2z + 10 = 0 Tính giá trị của biểu thức A = |z1|2 + |z2|2
Bài giải
2
'
PT : z 2z 10 0
1 10 9
z 1 3i | z | 10
z 1 3i | z | 10
A | z | | z | 10 10 20
Trang 11' '
'
I
M
I
' '
Ph ờ
I là giao c a AC và BD nờn M ỡ M CD
M t khỏc: ME IE nờn:
EM IE 0 (11 u )(x 1) (1 y )(y
ầnưri ngưcâuư6aư(1)
ủ đốiưxứngưvớiưMưquaIth
ặ
E
E
'
5) 0
x 12x 11 y 4y 5 0
x y 12x 4y 6 0 (1)
Mà E :x + y -5 =0
x y 5 0 (2)
x y 12x 4y 6 0
x 5 y
79
y
169 79
x
18
29 61
18 18
ừư(1) và(2) ó
à
AB AB
t ch ph ngc a AB hayu (29; 61) n (61; 29)
Ph ng trỡnh ng AB :
61(x 1) 29(y 5) 0
61x 29y 84 0
ơ ỉ ư ơ ủ
ư ơ đư ờ
2 2
2 Ph ng trỡnh (C) x 2 y 2 2
T m 2 ; 2 ; b n k nh R 2
K H ( ) H l trung m AB
2 2m 2m 3
V i H d /
1 m
1 4m
H
1 m
ư ơ
ớ
Trang 12
2
2
2
2 AB
ng th ng ( ) c t (C) khi H R
| 1 4m |
1 m
14m 8m 1 0
m
t H x K : 0 x 2
Trong vu ng HA ta c : HA A H 2 x
HA 2 x
1
S H.AB x 2 x
2
AB
AB
2 2
2
Áp d ng B T c si ta c :
x 2 x
2
max S 1 khi x 2 x
x 1 tho m n
| 1 4m |
1 | 1 4m | 1 m
1 m
m 0 tho m n
15
¶ ·
¶ ·
¶ ·
Câu VII.a (1,0 điểm)
Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 + 2z + 10 = 0 Tính giá trị của biểu thức A = |z1|2 + |z2|2
Bài giải
2
'
PT : z 2z 10 0
1 10 9
z 1 3i | z | 10
z 1 3i | z | 10
A | z | | z | 10 10 20
B Theo chương trình nâng cao
Trang 13Câu VI.b (2.0 điểm)
4x + 4y + 6 = 0 và đường thẳng : x + my – 2m + 3 = 0, với m là tham số thực Gọi là tâm của đường tròn (C) Tìm m để cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y +
bằng nhau
Bài giải
Trang 14
2
2 2
2
1 Ph ng trình (C) x 2 y 2 2
T m 2 ; 2 ; b n k nh R 2
K H ( ) H l trung m AB
1 4m
V i H d /
1 m
ng th ng ( ) c t (C) khi H R
| 1 4m |
2 14m 8m 1 0
1 m
m
t H x K : 0 x 2
Trong vu ng HA ta c : HA
¬
í
2
2 AB
AB
AB
2 2
HA 2 x
1
S H.AB x 2 x
2
Áp d ng B T c si ta c :
x 2 x
2 max S 1 khi x 2 x x 1 tho m n
m 0 tho m n
| 1 4m |
1 m
15
¶ ·
¶ ·
¶ ·
Trang 15
2
2 2
2 1
2
1
2
6b.2
G i A l i m tr n v B l i m tr n m t ph ng (P)
x 1 t
: y t
z 9 6t
x 1 2t '
: y 3 t ' i qua A 1; 3 ; 1 v u 2 ; 1; 2
z 1 2t '
M M 1 t ; t ; 9 6t
d M,
3 u
1 t
d M, (P)
2
2
1 2
2t 18 12t 1 11t 20
3
1 ( 2) 2
Vì d M, d M, (P) MA MB n n :
14 8t 14t 20 4 t 11t 20
11t 20 14 8t 14t 20 4 t
t 1 35t 88t 53 0 53
t 35
V i t 1 M 0 , 1, 3
ª
í
í
Câu VII.b (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
2 2
log x y 1 log (xy)
x, y
3 81
Bài giải
Trang 162 2
K :x,y 0
log (x y ) log (2xy)
H
x y
x y 2
x xy y 4
Ö
®
