Vậy hx là hàm số tăng.. Chứng minh: xlnx1.
Trang 1CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Y = F(X) Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số y = f(x)
+ MXĐ D
+ Tìm y’ ,Cho y’ = 0 ⇒ cực trị (x,y)
+ Bảng biến thiên
X -∞ +∞
Y’
Y
Từ bảng biến thiên ta có thể kết luận cực trị của hàm số
Chú y ù :Để tính giá trị cưïc trị y0
+ Đối với các hàm đa thức y=f(x): bậc 3 , bậc 4
f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d
f (x) = ax 4 + bx 2 + c
Lấy y chia cho y’
y0 = f(x0 ) = R(x0)
+ Đối với các hàm hữu tỷ: y = v u
• y cx ax d b
+
+
= (hàm nhất biến)
2
) (
'
d cx
d c
b a y
+
=
⇒
2
n mx
r q px n
mx
c bx ax
y
+ + +
= +
+ +
=
( )2
2
'
n mx
n m
c b anx amx
y
+
+ +
=
⇒ Tính giá trị cực trị y0 = u v =u v''
Chú ý : Cho hàm số y = f(x)
px R(x)
R(x) là phần dư của y chia y’
Trang 21 x0 là cực tiểu ⇔
>
=
0 )
(
"
0 )
( '
0
0
x f
x f
2 x0 là cực tiểu ⇔
>
=
0 )
(
"
0 )
( '
0
0
x f
x f
Ví dụ: Tìm cực trị các hàm số sau:
a) y = x3 – 3x2 + 3x – 4 b)
2
) 1
−
−
=
x
x y
4
2
4
+
−
= x x
y d) y=x+ 2x2 + 1 e) y= 2x2 − 3x− 5
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y = (m+2)x3 + 3x2 + mx – 5 có cực đại và cực tiểu
Dạng 2: Tính tăng (giảm) của hàm số y = f(x) ∀ x ∈ℜ
Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) ∀x∈ℜ ⇔ y’ ≥ 0 ∀x∈ℜ
Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) ∀ x∈ℜ⇔ y’ ≤ 0 ∀x∈ℜ
Ví dụ: Tìm các khoảng tăng, giảm của các hàm số sau:
a) y = x3 – 3x + 9x – 2 b) y x x x 3x
2 4
2 3 4
−
− +
= c) y =x− lnx− 2 d) y = x – ex
Ví dụ: Định m để hàm số:
3
2 3
− +
−
= x x mx
y tăng trên miền xác định
b)
1
) 2 (
2
−
+
− +
=
x
m x m x
y giảm trên từng khoảng xác định của nó
c) = ( −1) −−21 +3
mx
m x m
y tăng trên từng khoảng xác định của nó
Dạng 3: Tính tăng (giảm) của hàm số y = f(x) ∀ x ∈ D
D = (-∞ ; α)
D = (α ; β )
D = (β ; +∞)
Tính tăng (giảm) của hàm số y = f(x) ∀x∈(-∞ ; α )
TH1: Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) ∀x∈ℜ ⇔ y’ ≥ 0 ∀x∈ℜ
TH2: y = f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt (x 1 ≠ x2 )
X -∞ (-∞ ; α ) x1 x 2 +∞
f(x) +a 0 -a 0 +a
x0
x0
Trang 3⇒ a<x1<x2
Các trường hợp (α ; β ); (β ; +∞).giải tương tự.
Ví dụ: Định m để hàm số:
1
) 2 (
2
−
+
−
+
=
x
m x m
x
y tăng trong khoảng ( - ∞ ; -2 )
Ví dụ: Cho hàm số y =
a x
a x a x
−
+ +
− + ( 1 ) 1
2 2
Tìm a để hàm số đồng biến trên khoảng ( 1; +∞)
Dạng 4: Sử dụng tính tăng (giảm) của hàm số chứng minh bất đẳng thức:
+ Muốn chứng minh: f(x) > g(x) với x ∈ D, ta coi hàm số:
h(x) = f(x) – g(x)
- Chứng minh h ‘(x) > 0 , x ∈ D Vậy h(x) là hàm số tăng
- Ta dùng tính chất ∀ x1,x2∈ D : x1 < x2⇔ h(x1) < h(x2)
Ví dụ: Chứng minh các bất đẳng thức:
a) ex > 1 + x , ∀ x > 0 c) (x+1)lnx > 2x – 2 , ∀ x > 1
b) x > ln(1+x) , ∀ x > 0 d) Cho x > 0, x ≠ 1 Chứng minh: xlnx1< 1x
−
BÀI TẬP
1) Tìm tham s m đ hàm s :ố ể ố
a) y = x3-3mx2+4mx-1 luơn đ ng bi nồ ế
b) y = -x3+2x2-mx+m2+4 luơn ngh ch bi nị ế
1
y
x
=
− gi m trên t ng kho ng xác đ nhả ừ ả ị
2
y
=
− t ng trên t ng kho ng xác đ nhă ừ ả ị e) y mx 4
x m
−
=
− gi m trên t ng kho ng xác đ nhả ừ ả ị f) y x 2m 1
x m
=
− t ng trên t ng kho ng xác đ nh.ă ừ ả ị 2) Tìm m đ hàm s :ể ố
a) y = x3-(m+1)x2-(2m2-3m+2)x +2m(2m-1) t ng ă [2,+∞)
b) y =-x3+mx2-m t ng trên (1,2) ă
3
y= − x + m− + m+ x+ − t ng trên (0,3)ă
2
y
m x
=
− gi m trên ả (1,+∞)
3) Ch ng minh các b t đ ng th c:ứ ấ ẳ ứ
Trang 4a) ln(1+x)< x ∀ >x 0 b) osx > 1-x2 , 0
2
e)sinx+tgx>2x(0<x< )
2
π
4) Tìm các điểm tới hạn của hàm số :y = f(x) = 3x+ 5
x
3+
5) Xét tính đơn điệu của hàm số
a) y = f(x) = x3-3x2+1 b) y = f(x) = 2x2-x4
c) y = f(x) = xx+−23 d) y = f(x) = x2 14xx 4
−
+
e) y = f(x) = x+2sinx trên (-π ; π) f) y = f(x) = xlnx
g) y = f(x) = 3 x 2 ( x − 5 ) h) y= f(x) = x3−3x2
i) y f(x) x2 x x1 3
−
+
−
=
k) y = f(x) = sinx trên đoạn [0; 2π]
6) Cho hàm số y = f(x) = x3-3(m+1)x2+3(m+1)x+1 Định m để hàm số :
a) Luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó Kq:1 ≤ m ≤ 0
b) Nghịch biến trên khoảng (-1;0) Kq: m ≤ −34
c) Đồng biến trên khoảng (2;+∞ ) Kq: m ≤ 31
7) Định m∈Z để hàm số y = f(x) = mxx−−m1 đồng biến trên các khoảng xác định của
8) Định m để hàm số y = f(x) = mx2x++2x−2 nghịch biến trên nửa khoảng [1;+∞)
5
14
−
9) Chứng minh rằng : e x > 1 + x, ∀x > 0
10) Chứng minh rằng : hàm số luôn luôn tăng trên khoảng xác định (trên từng
khoảng xác định) của nó :
a) y = x3−3x2+3x+2 b) y x2x x1 1
−
−
−
= c) y xx 11
+
−
=
11) Tìm m để hàm số (m 1)x (m 7)x
3
x
a) Luôn luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó
Trang 512) Tìm m để hàm số :y x2 2xmxmm 2
−
+ +
−
= luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó
13) Tìm m để hàm số :y 2x2 (1xmm)x m 1
−
+ +
− +
= luôn đồng biến trên khoảng (1;+∞)
Kq: m ≤ 3 − 2 2
14) Tìm m để hàm số y = x2.(m-x)-m đồng biến trên khoảng (1;2) Kq: m≥3
15) Chứng minh rằng :
a) ln(x+1) < x , ∀ x > 0 b) cosx >1-x22 , với x > 0
