Tính limun Bài tập dành cho đội tuyển Olimpic Dạng dùng phương trình đặc trưng: Bài 1: Cho dãy số un xác định bởi 1 3, 1 4 3 n n u Tìm công thức số hạng tổng quát.
Trang 1Trường THPT Cổ Loa Thầy giáo:Trần Quốc Thép
Chuyên đề 11a1: Dãy số có giới hạn vô cực và các bài toán tổng quát
Dạng ∞/∞: Tính các giới hạn sau:
1)
4 2
4
2 sin 3 3
lim
+ − ; 2)
2 3
1 lim
n
−
− +
3)
3 2
2
lim
5+8+11+ +(3n+2) lim
3n +6n−1
5) 1 2 3 4 2
lim
1
n n
− + − + −
+
Dạng ∞-∞ và các bài toán liên quan:
Bài 1 Tính các giới hạn sau:
1) lim( 2 4 1 )
→∞ + + − ; 2) lim(− n2+4n+ +3 n)
n
1 lim
10n+ −1 10n−1 5)lim 10( n+ −1 10n−1);
lim( n +2n − n +1)n ;7)
2 2
lim
+ − +
Bài 2: Tính các giới hạn sau:
1)lim(3 n3+n2 −n);2) lim(n+ −2 3 n3+2n+6);
3) lim(2n + 3 3
1 8n− ); 4)lim(3 n3+ −1 n2+1); 5)
lim 4n +1 n + −2 2n
Bài 3: Chứng minh
1) lim 0
4n
n = ; 2) lim2
n
n =+∞ ;
3) Nếu x >0 thì lim 0
(1 )n
n
Dạng tìm công thức tổng quát bằng sai phân
un= (un - un-1)+(un-1 - un-2)+(un-2 - un-3)+…+(u2 - u1)+ u1
Bài 1: Cho dãy số (un) xác định bởi
1 2, n n 1 2 1, 2
u = u =u − + n+ n≥ , Tìm công thức số hạng
tổng quát Tính limun
Bài 2: Cho dãy số (un) xác định bởi
1 2, 1 2 ,n 2
u = u =u − + n≥ , Tìm công thức số hạng
tổng quát Tính limun
Bài 3: Tính tổng sau: 1 32 53 2 1
n
Dạng dự đoán công thức, chứng minh bằng qui
nạp:
Bài 1: Cho dãy số (un) xác định bởi
1
1
u −
− , Tìm công thức số hạng
tổng quát Tính limun
Bài 2: Cho dãy số (un) xác định bởi
1 11, n 1 10 n 1 9 , 1
u = u + = u + − n n≥ , Tìm công thức số hạng tổng quát Tính limun
Bài tập dành cho đội tuyển Olimpic Dạng dùng phương trình đặc trưng:
Bài 1: Cho dãy số (un) xác định bởi 1 3, 1 4
3
n n
u
Tìm công thức số hạng tổng quát Tính giới hạn của nó
Bài 2: Chodãy số (un) xác định bởi u1=8,u n+1 =2u n+4, Tìm công thức số hạng tổng quát Tính giới hạn của nó
Bài 3: Cho dãy số (un) xác định bởi
0 1, 1 3, n 5 n 1 6 n 2, 2
u = − u = u = u − − u − n≥ , Tìm công thức số hạng tổng quát Tính giới hạn của nó
Định lí Vâyơstrát:
Dãy u n tăng và bị chặn trên thì có giới hạn Dãy u n giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn:
Bài 1: Chứng minh dãy số (un) xác định bởi
1 1
3 0,
4
n n
u
, n ≥ 2, là dãy số tăng và bị chặn trên(HD: qui nạp) Tính limun
Bài 2: Chứng minh dãy số (un) xác định bởi
1 2, n 1 n 2, 1
u = u + = u + n≥ , là dãy số tăng và bị chặn trên Tính limun
Bài 3: Chứng minh dãy số (un) xác định bởi
3,
3
n n
u
, n ≥ 1có giới hạn Tính limun
Bài 4 Chứng minh dãy số (un) xác định bởi
1 0, n 1 4 3 n
u = u + = + u , n ≥ 1 có giới hạn Tính limun
Bài 5: Chứng minh dãy số 1 1 1
n
u
n
= + + + có giới hạn (tăng và chặn trên bởi 3)
Bài 6: Chứng minh dãy số (un) xác định bởi
2
n
u
+
= = + ≥ là dãy số giảm và bị chặn
dưới Tính limun
Định lý giới hạn kẹp giữa:
Nếu u n ≤ v n ≤ w n∀n và lim u n = lim w n =a thì lim v n =a Bài 1: Cho dãy số
1
n
u
n n < < n
Bài 2: Tính giới hạn của các dãy số:
n
u
n
n u
=