Bài giảng điều khiển tự động - Chương 2

Tài liệu bài giảng Điều khiển tự động dành cho các sinh viên chuyên ngành kỹ thuật tham khảo với các nội dung như: Tổng quan về điều khiển tự động, mô tả toán học phần tử và hệ thống điều kh

1

Tổng quát, quan h ệ giữa tín hiệu vào, tín hiệu ra của một

hệ thống liên tục tuyến tính bất biến SISO có thể mô tả bằng

phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng:

Ví dụ 2.1: Hệ lò xo – khối lượng – giảm chấn

Fms

Flx

m (+)

u Ri

2 2

RCdt

2 2

LCdt

Ví dụ 2.3: Đặc tính động học vận tốc xe ôtô

dv

m bv(t) f(t)dt

m : khối lượng xe

b : hệ số cản (ma sát nhớt)

n Tín hiệu vào: Lực đẩy của động cơ, f(t)

n Tín hiệu ra: vận tốc của xe , v(t)

v(t)

01/2009 GV NGUYỄN THẾ HÙNG 7

m : khối lượng, [kg]

b : hệ số ma sát nhớt, [N.s/m]

k : độ cứng lo xo, [N/m]

n Tín hiệu vào: lượng di động r(t), [m]

n Tín hiệu ra: lượng di động y(t), [m]

2 2

s : biến Laplace (biến số phức)

L : toán tử biến đổi Laplace F(s): biến đổi Laplce hay ảnh Laplace của f(t)

Biến đổi Laplace tồn tại khi tích phân trong biểu thức định nghĩa trên là hội tụ (hữu hạn)

st 0

F(s) L[f (t)] f (t)e dt

∞

−

Giải phương trình vi phân bậc n cần n điều kiện đầu:

2.2 Phép biến đổi Laplace

(n 1)

f (0), f (0), f (0), , f& && − (0)

L [f1(t) ±f2(t)] = F1(s) ±F2(s)L[kf(t)] = kF(s)

0y( )& là vận tốc ban đầu (tại t=0).

2 điều kiện đầu: y(0) là vị trí ban đầu (tại t=0)

300&&y(t)+5y(t)& +20y(t) =100

Ví dụ : Giải ph.trình vi phân mô tả chuyển động bậc hai:

L[f (t)]=s F(s) s f (0) sf (0) f (0)− − & −&&

300&&y(t)+5y(t)& +20y(t)=100r(t)

Biến đổi Laplace 2 vế với ĐKĐ =0 ta được:

2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản

1) Hàm b ậc thang (hàm bước) đơn vị

2.2 Phép biến đổi Laplace

Xét hàm bậc thang K(t)=K.1(t):

0 0

s

∞

a → 0

ah

4) Hàm d ốc đơn vị

2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản

tr(t) t.1(t)

ste

F(s)f(t)

TT

2 2

s(s )

+ α+ α + ω

2 2(s )

ω+ α + ω

1

s+ α

2

1(s+ α)

1 / st

e−αt

te−α

n 1

tt

e(n 1)!

−

−α

−

01/2009 GV NGUYỄN THẾ HÙNG 21

Bài toán : Biết hàm Y(s) , tìm hàm thời gian y(t)=?

Y(s) thường có dạng tỉ số của hai đa thức theo s:

1) Mẫu số của Y(s) chỉ có nghiệm đơn

2.2.4 Tìm biến đổi Laplace ngược

s tA

5s 24Y(s)

Giải. Mẫu số của Y(s) có 2 nghiệm đơn s 1 =0 ; s 2 =-4

và một nghiệm kép s k =-3 nên có thể phân tích :

2

5s 24Y(s)

s(s 4)(s 3)

+

=+ +

4 = −

−

93

3= −

−

2.2.4 Tìm biến đổi Laplace ngược

2 1

- hoặc Tính theo công thức:

2.2.4 Tìm biến đổi Laplace ngược

s(s 6s 25)

+

=+ +

2

2

(A C )s (6A 3C 4C )s 25AY(s)

A+C =0

6A+3C +4C =2

A=1/ 51

C = −1 / 52

C =7 / 20

So sánh với Y(s) đã cho, ta được:

⇒

44

01/2009 GV NGUYỄN THẾ HÙNG 35

2

18s 126Y(s)

(6)

2

3s 40Y(s)

s(s 4s 5)

+

=+ +

2

15s 225Y(s)

Từ PTVP mô tả hệ thống tuyến tính bất biến liên tục :

01/2009 GV NGUYỄN THẾ HÙNG 37

2) Nhận xét

n Khái niệm hàm truyền chỉ dùng cho hệ thống (hay phần tử) tuyến tính bất biến

n Hàm truyền chỉ phụ thuộc vào các thông số và bậc của

hệ thống màkhông phụ thuộc vào loại và giá trị của tín hiệu vào, tín hiệu ra

n Giả thiết các ĐKĐ =0 nhằm mục đích dùng hàm truyền

đểnghiên cứu bản chất động học của hệ thống.

n Dùng hàm truyền để mô tả và phân tích hệ thống thuận lợi hơn PTVP vìhàm truyền là phân thức đại số.

Quan hệ vào-ra sẽ đơn giản là phương trình đại số:

G(s)=Y(s) / R(s) → Y(s)=R(s).G(s)

Tín hiệu ra = tín hiệu vào * hàm truyền

2.3 Hàm truyền

3) Đa thức đặc tính, Phương trình đặc tính

- Đa thức ở mẫu số của hàm truyền gọi là đa thức đặc tính:

Dựa vào các nghiệm hoặc hệ số của phương trình đặc tính có thểxét tính ổn địnhcủa hệ thống (chương 4)

Để mô tả hệ MIMO phải dùng ma trận các hàm truyền

Mỗi hàm truyền chỉ ứng với một cặp tín hiệu vào, ra

ij i j

G = Y / R

Hệ MIMO YM11

R

01/2009 GV NGUYỄN THẾ HÙNG 39

5) Biểu diễn hàm truyền theo dạng zero-cực-độ lợi

Trong đó:

zi(i=1,2,…,m) _ là nghiệm đa thức tử số, gọi là các zero

pi(i=1,2,…,n)_ là nghiệm đa thức mẫu số, gọi là các cực

(pole); picũng chính là nghiệm của phương trình đặc tính

Y(s) (s z )(s z ) (s z )G(s) K

bKa

= _ làđộ lợi(gain)

2 2

01/2009 GV NGUYỄN THẾ HÙNG 41

n Đại số sơ đồ khối là thuật toán biến đổi tương đương đểrút gọn các sơ đồ khối

n Hai sơ đồ khối là tương đương nếu chúng có cùng quan

hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra

n Để tìm hàm truyền của hệ thống có cấu trúc phức tạp, ta thường tìm cách:

1) Biến đổi SĐK để làm xuất hiện các kết nối cơ bản.

2) Lần lượt tính các hàm truyền tương đương theo nguyên tắc rút gọn dần từ trong ra ngoài

n Sau đây là một số quy tắc biến đổi cơ bản:

2.4.2 Đại số sơ đồ khối

2.4.2 Đại số sơ đồ khối

1) Hệ nối tiếp: Hàm truyền chung G = tích các hàm truyền G i

YU.G G G Y G G G G

GG

1 G.H

=+

YR

k

GG

2.4.2 Đại số sơ đồ khối

YR

k

GG

1 G

=+

c

c

G GY

R 1 G G.H

+

nHệ hồi tiếp có nhiễu

nHệ hồi tiếp âm đơn vị (hàm truyền hồi tiếp H(s)=1 )

ŒXét riêng tác động của tín hiệu vào R (coi Z 1 & Z 2 =0):

G

±Z1

ŽXét riêng tác động của nhiễu Z 2 :

•Xét riêng tác động của nhiễu Z 1 :

±Z2

GcH

G

±Z1

2.4.2 Đại số sơ đồ khối

4) Chuyển điểm rẽ ra trước một khối: => Thêm khối G

YY

U

GY

U

5) Chuyển điểm rẽ ra sau một khối: => Thêm khối (1/G)

YGU

U

YG

U1

G

U2Y= U1G-U2

8) Đảo vị trí, tách , nhập hai bộ tổng liền nhau: được phép

U1

U3 U2

Y

Y=U1-U2+U3 Y=U1+U3-U2

2.4.2 Đại số sơ đồ khối

ŒKhông được đảo vị trí điểm rẽ và bộ tổng.

01/2009 GV NGUYỄN THẾ HÙNG 49

2

2 2 1 1 1 2 2 1

1 G K

=+

A

1 G G

=+ tñ1

1 G G G

tñ2 tñ

tñ2

=+

1 G

=+ tñ1

1 G G G

tñ2 tñ

tñ2

=+

G11/G1

1 2

2 3 5

G GG

1 G G G

=

−

tñ1

01/2009 GV NGUYỄN THẾ HÙNG 55

1 2 3 4

1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 1 td

G G G GG

Bài tập 4_ Tìm hàm truyền tương đương

1 2 3 4

1 2 3 4 1 2 3 2 3 4 1

G G G GG

1 G G G G G G G G G G H

=

td

01/2009 GV NGUYỄN THẾ HÙNG 57

2.5.1 Phần tử cơ khí

vHệ lò xo-khối lượng-giảm chấn

2 2

- Tín hiệu ra: lượng di động y(t)

2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình 2.5.1 Phần tử cơ khí

P_bước ren vít

Py(t) P n(t)dt (t)dt

U(s) Ls R

+

2.5.2 Phần tử điện

vMạch RL nối tiếp -Tín hiệu vào: điện áp u(t)

-Tín hiệu ra: dòng điện i(t)

- Lấy đạo hàm 2 vế, được:

2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình

vKhuếch đại thuật toán (op-amp)

K e : hằng số sức điện động e=K e ω: sức phản điện động

eU(s) K− ω(s) = Ls+R I(s)Biến đổi Laplace 2 vế:

⇒ Sơ đồ khối (1):

1

Ls R +

Ke

01/2009 GV NGUYỄN THẾ HÙNG 65

2) Phương trình mômen điện từ:

mM(t)=K i(t) ⇒M(s)=K I(s)m

K m : hằng số mômen của động cơ I(s) Km M(s)

⇒ Sơ đồ khối (2):

t

dM(t) J B (t) M (t)

dt

ω

tM(s) Js (s) B (s) M (s)

3) Phương trình cân bằng mômen cơ:

tM(s) M (s)− =(Js+B) (s)ω

J: mômen quán tính của đcơ

và tải quy về trục động cơ

B: hệ số ma sát của đcơ và tải quy về trục động cơ

M t : mômen phụ tải (nhiễu)

Kết nối các SĐK (1),(2),(3) ta được SĐK chung của động cơ DC:

Dùng đại số SĐK tìm hàm truyền động cơ (coi nhiễu Mt=0):

G(s)

K K

1(Ls R)(Js B)

K(s)

n Nhận xét: Tổng quát, động cơ DC điều khiển vận tốc được

mô tả bằng hàm truyền bậc hai , nếu bỏ qua điện cảmthì có thể mô tả bằng hàm truyền bậc nhất.

(2-49)(2-48 tr.46)

2.5.3 Động cơ điện DC

n Nếu động cơ được điều khiển góc quay ϕ (định vị); Do ω =d ϕ /dt

⇒ ω (s)=s Φ (s) nên sơ đồ khối có thêm khâu tích phân 1/s.

Hàm truyền:

m e m

RB K K

+ Φ

Φ

2.6.1 Các thành phần của graph

v Nút, nhánh:

- Mỗi nút là một điểm, biểu diễn một tín hiệu trong hệ thống

- Nhánh là đường nối trực tiếp hai nút Trên mỗi nhánh có vẽ mũi tên chỉ hướng tín hiệu và ghi hàm truyền giữa hai nút.

- Nút nguồn chỉ có nhánh đi ra Nút đích chỉ có nhánh đi vào

X2=G.X1G

1

01/2009 GV NGUYỄN THẾ HÙNG 71

:Tổng hàm truyền của tất cả các vòng kín có trong graph.

:Tổng các tích hàm truyền của hai vòng kín không dính nhau

:Tổng các tích hàm truyền của bavòng kín không dính nhau

: Định thức con thứ k, suy ra từ∆bằng cách bỏ đi các vòng kín

có dính với đường tiến thứ k

q Không dính (none-touching)= không có nút nào chung

q Dính (touching)= có ít nhất một nút chung

iL

∑

i j m

L L L

∑ ∑L Li jk

∆

2.6.2 Công thức Mason

k k k

1

G= P ∆

∆∑

G : Hàm truyền của hệ thống;

Pk:Hàm truyền của đường tiến thứ k;

∆:Định thức của graph tín hiệu

q Nếu các vòng kín và đường tiến có chung một nhánh Gi thì

chúng sẽ dính nhau Trường hợp này chỉ cần kiểm tra các hàm truyền L và P, không nhất thiết phải kiểm tra trên sơ đồ graph

q Các vòng kín và đường tiến không có nhánh Gi nào chung vẫn có thể dính nhau, hoặc không dính Khi đó phải kiểm tra

cụ thể trên sơ đồ graph.

q Nếu hệ thống cho ở dạng sơ đồ khối, muốn áp dụng được công thức Mason ta phải chuyển SĐK thành sơ đồ graph

Khi chuyển cần lưu ý:

- Có thể gộp 2 bộ tổng hoặc 2 điểm rẽ liền nhau thành 1 nút

- Có thể gộp 1 bộ tổng và 1 điểm rẽ liền sau nó thành 1 nút.

- Không thể gộp 1 điểm rẽ và 1 bộ tổng liền sau nó thành 1 nút.

Cả 3 vòng kín đều dính với P1 nên: ∆ =1 1

Áp dụng công thức Mason ta có hàm truyền của hệ : Vòng 1 không dính với vòng 3 nên: ∆ = −1 (L1+L2+L )3 +L1L3

td 1 1

1 2 2 3 1 3 4 1 2 3 4

G G G G1

1 G G G G H G G G G G G

L1 không dính với L2nên ∆= 1- (L1+L2 +L3+L4) +L1L2

Cả 4 vòng kín đều dính với P1và P2nên ∆1= ∆2=1

L1 không dính với P3nên∆3= 1- L1

01/2009 GV NGUYỄN THẾ HÙNG 79

2.7.1 Giới thiệu

n Mô hình hàm truyền có một số điểm hạn chế:

-Chỉ áp dụng được với điều kiện đầu bằng 0

- Chỉ mô tả được quan hệ tuyến tính một vào, một ra (SISO).

- Chỉ áp dụng được cho hệ tuyến tính bất biến, không dùng được cho hệ phi tuyến hay hệ có thông số biến đổi theo thời gian.

⇒ Để khắc phục, người ta dùng mô hình phương trình trạng thái.

n Trạng thái của hệ thống là tập hợp nhỏ nhất các biến (gọi là

biến trạng thái) mà nếu biết giá trị các biến này tại thời điểm

t=t0và biết các tín hiệu vào ở t ≥ t0, ta hoàn toàn có thể xác định được đáp ứng của hệ thống tại mọi thời điểm t ≥ t0 Với hệ tuyến tính bất biến, thời điểm đầu thường được chọn là t0=0.

n Biến trạng thái không nhất thiếtphải là các thông số đo được ( biến vật lý ) Các biến không đại diện cho các đại lượng vật lý (chỉ làbiến toán học) cũng có thể chọn làm biến trạng thái.

2.7 Mô hình phương trình trạng thái

n Để mô tả hệ thống bậc n cần dùng n biến trạng thái, hợp thành

véctơ cột gọi là véctơ trạng thái, ký hiệu là:

x= x x x

n Sử dụng biến trạng thái ta có thể chuyển ph trình vi phân bậc n

mô tả hệ thống thành hệ gồm n phương trình vi phân bậc nhất

viết dưới dạng ma trận như sau :

x(t) Ax(t) Br(t)y(t) Cx(t) Dr(t)

Trong đó: x(t) là véctơ trạng thái

r(t) là tín hiệu vào, y(t) là tín hiệu ra của hệ.

n Với hệ tuyến tính bất biến MIMO thì A, B, C, D là các ma trận hệ số

n Với hệ tuyến tính bất biến SISO thì A là ma trận, B là vectơ cột, C là vectơ hàng, D là một hằng số

: Phương trình trạng thái : Phương trình ngõ ra

n Việc chọn biến trạng thái không phải chỉ theo một cánh duy nhất.

Do đó: Một hệ thống có thể mô tả bằng nhiều phương trình trạng thái khác nhau, tuỳ thuộc vào cách chọn các biến trạng thái.

Ví dụ : Lập ph.trình trạng thái mô tả động cơ DC

mM(t)=K i(t)

dM(t) J B (t)

-Phương trình cân bằng mômen cơ:

(để đơn giản, xem mômen tải =0)

b y& −y& +k (y − y ) b y− & − k y = m y&&

n Đặt 4 biến trạng thái: x1=y ; x1 2 = y ; x2 3 =&y ; x1 4 =&y2

Ta viết được hệ phương trình trạng thái :

01/2009 GV NGUYỄN THẾ HÙNG 87

1) Ph.trình vi phân không chứa đạo hàm tín hiệu vào

n Xét hệ thống tuyến tính SISO có ph.trình vi phân:

Áp dụng cách đặt biến như trên, ta sẽ tìm được phương trình trạng thái mô tả hệ thống (trường hợp này có D=0):

(Nếu an≠ 1 ta chia hai vế cho an để đưa về dạng trên)

Quy tắc đặt biến trạng thái:

-Biến thứ nhất bằng tín hiệu ra: x1=y

-Biến sau bằng đạo hàm của biến trước: xi= xi-1 (i=2, ,n)

n Xét hệ thống tuyến tính SISO có ph.trình vi phân:

Áp dụng cách đặt biến như trên, ta sẽ xác định được các hệ số β

Từ đó lập được ph.trình trạng thái mô tả hệ thống, trong đó:

(Nếu an≠ 1 ta chia hai vế cho an để đưa về dạng trên)

Quy tắc đặt biến trạng thái:

- Nếu bậc vế phải = vế trái (tức bn≠0), đặt x1=y- β0r

Nếu bậc vế phải < vế trái (tức bn=0), đặt x1=y

01/2009 GV NGUYỄN THẾ HÙNG 89

Ví dụ 1: Lập phương trình trạng thái của hệ có ph.trình vi phân:

Giải. Đặt hai biến trạng thái:

5y(t) 2y(t) 7y(t)&& + & + = r(t)

x =y ; x = x&

⇒ x&2 =&&yPhương trình trạng thái: 1 2

01/2009 GV NGUYỄN THẾ HÙNG 91

Hệ phương trình trạng thái của hệ thống là:

So sánh ph.trình trên với ph.trình đã cho, ta được:

01/2009 GV NGUYỄN THẾ HÙNG 95

n Xét hệ thống tuyến tính SISO có ph.trình trạng thái:

- Để tránh phải tính ma trận nghịch đảo, có thể dùng công thức:

2.7.4 Tìm hàm truyền từ phương trình trạng thái

Ví dụ 2.21(trang 71) Xét hệ thống có ph.trình trạng thái:

1G(s)=C(sI A) B− − +D

Ph.trình trạng thái