Hỏi tam giác đó là tam giác gì?... Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông là tại A là : CO BO... Bài 6 : Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm O, bán kính r.. Kẻ
Trang 1UBND HUYỆN CÁT TIÊN
PHÒNG GD & ĐT CÁT TIÊN
(Đề chính thức)
KỲ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
Năm 1990 - 1991 MÔN : TOÁN LỚP : 9
(Thời gian làm bài 180 phút)
ĐỀ 1:
Bài 1: a) Phân tích thành nhân tử: x4 + 2000x2 + 1999x + 2000
b) Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác, biết a3 + b3 + c3 – 3abc = 0
Hỏi tam giác đó là tam giác gì?
Bài 2: a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho 7 và khi chia cho 2, 3, 4, 5, 6 luôn luôn có số dư
là1
b) CMR: A = (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y) + y4 là số chính phương
Bài 3: a) Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp p, q, r sao cho p2 + q2 + r2 cũng là số nguyên tố
b) CMR: Phân số
1 3
2 2 4
3 + +
+
n n
n
n tối giản ∀n∈N*
Bài 4: Giải phương trình: ) 2
4
1 2
1 + + = +
x a
)(1 x)4 1 x4
Bài 5: Giải hệ phương trình:
a)
= + +
= + +
= + +
27
1 1 1 1
9
zx yz xy
z y x
z y x
b)
= + +
= + +
27
27 2 2
2 y z x
zx yz xy
Bài 6: Tìm tất cả những tam giác vuông mà có độ dài các cạnh là một số nguyên dương và diện
tích của chúng bằng chu vi
Hết
Trang 2ĐỀ 2:
Bài 1: Phân tích biểu thức sau ra thừa số:
a) x3(x2 - 7)2 – 36x
b) CMR x3(x2 - 7)2 – 36x 210
Bài 2: Chứng minh rằng:
a) 4545 + 5454 là hợp số
b) nn – n2 + n –1 (n - 1)2
Bài 3: Tính tổng sau :
S =1+ + 2+ 3+ +
b)
+
+
+
+
+
+
+
+
=
1999
1000 1
3
1000 1
2
1000 1 1
1000 1
1000
1999 1
3
1999 1
2
1999 1 1
1999 1
A
Bài 4: Giải phương trình sau:
a)
x
x x x
x−1 − 1−1 = −1
x
x
−
=
−
−
3
2
Bài 5: Giải hệ phương trình:
a)
= +
= +
+ 4
2 8 2
2 2
y x
xy y
x
b)
= +
= +
35
30
y y x x
x y y x
Bài 6: Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) (R>R’) cắt nhau tại A và B Tiếp tuyến của (O’) tại
B cắt (O) tại C và tiếp tuyến của (O) tại B cắt (O’) tại D CMR
a) AB2 = AC.AD ; b)
AD
AC BD
BC
= 2
2
; c) BD BC =R R'
Hết
Trang 3UBND HUYỆN CÁT TIÊN
PHÒNG GD & ĐT CÁT TIÊN
(Đề chính thức)
KỲ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
Năm 1992 - 1993 MÔN : TOÁN LỚP : 9
(Thời gian làm bài 180 phút)
ĐỀ 3:
Bài 1: Cho
= + +
= + +
= + +
1 1 1
3 3 3
2 2 2
c b a
c b a
c b a
Tính giá trị của biểu thức: P=a2004 +b2005 +c3500
Bài 2: Chứng minh rằng:
a) A=3638+41 377.
b) 7+72+ 3+ +74k 400∀k∈N
Bài 3: Tìm dư trong phép chia : 151515 cho 49
Bài 4:a) Chứng minh rằng :
2003 4
444
=
A không là số chính phương
2
1 2004 2003
Bài 5:a) Chứng minh rằng: 5525 11
125
−
−
=
A là một hợp số
b) Giải phương trình:
=
= + +
= + + 10
17 8
xyz
yz xz xy
z y x
Bài 6: Cho tam giác ABC với AB = BC và góc ABC = 800 Ta lấy một điểm I ở trong tam giác ấy sao cho góc IAC = 800 và góc AIC = 300
Hãy tính góc AIB
Trang 4(Thời gian làm bài 180 phút)
ĐỀ 4:
Bài 1: Tính tổng: S n = 1 + 1 + 1 + + 1
1.2.3 2.3.4 2.3.4 n(n + 1)(n + 2) (n≥1)
Bài 2: Rút gọn
+
+
+
+
+
+
=
4
1 2005
4
1 6 4
1 4 4
1 2
4
1 2004
4
1 5 4
1 3 4
1 1
4 4
4 4
4 4
4 4
S
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử.
)
)
7 7 7
5 5 5 5
y x y x
b
z y x z y x
a
−
− +
−
−
− + +
Bài 4: Giải phương trình sau:
1 1
)
3
1 )
2 2
2 3
= +
−
=
−
−
x x
b
x x x
a
Bài 5: Trong một can có 16 lít xăng Làm thế nào để chia số xăng xăng đó thành hai phần bằng
nhau, mỗi phần 8 lít; nếu chỉ có thêm một can 11 lít và một can 6 lít để không?
Bài 6: Qua điểm O tùy ý trong tam giác ABC ta vẽ các đường thẳng DE; FK; MN tương ứng
song song với AB; AC; BC sao cho F và M nằm trên AB; E và K nằm trên BC ; N và D nằm trên
AC
Chứng minh rằng + + = 1
CA
CN BC
BE AB AF
Hết
Trang 5UBND HUYỆN CÁT TIÊN
PHÒNG GD & ĐT CÁT TIÊN
(Đề chính thức)
KỲ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
Năm 1994 - 1995 MÔN : TOÁN LỚP : 9
(Thời gian làm bài 180 phút)
ĐỀ 5 : Bài 1: Rút gọn biểu thức:
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
ca a c bc c b ab b a
ca a c bc c b ab b a
E
− +
− +
−
− +
− +
−
=
Bài 2: Chứng minh rằng tổng :
A =
5 12
5 24
7 12 120
2 3 4
n + + + + là một số nguyên với mọi giá trị nguyên của n
Bài 3: Thay hai dấu sao ** bằng hai chữ số sao cho số gồm 5 chữ số 517 * * chia hết cả cho 6, 7 và 9
Bài 4: Giải phương trrình:
=
− +
=
− +
=
− +
xyz z y
x
xyz y x
z
xyz x z
y
a)
=
− +
=
−
= + +
2
3 2
2
4 3 2
2 2
3 )
y y x
z y
z y x b
Bài 5: Giải phương trình:
1 1 6 8 1
4 3
a
4
19 1 4
1 3
−
=
+
x
x x
x
b
Bài 6 : Cho BE và CF là hai đường phân giác trong của tam giácABC và O là giao điểm của
chúng Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông là tại A là :
CO
BO. = BE CF
2 1
Trang 6Bài 1: Chứng minh rằng đa thức:
x9 999 + x8 888 + x7 777 + … + x1 111 +1 x9 + x8 + x7 + … + x1 +1
Bài 2: Chứng minh rằng:
13 222 333 333
222
)
13 70 3 70
2
)
+
+
b
a
Bài 3: Giải phương trình:
5
7 15 8
6 5
a
4 2
6 3
2
2 2
2
1
+
−
= +
−
+ +
x
b
Bài 4: a) Tính tổng sau: Sn = 13 + 23 + 33 + … + n3
2
) 1 (
n n+ (Bằng quy nạp)
Bài 5: Với giá trị nào của a thì đa thức f(x)g(x)
a)f(x) = x3 – (2a+1)x2 + x
2
7
+ a2 – 4 và g(x) = x –2
b) f(x) = x4 – (a-1)(a+1)x3 +(a+1) x2 – 3(a+1)x –7 và g(x) = x –1
Bài 6: Cho ∆ABC có AB = c; BC = a; AC = b còn x; y; z là độ dài các đường phân giác của các góc đối diện với cạnh đó
Chứng minh : x1+ 1y+1z > a1+b1+1c
Hết UBND HUYỆN CÁT TIÊN
PHÒNG GD & ĐT CÁT TIÊN
KỲ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
Năm 1996 - 1997
Trang 7(Đề chính thức) MÔN : TOÁN
LỚP : 9
(Thời gian làm bài 180 phút)
ĐỀ7:
Bài 1 : a) Chứng minh : S = n2 +3n – 38 không chia hết cho 49, ∀n∈N
1319
1
3
1 2
1
q
p
∈ +
− +
−
Bài 2 :a) Cho các số khác không a,b thỏa mãn
= + +
−
=
− +
−
0 11 5 3
0 17 5 3
2 3
2 3
b b b
a a a
Hãy tính : a + b = ? b) Rút gọn biểu thức :
2 số Chữ n
222
222
222 22
=
S
Bài 3 : Giải phương trình :
4
1 2
1
−
−
=
−
+ +
−
+
x
x x
x x
x b)x2 + 2x+ 4 = 3 x3 + 4x
Bài 4 : Giải hệ phương trình:
a)
−
=
−
−
=
−
−
=
−
2
1 2 2
1 2 2
1 2
4
4
4
x z
z y
y x
b)
= +
−
−
= +
+ +
0 3
3 3
2
2
y x
x y y
y x
y x x
Bài 5 : Xác định đa thức dư của phép chia đa thức :
P(x) = x +x3 +x9 +x27 + x81 cho đa thức Q(x) = x2 – 1
Bài 6 : Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm O, bán kính r Kẻ các tiếp tuyến của đường
tròn tâm O, song song với ba cạnh của tam giác Tìm gía trị nhỏ nhất của biểu thức :
S
S S
S 1
O
Trang 8Bài 1 : Dãy số x1, x2, x3, … xn được xác định như sau:
x1 = 2
xn+1 = +−11
n
n
x
x
với n = 1, 2, 3, … Tính x2004
4 4
= + +
=
b a b
y a
x
Chứng minh rằng:
1000 1000
2000
1000 2000
2 2
) (
1 )
)
b a b
y a
x b
ay bx a
+
= +
=
Bài 3 : Chứng minh rằng :
a)n12−n8−n4+1512∀n=2k+1 b) 2902n −889n −718n +707n202∀n∈N
Bài 4 : Giải phương trình :
3
10 2
6
=
−
+
2001 1999
1000
7 5
3 5 3
2 3 1
+ + + +
=
S
Bài 6 : Cho đường tròn (O;R) và dâu cung AB Qua trung điểm I của AB vẽ hai dây cung CD và
EF Các đường thẳng CE và DF cắt AB tại M và N Chứng minh rằng IM = IN
Hết
Trang 9UBND HUYỆN CÁT TIÊN
PHÒNG GD & ĐT CÁT TIÊN
(Đề chính thức)
KỲ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
Năm 1998 - 1999 MÔN : TOÁN LỚP : 9
(Thời gian làm bài 180 phút)
ĐỀ 9:
Bài 1 : a) Tính P =
2000
1999 2000
1999 1999
2
+
1 )
(
1 )
(
1
a c c b b
a− + − + − là một số hữu tỉ
Bài 2 :a) Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên lẻ thì 46n + 296.13n 1947
b) Tìm số dư trong phép chia 109345 cho 14
Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của y = 42 +13
+
x
x
Bài 4 : Chứng minh rằng số N sau đây là số chính phương :
N = 111 11 1 0 0 5 1
0 1994 1 1995
+
số
số là số chính phương
Bài 5 : Giảsử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình : x2 – ax +1 = 0
Tính : S7 = x17 +x27 theo a
Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông tại B, trên tia đối của tia BA, lấy điểm D sao cho AD = 3AB
Đường thẳnng vuông góc với CD tại D cắt đường thẳng vuông góc với AC tại A ở E
Chứng minh rằng : Tam giác BDE cân
Hết
Trang 10Bài 1 : a) Tìm các chữ số a, b, c sao cho 1ab2c 1152
b) Tìm n để n4 + n +1 là số nguyên tố
Bài 2 :a) Chứng minh rằng 9 99 9 99 10
−
b) Chứng minh rằng : 0.7 (7 1968 1970 − 3 68 70) là số nguyên
Bài 3 : Số nào lớn hơn :
a) 55555555575555555553 hay 66666666696666666664
b)
1 1995
1 1995
1997
1996 +
+ và
1 1995
1 1995
1995
1994 + +
Bài 4 : Tìm nghiệm dương của hệ phương trình :
a)
= + +
= + +
= + +
4 18
6
2 2 2
z y x
z y x
z y x
b)
−
= +
−
= +
−
= +
1 4
1 4
1 4
y x z
x z y
z y x
Bài 5 : Giải phương trình :
a) 2 3 − 3 = x 3 − y 3 b)
x
x x x
x−1 − 1−1 = −1
Bài 6 : Cho hình vuông ABCD và một tứ giác MNPQ có 4 đỉnh thuộc bốc cạnh hình vuông.
a) Chứng minh rằng : SABCD =
) (
AC
+ + +
b) Xác định vị trí của M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất
Hết