chứng minh mệnh đề

đi ̣nh lí Fermat.. Chứng minh trực tiếp.. Chứng minh gián tiếp CM phản chứng... tự chứng minh.

CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP

2 Áp du ̣ng mê ̣nh đề vào suy luâ ̣n toa

́n ho ̣c

.

hơ ̣p.

MỆNH ĐỀ LÀ GÌ?

 Mê ̣nh đề là mô ̣t câu khẳng đi ̣nh (có thể đúng hoă ̣c sai)

Ví du ̣ :

• số chẵn là số chia hết cho 3

• Số thâ ̣p phân vô ha ̣n tuần hoàn là mô ̣t dãy các chữ số được

lă ̣p đi lă ̣p la ̣i tuần hoàn và vô ha ̣n

☺ Mê ̣nh đề logic (hay mê ̣nh đề)

BÀI 2 : ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TOÁN HỌC

1) Đi ̣nh lí và chứng minh đi ̣nh lí

2) Điều kiê ̣n cần và điều kiê ̣n đủ

3) Đi ̣nh lí đảo, điều kiê ̣n cần và đủ

4) Câu hỏi và bài tâ ̣p

2.1 ĐI ̣NH LÍ VÀ CHỨNG MINH ĐI ̣NH LÍ

 Khái niê ̣m : “Đi ̣nh lí” là mô ̣t phát biểu, mô ̣t khẳng đi ̣nh

mà nó đi ̣nh nghĩa cho mô ̣t khái niê ̣m, tính chất nào đó (toán ho ̣c, vâ ̣t lí, hóa ho ̣c )

VD1: đi ̣nh lí về hai đường thẳng song song

đi ̣nh lí Fermat

 Xét mô ̣t đi ̣nh lí :

“nếu n là số tự nhiên lẻ thì n2- 1 chia hết cho 4”

P : “ với mo ̣i số n tự nhiên lẻ ”, Q : “ n2 – 1 chia hết cho 4 ”

Da ̣ng cơ bản của mô ̣t đi ̣nh lí :

“với mo ̣i x thuô ̣c X, P(x) => Q(x)”

 Chứng minh đi ̣nh lí :

1. Chứng minh trực tiếp

2. Chứng minh gián tiếp (CM phản chứng)

2.1 ĐI ̣NH LÍ VÀ CHỨNG MINH ĐI ̣NH LÍ

1. Chứng minh trực tiếp : (p2 quy na ̣p )

• lấy x tùy ý thuô ̣c X, mà P(x) đúng

• Dùng suy luâ ̣n toán ho ̣c để chỉ ra Q(x) đúng

VD 1: “n là số tự nhiên lẻ thì n2 – 1 chia hết cho 4”

N lẻ : n = 2k+1 với mo ̣i k thuô ̣c N

(2k + 1)2 – 1 = 4k(k + 1) chia hết cho 4

2. Chứng minh gián tiếp : (p2 phản chứng)

• Giả sử tồn ta ̣i x0 thuô ̣c X, mà P(x) đúng

• Nhưng Q(x) sai => mê ̣nh đề sai => mê ̣nh đề đảo của nó

đúng

• Dùng những suy luâ ̣n toán ho ̣c để chỉ ra được là Q(x) sai

2.1 ĐI ̣NH LÍ VÀ CHỨNG MINH ĐI ̣NH LÍ

VD 2: chứng minh đi ̣nh lí : “với mo ̣i số tự nhiên n, nếu 3n+2

là số lẻ thì n là số lẻ.”

a) CM = p2 phản chứng

Giả sử tồn ta ̣i n thuô ̣c N Sao cho 3n+2 là số lẻ thì n là số

chẵn

3n + 2 = 2k + 3 => 3n = 2k+1 (thay k = k’+1) => 3n = 2k’+3

 n = 2/3k’+1 (k’ = 3k”)  n = 2k”+1 hay n là số lẻ(trái với

giả thiết ban đầu)

Vâ ̣y điều giả sử là sai

⇒ Kết luâ ̣n điều ngươ ̣c la ̣i là đúng

Tức là: với mo ̣i số n tự nhiên lẻ, nếu 3n+2 là số lẻ thì n là số

lẻ

CM = p2 trực tiếp (tự chứng minh)

2.2 ĐIỀU KIỆN CẦN, ĐIỀU KIỆN ĐỦ

Đi ̣nh lí có da ̣ng :

“với mo ̣i x thuô ̣c X, P(x) => Q(x)”

Ta nói :

P(x) là điều kiê ̣n đủ để có Q(x)

Q(x) là điều kiê ̣n cần để có P(x)

VD : “với mo ̣i số tự nhiên n, nếu n chia hết cho 6 thì n chia

hết cho 3”

P(n) : “n có tổng các chữ số chia hết cho 6”

Q(n) : “n chia hết cho 3”

Nhâ ̣n xét : n chia hết cho 6 thì chắc chắn cũng chia hết cho

3, nhưng n chia hết cho 3 thì chưa chắc đã chia hết cho 6.

2.3 ĐI ̣NH LÍ ĐẢO, ĐK CẦN VÀ ĐỦ

Đi ̣nh lí đảo của mô ̣t đi ̣nh lí : là đi ̣nh lí đảo lấy kết quả của

đi ̣nh lí ban đầu làm giả thiết, và lấy giả thiết của đi ̣nh lí ban đầu làm kết quả suy ra của nó

VD :

Đi ̣nh lí B : “với mo ̣i x thuô ̣c X, nếu P(x) đúng thì Q(x) đúng”

Đi ̣nh lí A : “với mo ̣i x thuô ̣c X, nếu Q(x) đúng thì P(x)

đúng”

B : go ̣i là đi ̣nh lí thuâ ̣n

A : go ̣i là đi ̣nh lí đảo của B

Nếu A và B đều đúng ta nói:

• P(x) là điều kiê ̣n cần và đủ để có Q(x)

Các cu ̣m từ tương đương: nếu và chỉ nếu, khi và chỉ khi

2.3 ĐI ̣NH LÍ ĐẢO, ĐK CẦN VÀ ĐỦ

Bài tâ ̣p áp du ̣ng : sgk

2.1 ĐI ̣NH LÍ VÀ CHỨNG MINH ĐI ̣NH LÍ