Một số cách chứng minh bổ đề farkas

LỜI CAM ĐOANTôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp đại học chuyên nghành Toán với đề tài “Một số cách chứng minh bổ đề Farkas’’ được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân, không

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày khóa luận, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy ThS Nguyễn Quốc Tuấn đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thiện khóa luận này

Trong quá trình học tập, đặc biệt là trong suốt quá trình làm khóa luận tôi

đã nhận được sự động viên chỉ bảo, tạo điều kiện của các thầy cô tham gia giảng dạy, công tác tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Qua đây, tôi xin được gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong tổ Giải tích, khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn sự giúp đỡ, quan tâm, động viên của gia đình, bạn bè trong suốt thời gian vừa qua

Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2013 Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Huyền

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp đại học chuyên nghành Toán với

đề tài “Một số cách chứng minh bổ đề Farkas’’ được hoàn thành bởi chính sự

nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ khóa luận nào đã có trước đó

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện khóa luận, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với lòng trân trọng và biết ơn

Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Huyền

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương 1:Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Không gian vector định chuẩn 4

1.1.1 Khái niệm không gian vector 4

1.1.2 Vector độc lập tuyến tính, vector phụ thuộc tuyến tính 5

1.1.3 Khái niệm không gian định chuẩn 5

1.1.4 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn 6

1.2 Toán tử tuyến tính 8

1.2.1 Định nghĩa 8

1.2.2 Điều kiện liên tục 8

1.2.3 Toán tử nghịch đảo 9

1.3 Phiếm hàm tuyến tính 10

1.3.1 Định nghĩa 10

1.3.2 Phiếm hàm song tuyến tính 10

1.4 Không gian hillbert 11

1.4.1 Tích vô hướng 11

1.4.2 Bất đẳng thức Schwarz 11

1.4.3 Định nghĩa không gian Hilbert và ví dụ 12

1.4.4 Tính trực giao, hình chiếu 13

1.4.5 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính trên không gian Hillbert 15

1.5 Tập lồi 15

1.5.1 Định nghĩa và tính chất 15

1.5.2 Bao lồi và bao lồi đóng 17

1.5.3 Các định lý tách 17

1.6 Hệ phương trình tuyến tính 19

Chương 2:Một số cách chứng minh bổ đề Farkas 23

2.1 Bổ đề Farkas 23

2.2 Một số cách chứng minh bổ đề Farkas 24

2.2.1 Cách chứng minh thứ nhất 25

2.2.2 Cách chứng minh thứ hai 29

2.2.3 Cách chứng minh thứ ba 31

2.2.4 Cách chứng minh thứ tư 32

Chương 3: Ứng dụng của bổ đề Farkas 35

KẾT LUẬN 37

TÀI LIỆU THAM KHẢO 38

MỞ ĐẦU

Như chúng ta đã biết, bổ đề Farkas được sử dụng rộng rãi trong Toán học

Bổ đề được công bố lần đầu tiên năm 1898 ở Hungary, nhưng chỉ được biết đến rộng rãi tại Đức năm 1902 Trong những thập niên vừa qua, bổ đề Farkas được mở rộng và phát triển với nhiều biến thể và nhiều phương pháp chứng minh khác nhau

Hiện nay, đã có một số sách chuyên đề viết về bổ đề Farkas và các ứng dụng của nó trong Toán học cũng như trong thực tiễn đời sống và cũng đã có một số sinh viên nghiên cứu và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp đại học với đề tài liên quan đến bổ đề Farkas Với mục đích tìm hiểu sâu hơn nữa về bổ đề Farkas, các biến thể của bổ đề Farkas, các phương pháp khác nhau để chứng minh bổ đề Farkas và ứng dụng của bổ đề Farkas trong thực tế Cũng là để tích lũy kinh nghiệm cho bản thân phục vụ cho công tác học tập, giảng dạy sau này, đồng thời giới thiệu cho các bạn sinh viên có cái nhìn tổng quan và sâu sắc hơn

về bổ đề Farkas và ứng dụng của bổ đề Farkas

Vì những lý do trên cùng với sự góp ý động viên và tận tình giúp đỡ của các thầy cô, đặc biệt là thầy ThS Nguyễn Quốc Tuấn, với sự đam mê của bản thân tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài

"Một số cách chứng minh bổ đề Farkas"

Dựa trên những kết quả đã có và các tài liệu tham khảo có liên quan tới bổ

đề Farkas, trong khóa luận này, tôi đã nghiên cứu về bổ đề Farkas, các phương

pháp khác nhau để chứng minh bổ đề Farkas và ứng dụng của bổ đề Farkas trong kinh tế

Khóa luận của tôi gồm 3 chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương này hệ thống lại các khái niệm cơ bản cũng như các tính chất liên quan đến không gian định chuẩn, không gian Hillbert, tập lồi, hệ phương trình tuyến tính để chuẩn bị cho việc trình bày và giới thiệu về bổ đề Farkas cũng như một số cách chứng minh bổ đề Farkas

Chương 2 Một số cách chứng minh bổ đề Farkas

Chương này nghiên cứu về bổ đề Farkas, các biến thể của bổ đề Farkas và các phương pháp khác nhau để chứng minh bổ đề Farkas Chứng minh gốc của Farkas đã được trình bày nhiều trong một số tài liệu chuyên nghành nên trong khóa luận tôi đưa ra bốn cách chứng minh khác của bổ đề Farkas:

1) Chứng minh của C G Broyden đã được công bố năm 1988 Chứng minh này được trình bày dựa trên một tính chất của ma trận trực giao

2) Chứng minh của A Dax được công bố năm 1997 Chứng minh này của Dax có thể xem như là chứng minh gián tiếp tính chất đóng của tập lồi C:Ax x: 0

3) Chứng minh của V Chandru, C Lassez, J L Lassez được công bố năm 2004 Trong chứng minh này, tác giả đã sử dụng phương pháp Fourier – Motzkin để loại trừ các biến trong các bất đẳng thức

Phương pháp này có thể được xem như một trường hợp đặc biệt của định lý loại trừ lượng hóa của Tarsky

4) Chứng minh của D Bartl được công bố năm 2008 Tác giả trình bày chứng minh này thông qua chứng minh một bài toán tổng quát của

bổ đề Farkas

Chương 3 Ứng dụng của bổ đề Farkas

Chương này nghiên cứu về ứng dụng của bổ đề Farkas trong việc giải bài toán kinh tế

Mặc dù khóa luận hoàn thành với sự cố gắng của bản thân, song do thời gian có hạn và đây cũng là vấn đề mới đối với bản thân tôi, nên trong quá trình viết cũng như quá trình in ấn khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Tôi kính mong các thầy, cô giáo và các bạn đóng góp ý kiến giúp tôi hoàn thành khóa luận của mình

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là thầy ThS Nguyễn Quốc Tuấn đã tận tình hướng dẫn và tạo điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành khóa luận.

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian vector định chuẩn

1.1.1 Khái niệm không gian vector

Định nghĩa 1.1 Một tập X (mà các phần tử có thể là những đối tượng bất kỳ)

được gọi là một không gian vector (hay một không gian tuyến tính) nếu:

a) Ứng với mỗi cặp phần tử ,x y của X ta có, theo một quy tắc nào đó, một phần tử của X , gọi là tổng của x với y và được ký hiệu x y; ứng với

mỗi phần tử x của X và mỗi số thực  ta có, theo một quy tắc nào đó, một phần tử của X gọi là tích của x với , ký hiệu x

b) Các quy tắc nói trên thỏa mãn tám điều kiện (tiên đề) sau đây:

1) x y  yx, x y, X , (tính giao hoán của phép cộng);

2) (x y) z x(yz), x y z, , X (tính kết hợp của phép cộng); 3) Tồn tại một phần tử 0 sao cho x 0 x,  xX (phần tử này gọi là phần tử không);

4) Ứng với mỗi phần tử x thuộc X ta có một phần tử x thuộc X sao cho x ( x)0 (phần tử x được gọi là phần tử đối của x );

5) 1 xx , x X ;

6) ( x ) = ( ) x , x X , (,  là những số bất kỳ);

7) (+) x =  x +  x , x X ;

8) (xy) =  x +  y, x y, X

Các phần tử của một không gian vector thường gọi là vector

1.1.2 Vector độc lập tuyến tính, vector phụ thuộc tuyến tính

Một tổ hợp tuyến tính của các vector x x1, 2, ,x k thuộc X là một tổng có dạng 1 1x 2 2x  k x k Các vector x x1, 2, ,x k gọi là độc lập tuyến tính nếu bất cứ tổ hợp tuyến tính nào của các vector ấy mà đã bằng không thì phải có mọi

hệ số bằng không, nghĩa là 1 1x 2x2  k x k 0 nhất thiết phải kéo theo

1.1.3 Khái niệm không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.2 Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực , ký hiệu là  và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây:

1) x 0 ; x = 0  x0, x X ;

2) x  x , x X ,   , (tính thuần nhất);

3) x y  x  y , x y, X (bất đẳng thức tam giác)

Số x gọi là chuẩn của vector x Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn là X Các tiên đề 1) 2) 3) gọi là hệ tiên đề chuẩn

1.1.4 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn

Trong không gian định chuẩn ta có:

1) Dãy điểm  x n của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới điểm

xX , nếu lim n

  hay x n  x n   2) Nếu x n x0 thì x n  x0 nói khác đi chuẩn x là một hàm liên tục của x

3) Mọi dãy hội tụ đều bị chặn, tức là nếu x n hội tụ thì tồn tại K , với

mọi n  x n  K

4) Nếu x n x0, y n  y0 thì x n  y n x0  y0 Nếu x n x0,n 0 thì

0 0

  Nói khác đi, các phép toán x y và x là liên tục

5) Dãy điểm  x n trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản nếu

,

   6) Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ

Ví dụ 1.1 Đối với số thực bất kỳ x  , ta đặt

x  x (1.1) Nhờ các tính chất về giá trị tuyệt đối của số thực, công thức (1.1) cho một chuẩn trên

Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là 1 Dễ thấy 1 là không gian Banach

Ví dụ 1.2 Cho không gian vector k chiều k, trong đó

Ta dễ thấy (1.2) xác định một chuẩn trên không gian k Hơn nữa,

 k,   là không gian Banach

Ví dụ 1.3 Cho không gian vector 2  

x x





  (1.3)

Ta dễ thấy (1.3) xác định một chuẩn trên không gian l2 Hơn nữa, l2,  

là không gian Banach

Ví dụ 1.4 Cho không gian vector a b,  là tập các hàm số liên tục trên a b,  Đối với hàm số bất kỳ xx t  a b,  ta đặt

Ta dễ thấy (1.4) xác định một chuẩn trên không gian a b,  Hơn nữa,

 

 a b, ,   là không gian Banach

Nhận xét 1.1 Các chuẩn thỏa mãn (1.1), (1.2), (1.3), (1.4) là các chuẩn Euclide

2) A(x)Ax với mọi xX và mọi số 

1.2.2 Điều kiện liên tục

Định nghĩa 1.4 Ánh xạ A được gọi là liên tục tại điểm x0X , nếu ta có

Nhận xét 1.2 Giả sử X Y, là hai không gian định chuẩn, một toán tử A từ X

vào Y được gọi là liên tục nếu x n x0 luôn kéo theo Ax n  Ax0

Định lý 1.1 Một toán tử tuyến tính A từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn

Định nghĩa 1.5 Giả sử X Y, là hai không gian định chuẩn Ta gọi một toán tử tuyến tính A X: Y là bị chặn nếu có một hằng số K 0 thỏa mãn

  ,

A x  K x  x X Định nghĩa 1.6 Ta gọi chuẩn của toán tử tuyến tính A , ký hiệu A , là số

Ta gọi B là toán tử nghịch đảo của A, ký hiệu A1

Nhận xét 1.3 Giả sử A là toán tử tuyến tính đi từ không gian định chuẩn X vào không gian không gian định chuẩn Y Xét phương trình

Ax  y (1.6) Toán tử A có nghịch đảo khi và chỉ khi KerA {0}, tức là phương trình Ax 0chỉ có một nghiệm duy nhất x 0

Định lý 1.3 Nếu một toán tử tuyến tính liên tục A X: Y có nghịch đảo A1liên tục thì

Ax m x , x X , (1.7)

Định nghĩa 1.8 Cho một không gian định chuẩn X Một hàm số f xác định

trên X và lấy trị là số thực gọi là một phiếm hàm trên X Phiếm hàm đó gọi là tuyến tính nếu:

1) f x( 1x2) f x( )1  f x( )2 với mọi x x1, 2X ;

2) f(x) f x( ) với mọi xX và mọi số 

Định nghĩa 1.9 Không gian gồm tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X

được gọi là không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của X , ký hiệu X *Nhận xét 1.4 Không gian X cùng với  được xác định trong (1.5) lập thành một không gian định chuẩn

1.3.2 Phiếm hàm song tuyến tính

Định nghĩa 1.10 Cho một không gian định chuẩn X Một hàm số f xác định

trên X  X được gọi là một phiếm hàm song tuyến tính, nếu với mỗi x cố định

nó tuyến tính theo y và với mỗi y cố định nó tuyến tính theo x

1.4 Không gian hillbert

1.4.1 Tích vô hướng

Định nghĩa 1.11 Cho X là không gian tuyến tính trên Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X X vào , ký hiệu ,

Các phần tử của , , , x y z gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số x y,

gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y , các tiên đề 1), 2), 3), 4) gọi là hệ

tiên đề tích vô hướng

Nhận xét 1.5 Một số tính chất đơn giản của tích vô hướng:

khi đó, với mọi , x yX ta có bất đẳng thức Schwarz

1.4.3 Định nghĩa không gian Hilbert và ví dụ

Định nghĩa 1.13 Không gian tiền Hillbert H, ,  là không gian Hillbert nếu 

H cùng với chuẩn x  x x, , xH là không gian Banach

Ta gọi một không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian H

Ví dụ 1.5 Ký hiệu k là không gian vector thực k chiều Với mọi x( )x n

thuộc k, mọi y  y n thuộc k ta đặt

1.4.4 Tính trực giao, hình chiếu

Trong không gian Hillbert, nhờ tích vô hướng, có thể định nghĩa khái niệm trực giao giống như trong không gian 3 thông thường

Định nghĩa 1.14 Ta nói hai vector x y của một không gian Hillbert , H trực

giao với nhau, ký hiệu x y nếu x y , 0

Từ định nghĩa ấy có thể suy ra ngay các tính chất đơn giản sau:

1) Nếu x y thì y x Ta có xx khi và chỉ khi x 0 Vector 0 trực

giao với mọi vector x ;

2) Nếu x y y1, 2, ,y n thì x 1 1y 2y2 n y n;

3) Nếu x y n, y n  y n(  ) thì x y;

4) Nếu tập M trù mật trong H thì M gồm một phần tử duy nhất là 0 ,

nghĩa là xM kéo theo x 0;

5) Nếu x y thì x y 2  x 2  y 2 (định lý Pythagore)

Định lý 1.5 Giả sử M là một không gian con đóng của một không gian Hillbert

H Khi đó, bất kỳ phần tử x nào của H cũng có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng

i j và ij 0 với i j), (i 1, 2, ), (j 1, 2, ) Như vậy, một hệ trực chuẩn

là một hệ trực giao (các phần tử của nó trực giao từng đôi một) và chuẩn hóa

i

e 1 với mọi i (i 1, 2, )

Khi  e n là một hệ trực chuẩn thì với mọi xH số i  x e, i , được gọi

là hệ số Fourier (hay khai triển Fourier) của x theo hệ  e n Ta có thể chứng minh dễ dàng các tính chất sau đây:

Định lý 1.6 Cho  e n là một hệ trực chuẩn, n  x e, n là các hệ số Fourier của

x đối với e n Các mệnh đề sau đây tương đương:

Định lý 1.7 (Riesz – Fischer) Cho một hệ trực chuẩn đầy đủ  e n trong không gian Hillbert H Nếu một dãy  i thỏa mãn

1

i i

1

i i i





1.4.5 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính trên không gian Hillbert

Định lý 1.8 (F Riesz) Với mỗi vector a cố định thuộc một không gian Hillbert

H , hệ thức

( ) f x  a x, (1.13) xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên không gian H với

Ngược lại, bất kỳ phiếm hàm tuyến tính liên tục f nào trên một không

gian Hillbert H cũng đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng (1.13)

1.5 Tập lồi

1.5.1 Định nghĩa và tính chất

Giả sử X là không gian tuyến tính, là tập các số thực

Định nghĩa 1.17 Tập A X được gọi là tập lồi, nếu

x x A   x  x A

Nhận xét 1.6 Theo định nghĩa, tập  được xem là tập lồi

Định nghĩa 1.18 Giả sử A X x x; 1, 2A Đoạn nối x x1, 2 được định nghĩa

[ ,x x ] { xA x: x (1) ,0x 1}

Nhận xét 1.7 Tập A là tập lồi nếu mọi x x1, 2A thì [ ,x x1 2] A

Ví dụ 1.6 Các nửa không gian là tập lồi; các tam giác và các hình tròn trong mặt phẳng là các tập lồi; hình cầu đơn vị trong không gian Banach là các tập lồi, … Mệnh đề 1.1 Giả sử A  X(I) là các tập lồi, với I là tập chỉ số bất kỳ Khi đó, tập

Mệnh đề 1.3 Giả sử X i là không gian tuyến tính, tập A i là tập lồi, A i  X i

(i1, 2, ,m) Khi đó, tích Descartes A1 A m là tập lồi trong X1 X m Mệnh đề 1.4 Giả sử X Y, là các không gian tuyến tính, T X: Y là toán tử tuyến tính Khi đó

1) Nếu A là tập lồi trong X thì ( )T A là tập lồi trong Y;

2) Nếu B là tập lồi trong Y thì nghịch ảnh T1( )B của B là tập lồi

Định nghĩa 1.19 Vector xX gọi là tổ hợp lồi của các vector x x1, 2, ,x mX

x





Định lý 1.9 Giả sử A là tập lồi, A X , x x1, 2, ,x mA Khi đó, tập A chứa tất cả các tổ hợp lồi của các x x1, 2, ,x m

1.5.2 Bao lồi và bao lồi đóng

Định nghĩa 1.20 Giả sử A là tập lồi, A X Khi đó, giao của tất cả các tập lồi chứa A được gọi là bao lồi của tập A , ký hiệu là co A

Định lý 1.10 Tập co A trùng với tập tất cả các tổ hợp lồi của A

Hệ quả 1.3 Tập A là lồi khi và chỉ khi A chứa tất cả các tổ hợp lồi của A Định nghĩa 1.21 Giả sử A là tập lồi, A X Khi đó, giao của tất cả các tập lồi đóng chứa A được gọi là bao lồi đóng của tập A, ký hiệu là co A

Mệnh đề 1.5 Giả sử A là tập lồi, A X Khi đó:

1) Phần trong int A và bao đóng A của A là các tập lồi;

2) Nếu x1intA, x2A thì [ ,x x1 2) { x1(1)x2: 01}intA

Nhận xét 1.8 Nếu int A   thì AintA, intAintA

Định lý 1.11 Bao lồi đóng của tập A trùng với bao đóng của bao lồi của A , hay

coAcoA

1.5.3 Các định lý tách

Định nghĩa 1.22 Không gian vector tôpô có một cơ sở gồm những lân cận lồi của điểm gốc được gọi là không gian vector lồi địa phương (không gian lồi địa phương) Định nghĩa 1.23 Cho các tập A và B nằm trong không gian lồi địa phương X Ta nói phiếm hàm tuyến tính liên tục x * 0 tách A và B nếu tồn tại số  sao cho

x y  x x

  ,  x A, y B (1.15) Nếu (1.15) có dạng