Nâng cao năng lực cho sinh viên ngành sư phạm toán về dạy học phần kiến thức quan hệ vuông góc trong hình học không gian lớp 11

Dạng 13: Ứng dụng phép chiếu vuông góc để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ..... Do tính trừu tượng của hình học không gian, nhiều học sinh gặp khó khăn khi giải các d

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN - -

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Sinh viên thực hiện : Lê Văn Trung

Lớp : 15ST

Đà Nẵng, tháng 6 năm 2019

Trong suốt thời gian nghiên cứu, bản thân tôi đã cố gắng khắc phục mọi khó khăn để hoàn thành khóa luận Tuy nhiên vì thời gian có hạn, kiến thức còn hạn chế nên không tránh khỏi những sai sót Vì vậy kính mong các thầy cô giáo và các bạn góp ý, bổ sung, giúp đỡ để bản thân tôi hoàn thiện hơn nữa đề tài

nguyên cứu của mình

XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN!

Đà nẵng, tháng 6 năm 2020

Sinh viên

Lê Văn Trung

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 2

MỤC LỤC 3

MỞ ĐẦU 4

1 Lý do chọn đề tài: 5

2 Mục đích nghiên cứu: 5

3 Nhiệm vụ nghiên cứu: 5

4 Phương pháp nghiên cứu: 5

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 7

1.1 Hai đường thẳng vuông góc 7

1.1.1 Định nghĩa 7

1.1.2 Nhận xét 7

1.2 Đường thẳng vuông góc mặt phẳng 7

1.2.1 Định nghĩa 7

1.2.2 Định lí 8

1.2.3 Tính chất 8

1.2.4 Sự liên quan giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc 8

1.2.5 Phép chiếu vuông góc và định lý ba đường vuông góc 9

1.3 Hai mặt phẳng vuông góc 10

1.3.1 Định nghĩa 10

1.3.2 Tính chất 10

1.4 Khoảng cách 11

1.4.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 11

1.4.2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 12

1.4.3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song 12

1.4.4 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song 12

1.4.5 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 12

1.4.6 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 13

CHƯƠNG 2: NÂNG CAO NĂNG LỰC CHO SINH VIÊN NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN VỀ DẠY HỌC PHẦN KIẾN THỨC QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 13

2.1 Dạng 1: Tính góc giữa hai đường thẳng 13

2.2 Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc 14

2.3 Dạng 3: Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng 16

2.4 Dạng 4: Xác định thiết diện đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng 17

2.5 Dạng 5: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 18

2.6 Dạng 6: Tính góc giữa hai mặt phẳng 21

2.7 Dạng 7: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc 23

2.8 Dạng 8: Ứng dụng công thức hình chiếu 25

2.9 Dạng 9: Xác định thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với

một mặt phẳng 25

2.10 Dạng 10: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ 27

2.11 Dạng 11: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 29

2.12 Dạng 12: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 32

2.13 Dạng 13: Ứng dụng phép chiếu vuông góc để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 36

KẾT LUẬN 38

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Trong chương trình toán phổ thông, hình học không gian là một môn chiếm một lượng kiến thức lớn Nó đòi hỏi người học phải rèn luyện các thao tác tư duy, đặc biệt là phân tích bài toán để tìm ra lời giải Do tính trừu tượng của hình học không gian, nhiều học sinh gặp khó khăn khi giải các dạng toán, đặc biệt là các dạng toán liên quan đến quan hệ vuông góc

Để giúp các sinh viên nghành sư phạm toán có cái nhìn tổng quan về các dajnng toán thường gặp trong chương trình hình học không gian lớp 11, tôi chọn

đề tài nghiên cứu của khóa luận là: “Nâng cao năng lực cho sinh viên ngành sư phạm toán về dạy học kiến thức hình không gian lớp 11” nhằm nâng cao năng lực cho sinh viên ngành sư phạm toán để có thể dạy tốt hơn trong tương lai

2 Mục đích nghiên cứu:

- Nghiên cứu một số dạng toán và cách giải để hỗ trợ GV trong quá trình dạy học toán, giúp cho HS lĩnh hội và kiến tạo các tri thức toán một cách tốt nhất

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Nghiên cứu cơ sở lí luận

- Nghiên cứu các ví dụ toán có sẵn trong dạy học toán

4 Phương pháp nghiên cứu:

Nghiên cứu một số tài liệu, sách, báo tham khảo có liên quan tới phần hình học không gian trong dạy học toán ở THPT, nhằm hiểu rõ những phương pháp

để từ đó xây dựng bài dạy đạt hiệu quả

5 Bố cục luận văn: Luận văn gồm có 2 chương sau:

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN

1.1 Hai đường thẳng vuông góc

1.2 Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc

1.3 Hai mặt phẳng vuông góc

1.4 Khoảng cách

CHƯƠNG 2: NÂNG CAO NĂNG LỰC CHO SINH VIÊN NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN VỀ DẠY HỌC PHẦN KIẾN THỨC QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN LỚP 11

2.1 Dạng 1: Tính góc giữa hai đường thẳng Phương pháp và ví dụ minh họa

2.2 Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Phương pháp và

2.6 Dạng 6: Tính góc giữa hai mặt phẳng Phương pháp và ví dụ minh họa

2.7 Dạng 7: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Phương pháp và ví dụ minh họa

2.8 Dạng 8: Ứng dụng công thức hình chiếu Phương pháp và ví dụ minh họa

2.9 Dạng 9: Xác định thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng Phương pháp và ví dụ minh họa

2.10 Dạng 10: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ Phương pháp và ví dụ minh họa

2.11 Dạng 11: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Phương pháp và ví dụ minh họa

2.12 Dạng 12: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Phương pháp

và ví dụ minh họa

2.13 Dạng 13: Ứng dụng phép chiếu vuông góc để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Phương pháp và ví dụ minh họa

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1 Hai đường thẳng vuông góc

1.2 Đường thẳng vuông góc mặt phẳng

1.2.1 Định nghĩa: Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (α) nếu

nó vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α)

Vậy d ⊥(α) ⇔ d ⊥ a, ∀a ∈ (α)

=> d ⊥ (α)

1.2.3 Tính chất:

a Tính chất 1: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua 1 điểm cho trước và

vuông góc với một đường thẳng cho trước

b Tính chất 2: Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với đường một mặt phẳng cho trước

1.2.4 Sự liên quan giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc

1.2.5 Phép chiếu vuông góc và định lý ba đường vuông góc

a Định nghĩa: Cho đường thẳng d ⊥ (α) Phép chiếu song song điểm M theo phương d lên mặt phẳng (α) được M’ gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt

phẳng (α) Nói cách khác M’ là hình chiếu của M trên (α)

b Định lí ba đường vuông góc

Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (𝛼) và b là đường thẳng không thuộc (𝛼) đồng thời không vuông góc với (𝛼) Gọi b’ là hình chiếu của b lên (𝛼) Khi đó: a ⊥ b ⟺ a ⊥ b'

c Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng d và mặt phẳng (𝛼):

• Nếu d vuông góc với mặt phẳng (𝛼) thì ta nói góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (𝛼) bằng 900

• Nếu d không vuông góc với mặt phẳng (𝛼) thì góc giữa d với hình chiếu d’ của nó trên (𝛼) được gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (𝛼)

1.3 Hai mặt phẳng vuông góc

{

(P) ⊥ (Q)

a ⊂ (P)(P)∩(Q) = b

a ⊥ b

=> a ⊥ (Q)

c Tính chất 3: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau Nếu từ một điểm thuộc mặt phẳng (P) dựng một đường thẳng vuông góc với mặt (Q) thì đường thẳng này nằm trong (P)

d Tính chất 4: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với một mặt phẳng thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng đó

{

(P)⊥(R)(Q)⊥(R)(P)∩(Q)=△

=>△ ⊥(R)

1.4 Khoảng cách

1.4.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a là MH, với H là hình chiếu của M trên đường thẳng

Kí hiệu: d(M,a) = MH



M

H a

1.4.2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) là MH với H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (α)

Kí hiệu: d(M,(α)) = MH

1.4.3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất

kì thuộc đường này đến đường kia

Kí hiệu: d(a, b) = d(M, b)= MH       (M ∈ a)

1.4.4 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (𝛼) song song với nhau là khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc đường a đến mặt phẳng(𝛼):

Kí hiệu: d[a,(α)] = d[M,(α)] = MH    (M ∈ a)

1.4.5 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

Ký hiệu: d[(α),(β)] = d[a,(β)] = d[A,(β)] =AH     (a ∈ (α),A ∈ a)

1.4.6 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

- Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy gọi là đường vuông góc chung của a, b IJ gọi là đoạn vuông góc chung của a, b

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó

CHƯƠNG 2: NÂNG CAO NĂNG LỰC CHO SINH VIÊN NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN VỀ DẠY HỌC PHẦN KIẾN THỨC QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11

Để nâng cao năng lực cho sinh viên ngành sư phạm toán về dạy học phần kiến thức quan hệ vuông góc trong không gian lớp 11, tôi hệ thống các dạng toán giải liên quan qua việc phân tích các bài toán

2.1 Dạng 1: Tính góc giữa hai đường thẳng

2.1.1 Phương pháp: Để tính góc giữa hai đường thẳng d1, d2 trong không gian

ta có thể thực hiện 2 cách

Cách 1: Tìm góc giữa hai đường thẳng d1, d2 bằng cách chọn một điểm O thích hợp (O thường nằm trên một trong hai đường thẳng)

Từ O dựng các đường thẳng d1′, d2′ lần lượt song song (có thể trùng nếu

O nằm trên một trong hai đường thẳng) với d1 và d2 Góc giữa hai đường thẳng

d1, d2 chính là góc giữa hai đường thẳng d1′, d2′

*Lưu ý 1: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác

cosA = b

2 + c2- a22bc

Cách 2: Tìm hai vecto chỉ phương u⃗⃗⃗⃗ , của hai đường thẳng d1 1, d2

Khi đó góc giữa hai đường thẳng d1, d2 xác định bởi cos(𝑑1, 𝑑2) = |u|u⃗⃗⃗⃗ u1⃗⃗⃗⃗ |2

1

⃗⃗⃗⃗ |.|u ⃗⃗⃗⃗ | 2

*Lưu ý 2: Để tính u⃗⃗⃗⃗ u1 ⃗⃗⃗⃗ , |u2 ⃗⃗⃗⃗ |, |u1 ⃗⃗⃗⃗ | ta chọn ba vecto a , b⃗ , c không đồng phẳng 2

mà có thể tính được độ dài và tính góc giữa chúng, sau đó biểu thị các vecto

I





2.1.2 Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và

AD, biết AB = CD = a, MN = a√3

2 Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD

⇒ MIN̂ = 1200 suy ra (AB,CD̂ ) = 600

2.2 Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

2.2.1 Phương pháp: Để chứng minh d1 ⊥ d2 ta có thể thực hiện theo các cách sau:

Cách 1: Chứng minh d1 ⊥ d2 ta chứng minh u⃗⃗⃗ u1 ⃗⃗⃗ = 0 trong đó u2 ⃗⃗⃗⃗ , u1 ⃗⃗⃗⃗ lần lượt 2

là các vecto chỉ phương của d1 và d2

Ta có: CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos600-|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos600

2.2.3 Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có CD= 4

3AB Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, AC, BD Cho biết JK = 5

6AB Chứng minh góc giữa đường thẳng

CD với các đường thẳng IJ và AB bằng 90𝑜

AB ⊥ CD ⇒ IJ ⊥ CD

2.2.4 Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a

Mặt bên SAD là tam giác đều và ở trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M,

N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC, CD Chứng minh AM ⊥ BP

Giải :

Gọi H là trung điểm AD, do tam giác SAD đều nên SH ⊥ AD

Ta có (SAD) ⊥ (ABCD) suy ra SH ⊥ (ABCD)

2.3 Dạng 3: Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng

2.3.1: Phương pháp: Muốn chứng minh đường thẳng d ⊥ (𝜶) ta có thể dung

2.3.2: Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O và

có SA ⊥ (ABCD) Chứng minh BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC)

2.4 Dạng 4: Xác định thiết diện đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng

2.4.1 Phương pháp: Để xác định thiết diện của mặt phẳng (𝜶) đi qua điểm O

và vuông góc với đường thẳng d của một hình chóp ta thực hiện một trong hai cách sau:

Cách 1: Tìm tất cả các đường thẳng vuông góc với d, khi đó (𝛼) sẽ song song hoặc chứa các đường thẳng này và ta chuyển về dạng thiết diện song song như

đã biết

Cách 2: Ta dựng mặt phẳng (𝛼) như sau: Dựng hai đường thẳng a, b cắt nhau cùng vuông góc với d trong đó có một đường thẳng đi qua O, khi đó (𝛼) chính

là mp(a, b)

2.4.2 Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại

A, B; SA ⊥ (ABCD) Gọi M là một điểm trên cạnh AB, (𝜶) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với AB Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (𝜶)

⇒ (α)∩(SAB) = MN//SA, N ∈ SB

{

N∈(SBC)∩(α)

BC⊂(SBC)BC//(α)

⇒ (α)∩(SBC) = NP//BC, P ∈ SC Thiết diện là tứ giác MNPQ

2.4.3 Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều,SA ⊥ (ABC) Gọi (α) là mặt phẳng đi qua B và vuông góc với SC Xác định thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi (α)

Giải

Gọi I là trung điểm của AC, dựng IH ⊥ SC, H ∈ SC

Ta có: {BI ⊥ AC (Vì ∆ABC là tam giác đều)

BI ⊥ SA (Vì SA ⊥ (ABC)

⇒ BI ⊥ (SAC)

Mặt khác IH ⊥ SC nên (BIH) ⊥ SC

Vậy (BIH) chính là mặt phẳng (α) đi qua B và vuông góc với SC

Thiết diện là tam giác IBH

2.5 Dạng 5: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

2.5.1 Phương pháp: Để xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) ta

thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm giao điểm O = a ∩ (α)

Bước 2: Dựng hình chiếu A’ của một điểm A ∈ a xuống (α)

Bước 3: AOA'̂ =φ chính là góc giữa đường thẳng a và (α)

Lưu ý:

- Để dựng hình chiếu A’ của điểm A trên (α) ta chọn một đường thẳng b ⊥ (α) khi đó AA’//b

- Để tính góc 𝜑 ta sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông của

△OAA' Ngoài ra nếu không xác định góc 𝜑 thì ta có thể tính góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) theo công thức sinφ= |u⃗ n⃗ |

|u⃗ ||n⃗ | trong đó 𝑢⃗ là vecto chỉ phương của a còn 𝑛⃗ là vecto pháp tuyến (α)

2.5.2 Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,

SA ⊥ (ABCD) và SA = a√6 Tính

a Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC)

b Góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SBC)

Giải

a Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình vuông ABCD

Ta có: {BO ⊥ AC (Vì ABCD là hình vuông)

BO ⊥ SA (Vì SA ⊥ (ABCD))

⇒ BO ⊥ (SAC)

Suy ra: SO là hình chiếu của SB trên (SAC)

Vậy (SB,(SAC)̂ ) = BSÔ = φ

Trong ∆SBO vuông tại O có:

√1414 ⇒ φ = arcsin 1

Vậy (AC,(SBC)̂ ) = ACĤ = α

Trong ∆SAB vuông tại A có

sinα = AH

AC = a√

6 7

a√2 =√21

7 ⇒ α = arcsin√21

7

2.5.3 Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, O là tâm

của đáy, SO ⊥ (ABCD); M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC Biết góc giữa MN và (ABCD) bằng 600 Tính góc giữa MN và (SBD)

Giải

Cách 1: Kẻ MH//SO, H ∈ OA

Do { MH//SO

SO ⊥ (ABCD)⇒ MH ⊥ (ABCD)

⇒ NH là hình chiếu của MN trên (ABCD)

⇒ MNĤ là góc giữa đường thẳng MN và (ABCD)

Ta có: MH là đường trung bình trong ∆SAO

⇒ H là trung điểm của AO

⇒ CH=3

4CA=3

4√2a=3√2a4 ∆CNH có: HN2 = CN2 + CH2- 2CN.CH.cosNCĤ = (a

2)2 + (3√2a

4 )2 - 2.a

2.3√2a

4 cos450 ⇒ HN=a√52√2

Xét ∆MHN có MN= HN

cos600=

a√5 2√2 1 2

=a√5

√2

MH = NH.tan600=a√15

2√2 Gọi I là trung điểm của OB, J là trung điểm của SO thì MJ//IN, MJ = IN và

Ta có: MJ là đường trung bình trong ∆SAO ⇒ MJ // AO (1)

Lại có: {AO ⊥ SO (vì SO⊥(ABCD))

AO ⊥ BD (Vì ABCD là hình vuông) ⇒ AO ⊥ (SBD) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ MJ ⊥ (SBD)

⇒ MJ ⊥ JK