thiết kế sàn bê tông ứng lực trước

La force de déviation par unité de longueur :2 8 l f P u  ff P.tan  Figure 4.2 : Charges équivalentes 4.1.2 Principe de distribution des câbles Les deux disposition principale de la pr

CHAPITRE 4 : CALCUL DU PLANCHER

- Solution de la structure :

Plancher- champignon en béton précontraint post – tendu.

- Approximativement, les planchers sont infiniment rigides dans leur plan, ils nesubissent que les charges verticales et transmettent la charge horizontale aux voiles et

aux poteaux Les calculs seront réalisés pour un étage courant (6 e étage) qui supporte seulement les charges verticales.

Y1

Y2 Y3

Y4 Y5 Y6

La force de déviation par unité de longueur :

2

8

l

f P

u 

ff

P.tan 

Figure 4.2 : Charges équivalentes

4.1.2 Principe de distribution des câbles

Les deux disposition principale de la précontrainte dans les plancher sont la

précontrainte répartie et la précontraint par bande d'appui Je choisis la précontrainte répartie pour cet ouvrage.

Dans cette disposition, un certain nombre de câbles sont répartis sur toute lalargeur du champ alors que d'autres sont concentrés dans les bandes d'appui Lescâbles de champ d'une direction chargent les câbles de la bande d'appui dans l'autredirection, ce qui fait que la même charge doit être reprise deux fois avant d'êtretransmise à la colonne

Les avantages du précontraint répartir :

 Le plus grande nombre de câbles permet d'utiliser des unités plus petites(dans ce cas, ce sont des mono - torons gainés graissés), et par conséquent de disposerd'une plus grande hauteur utile

 Un meilleur balancement des charges uniformément réparties

4.1.3 Précontrainte répartie

Pour la simplification, on suppose que chaque bande d'appui ne comporte qu'uncâble, et que sa largeur est donc négligeable La charge balancée par des câblesrépartis dans le champ de largeur lx , ly est d'abord transmise aux câbles des bandesd'appui de l'autre direction, qui la reprennent et la transmettent aux colonnes

Figure 4.3 : Balancement des charges par la précontrainte répartie.

La quantité de précontrainte répartie requise en fonction de la chargeéquivalent u = q ( - degré de balancement) La charge équivalente u se compose deforces de déviation ux selon la direction x, et uy selon la direction y Si l’on supposeque c’est le cas d’une trame carrée, les charges équivalents des câbles de chaquedirection valent : ux=0,5.u et uy=0,5.u Les réactions ½ux.lx=0,25.u.lx des câbles queproduisent les charges équivalentes ux sont transmises aux des bandes d’appui A-D etB-C En conséquence, les charges équivalentes u’y de ces câbles doivent balancer lesréaction 0,25.u.lx provenant des câbles de champ de la direction x De même, lesréactions 0,25.u.ly de la charge équivalent uy doivent reprise par les charges équivalentu’x Les charges équivalentes uxtot et uytot pour un champ complet valent donc :

uxtot = ux.ly + 2.u’x = 0,5.u.ly + 2.0,25.u.ly = u.ly

uytot = uy.lx + 2.u’y = 0,5.u.lx + 2.0,25.u.lx = u.lx

Cela signifie que les câbles de chaque direction doivent balancer la chargetotale u On constate que la qualité de précontrainte ainsi déterminée doit être répartiepour moitié dans le champ et pour moitié dans la bande d’appui Il est toujoursnécessaire dans les planchers-dalles de transmettre l’intégralité de la charge dans lesdeux directions

x

x x

f

ul P

f

ul P

y x x

A

l P n





 et

p p

x y y

A

l P n

u'y=ux.lx/2 uy.ly/2

u'x=uy.ly/2

A

B

C D

lx

ly

La quantité de précontrainte doit être répartie pour moitié dans le champ et pourmoitié dans la bande d'appui.

Cependant, en practice, la largeur de la bande d'appui n'est pas infiniment

étroite et plusieurs câbles y sont disposés D'autre part, les tracés paraboliques descâbles continus ne présentent pas de cassure à l'axe des appuis, mais sont raccordésaux câbles des travées adjacentes par des tronçons de courbure convexe Ça conduit à

la constitution de différentes zones dans lesquelles agissent diverses chargeséquivalentes Mais, un calcul précis des forces agissant dans ces diverses zones n'est

en général pas nécessaire Lors du dimentionnement d'un plancher - champignon,

l'approche de la figure ci-dessus est suffisante.

4.2 Matériaux

4.2.1 Béton

Pour les éléments en béton précontraint, on prend le béton de marque 350

Les caractéristiques du béton suivant la norme vietnamienne :

- Résistance de calcul à la compression de calcul

k = 1,64 (avec une probabilité sur cinq d'être dépassé)

s = 0,135 - écart-type

 = 1,2 - coefficient qui transmue le résultat d'essai sur des éprouvettescylindriques circulaires (D=16 cm H = 32 cm) en celui des éprouvettes cubiques(a=H=15cm)

- Résistance à la traction : ft = 0,06fc + 0,6 = 0,06.22,7 + 0,6 = 1,96 MPa

J'utilise le câble non - adhérent du type T15

Les paramètres techniques des câbles selon ASTM A416-94 :

 Aire de la section Ap = 1,4 cm2

 Diamètre de la gaine D = 15,2 mm

 Poids par mètre g = 1,095 kG/m

 Module d'élasticité Ep = 190 000 MPa

 Contrainte de rupture garantie fprg=1860 MPa

 Limite élastique conventionnelle à 1‰ fpeg=1580 MPa

 Tension à l'origine maximale:

Selon BPEL 91 : po max = min (0,8 fprg ; 0,9 fpeg) = 1422 MPaSelon TCVN 5574-91 : po+ P0,8Rac

avec P= 0,05po , Rac = 1860 Mpa  po1417MPaChoix po = 1400 Mpa

4.3 Calcul du plancher

4.3.1 Général

4.3.1.1 Détermination de la charge équivalente

On recommande de prendre la valeur de charge équivalente u environ de 0,8 à

1,0 fois de la charge permanente Dans ce cas, les charges permanentes sont :

 Poids propre des couches constructives : 0,94 kN/m2

 Poids propre de la dalle en BA : 0,25.25 = 6,25 kN/m2

 Poids propre du mur : 0,855 kN/m2

La valeur totale des charges permanentes est g = 8,045 kN/m2

Choix u=8 kN/m 2

4.3.1.2 Schéma des câbles

x2

y1 y2

y4 y5

y6 y6

C3 C1 C3 C3

C2

Figure4.4 : Schéma des câbles du plancher – champignon précontraint

Le plan du plancher est symétrique, on va calculer d’après la direction de l’axe

X La direction de l’axe Y est disposée identiquement

4.3.2 Tracée théorique des câbles

4.3.2.1 Déterminer l’excentricité maximale et la flèche du câble

L’épaisseur de l’enrobage abv est de 20mm, le diamètre de l’armature passive estpréliminaire choisi de 12mm, le diamètre de l’acier précontraint  est de 20mm

 L’excentricité maximale au appui :

mm d

25022

 L’excentricité maximale à la travée :

mm d

25022

4.3.2.2 Tracée du câble C1

Figure : Tracée théorique du câble C1

À la travée Y1 – Y2 , on prendre la flèche égale à la flèche maximale, donc lavaleur de la force d’ancrage P :

m kN x

x f

uL

166,08

5,1088

2 2

x

x P

uL

6648

4,888

2 2

f

0632,010500

166442



rad

x l

f

0404,010500

1064



rad x

Figure : Tracée théorique du câble C2

À la travée Y1 – Y2 , on prendre la flèche égale à la flèche maximale, donc lavaleur de la force d’ancrage P :

m kN x

x f

uL

125,08

5,1088

2 2

m m

x

x P

uL

8828

4,888

2 2

H l

f

0397,010500

8310500

12544



rad

x l

H l

f

0555,010500

8310500

12544



rad

x l

f

0305,010500

804

Ce point se trouve sur la droite joignant les sommets des deux paraboles

Travée de rive

Comme l’indique la figure, on a la position des points comme suivant :

0,486.l l

F

Dz

zEE

z

Fzd

h/2

h

h/2

zD = h – d ; zF = zD – f ; zE = zF + 0,8f

Où : d - enrobage, d= abv + dcable +  = 20+20+12 = 42mm

h - épaisseur de la dalle, h = 250mm

f - flèche maximale de câble

4.3.3.2 Tracé réel du câble C1

Point C, E : zC = zE = zD + 0,8f = 42 + 0,8x166 = 175mmPoint H : zH = zF – f = 208 - 106 = 102mm

Point C : zC = 1,66.e = 1,66x83 = 138 mmPoint D : zD = h – d = 250 - 42 = 208mmPoint F : zF = zD - f= 208 - 80 = 128mmPoint E : zE = zF + 0,8f= 128 + 0,8x80 = 192mm

4.3.4 Disposition des câbles

Pour le plancher - dalle, je peux en première approximation admettre quel'ensemble des pertes de précontrainte dans les câbles est égale à 20% de la forceinitiale de précontrainte à l'ancrage

Mpa x

po



Les câbles sont disposés selon le règle : 60% de nombre de câbles sont disposés

à la bande d’appui et 40% sont disposés à la bande en travée

4.3.4.1 Câble C 1

Nombre de câbles C1

1,7110

4,11120

8,1610664

pl n

p p

4,11120

3,610882

pl n

p p



Choix n = 35

4.3.5 Calcul des pertes de tension du câble C1

4.3.5.1 Pertes de tension suivant TCVN 356-2005

- Perte de tension par frottement

-Perte de tension par recul à l'ancrage

Nous avons : anc E p

Où : l1- déformation des plaque, l1 = 2x1 = 2mm( 2 bouts d’ancrage)

l2- déformation des écrous, l2 = 2x1 = 2mm

l - longueur du câble, l = 32600mm

MPa x

E l

l l

p

6,32

10)22

-Perte de tension due au retrait du béton

Puisque le béton utilisé est de marque 350 inférieur à 400, on peut prend lavaleur forfaitaire r = 40 MPa

-Perte de tension due à la relaxation de l'acier

MPa x

1,022

,0



Dans laquelle Rac = 18600 kG/cm2 est la résistance nominale de la précontrainte

-Perte de tension due au fluage du béton

Elle est prise égale à :

o

b fl

R





 150 lorsque b  0,75.Ro

Où :  - coefficient, =1 au cas de durcissement naturel

Ro - résistance nécessaire du béton avant la mise en tension, Ro doitsatisfaire la condition Ro  0,8 marque du béton = 0,8.350 = 280 kG/cm2  Ro = 300kG/cm2

b- contrainte moyenne du béton au niveau du câble en tenant comptedes pertes instantanées

MPa x

x x x A

n A

b

p i po

25,08,16

70104,1)75,791400()

Contrainte finale : p = 1400 – 225,23 = 1174,77MPa > 1120 MPa

4.3.5.2 Pertes de tension suivant BPEL91

- Perte de tension par frottement

f, - coefficient, on a des valeurs: f = 0,001, =0,05

- somme des variations d’angle du câble entre l’ancrage et le pointétudié,  = 0,334rad

x- distance entre l’ancrage et le point étudié, x = 16,3m (pour la longueur)

mi- fr po(f x)1400x(0,05x0,3340,001x16,3)46,2MPa

- Perte par non - simultanéité de mise en tension des torons

(raccourcissement élastique du béton)

bi

bco p



 0,5

Où :

Ep=190 000 MPa pour les torons

bco - contrainte moyenne de béton au niveau du câble sous chargepermanente Comme nous avons choisi d’équilibrer les charges permanentes par laprécontrainte, cette contrainte est constante, quelle que soit la position du câble etvaut :

MPa x

x x x A

n A

b

p po

25,08,16

70104,1

59,29858

27,31900005

,05

gE

f

834,2

190000006

,0

- Perte de tension due au retrait du béton

Pour le climat humide à Hanoi, r = 3.10-4

r = rEp = 3.10-4.190000 = 57 MPa

- Perte de tension due à la relaxation de l'acier

Elle est donnée par :

pi o prg

Où: 1000 = 2,5% pour les armatures TBR

o = 0,43 pour les armatures TBR

fprg = 1860 MPa - contrainte de rupture garantie

pi - tension initiale de l'acier après les pertes instantanées,

pi =1400 – 77,9= 1322,1Mpa

MPa

69,551,1322)43,01860

1,1322(5,2100

- Perte de tension due au fluage du béton

Elle est prise égale à :

ij

p bc fl

Eij - résistance Module d’YOUNG du béton à 28 jours, Eij=31146 MPa

Ep- résistance Module d’YOUNG de l’acier précontrainte, Ep=190 000MPa pour les torons

bc- contrainte moyenne du béton au niveau du câble que l’on peutsupposer calculée à un temps infini

MPa S

P

25,0

664,0

31146

19000066

,25,25

Contrainte finale : p = 1400 – 221,8 = 1178,2MPa > 1120 MPa

4.3.5.3 Comparaison deux Normes

Tableau : Comparaison entre deux Normes (en MPa)

6 Le fluage du béton 40,51 13,65

La valeur totale des pertes des deux Normes est environ de 20% de la contrainteinitiale La différence entre ces Normes est petite, car les formules de calcul, laconception sont différentes

Après de comparer les deux Norme, je choisi calculer les pertes de tous lescâble selon la Norme BPEL-91, qui est plus claire et simple

4.3.6 Calcul des pertes de tension du câble C 2

- Perte de tension par frottement

f, - coefficient, on a des valeurs: f = 0,001, =0,05

- somme des variations d’angle du câble entre l’ancrage et le pointétudié,  = 0,251rad

x- distance entre l’ancrage et le point étudié, x = 14,7m (pour la longueur)

mi- fr po(f x)1400x(0,05x0,2510,001x14,7)38,15MPa

- Perte par non - simultanéité de mise en tension des torons

(raccourcissement élastique du béton)

bi

bco p n

E

E 

 0,5

Où : Ep=190 000 MPa pour les torons

bco - contrainte moyenne de béton au niveau du câble sous chargepermanente Comme nous avons choisi d’équilibrer les charges permanentes par laprécontrainte, cette contrainte est constante, quelle que soit la position du câble etvaut :

MPa x

x x x A

n A

b

p po

25,03,6

35104,1

59,29858

36,41900005

,05

p- perte due au frottement par unité de longueur,

pf = f /L = 38,15/14,7 = 2, 60MPa/m

- la longueur de répercussion du recul à l’ancrage

m

x p

gE

f

6,2

190000006

,0

- Perte de tension due au retrait du béton

Pour le climat humide à Hanoi, r = 3.10-4

r = rEp = 3.10-4.190000 = 57 MPa

- Perte de tension due à la relaxation de l'acier

Elle est donnée par :

pi o prg

1000 = 2,5% pour les armatures TBR

o = 0,43 pour les armatures TBR

fprg = 1860 MPa - contrainte de rupture garantie

pi - tension initiale de l'acier après les pertes instantanées,

pi =1400 – 84,46= 1315,54Mpa

MPa

7,541315,54)

43,01860

1315,54(

5,2100

- Perte de tension due au fluage du béton

Elle est prise égale à :

ij

p bc fl

E

E



 2,5

Où : Eij - résistance Module d’YOUNG du béton à 28 jours, Eij=31146 MPa

Ep- résistance Module d’YOUNG de l’acier précontrainte, Ep=190 000MPa pour les torons

bc- contrainte moyenne du béton au niveau du câble que l’on peutsupposer calculée à un temps infini ; MPa

S

P

25,0

882,0

31146

190000528

,35,25

Contrainte finale : p = 1400 – 240,8 = 1159,2MPa

Y4 Y5 Y6

c 7

Cette méthode consiste à remplacer la dalle du panneau dans une direction pourune poutre équivalente sur plusieurs appuis, la largeur de la poutre équivalente estégale à la moitié de la somme des travées voisines à la file des poteaux considérés dans

la direction perpendiculaire

m l

l

2

4.85.102

Figure : Cadre équivalent

Les moments obtenus dans le cadre équivalent (Calcul par le logiciel SAP2000)sont distribués aux bandes de travées et bandes sur d’appuis suivant le taux :

Bande sur appuis Bande de travéeMoment négatif 70 ÷ 75% 30÷25%

Le calcul est à effectuer en section brute non fissurée comme une section debéton armé en flexion composée La contrainte du béton doit satisfaire les conditions :

- Condition de compression : |b min| < 0,6fcj = 0,6.22,7 = 13,6 MPa

- Condition de traction : b max < 1,5ftj = 1,5.1,96 = 2,94 Mpa

La contrainte du béton est calculée comme suivant :

W

M A

Le poids propre de la dalle en BA se traduit par une charge répartie :

q = 1,1 0,25 25 = 6,875 kN/m2

 La charge de calcul :

qcalcul = q – u = 6,875 – 8 = -1.125kN/m2

 q calcul B = - 1,125×9.45 = -10.6 kN/m = -1.06T/m

Grâce au logociel SAP 2000, on a le digramme du moment fléchissant :

Le moment maximal à l’appui et à la travée :

Mappui = 9.75Tm ; Mtravee = 4.89TmIls sont distribués ( pour une section de largeur de 1m ) aux bandes de travées etbandes sur d’appuis comme suit :

- Bande sur appuis :

27.075.92

/

7.0

255.089.42

/

55.0

23.075.92

/

3.0

245.089.42

/

45.0

104.1425.0

023.1



MPa MPa

10417,10

104.1425,0

771,0

La condition est satisfaire

4.4.3 Vérification globale en états-limites de service

Grâce au logociel SAP 2000, on a le digramme du moment fléchissant :

Le moment maximal à l’appui et à la travée :

Mappui = 17.76Tm ; Mtravee = 8.90TmIls sont distribués ( pour une section de largeur de 1m ) aux bandes de travées etbandes sur d’appuis comme suit :

- Bande sur appuis :

27.076.172

/

7.0