Gồm Đề, đáp án HSG chi tiết lớp 7 môn Toán thi ở thời điểm chương trình giữa tháng 4. Rất phù hợp cho các nhà trường, thầy cô, các em học sinh thi thử cho các đội tuyển, qua đó nắm bắt chất lượng. Cảm ơn mọi người đã quan tâm.
Trang 1TRƯỜNG THCS THIỆU ĐÔ
ĐỀ THI ………HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 7
Năm học 2018-2019
(Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1 ( 4 điểm)
a) Thực hiện phép tính: A=
12 5 6 2 10 3 5 2
2 6 4 5 3 9 3
2 3 4 9 5 7 25 49 (2 3) 8 3 (125.7) 5 14
b) Cho hàm số: y = f x( ) ax= 2 + +bx c
Cho biết: (0) 2010;f = f(1) 2011;= f( 1) 2012− = Tính ( 2)f − ?
Câu 2 ( 4 điểm) Tìm x , y , biết :
a)
5 1
4
x
x
− = =
b) ( )2010
Câu 3 ( 4 điểm)
a) Cho 3 số x ,y , z khác 0 thỏa mãn điều kiện : y z x+ −x = z x y+ −y = x y z+ −z
Hãy tính giá trị của biểu thức : B = 1 x 1 y 1 z
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= −x 2010 (+ +y 2011)2010 +2011 và giá trị
của x, y tương ứng.
Câu 4 ( 6 điểm ) Cho tam giác ABC có góc B và góc C là hai góc nhọn Trên tia đối
của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB , trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE
= AC
a) Chứng minh rằng : BE = CD
b) Gọi M là trung điểm của BE , N là trung điểm của CD Chứng minh M,A,N
thẳng hàng
c) Ax là tia bất kỳ nằm giữa hai tia AB và AC Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của
B và C trên tia Ax Chứng minh BH + CK ≤ BC
d) Xác định vị trí của tia Ax để tổng BH + CK có giá trị lớn nhất
Câu 5: ( 2 ®iÓm) Tìm các số tự nhiên x và y lớn hơn 1 thỏa mãn cả hai điều kiện
sau:
x + 1 chia hết cho y và y + 1 chia hết cho x
.Hết
Trang 2ĐÁP ÁN
1
(4đ) a
A
10
12 5 12 4 10 3 4
12 6 12 5 9 3 9 3 3
2 3 2 3 5 7 5 7
2 3 2 3 5 7 5 2 7
( ) ( ) ( ( ) )
12 4 10 3
2 3 3 1 5 7 1 7
2 3 3 1 5 7 1 2
( )
10 3
12 4
12 5 9 3
5 7 6
2 3 2
2 3 4 5 7 9
−
1 10 7
−
b
Theo giả thiết ta có: f(0) 2010 = ⇒ =c 2010
f(1) 2011 = ⇒ + + =a b c 2011 ⇒ + +a b 2010 2011 = ⇒ + =a b 1 (1)
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có: 2a = 3 => a = 3/2
Do đó: Hàm số đã cho có dạng: 3 2 1
( 2) ( 2) ( 2) 2010 6 1 2010 2017
2
(4đ)
a
5x3− =1 7y5−6 5= x+47x y−7
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
7 6 5 7 7 5 7 7
5 1
x
x
=
Do đó: 5x+78y−7 5= x+47x y−7
- Nếu 5x+ 7y− ≠ 7 0 thì 8 = 4x => x = 2, thay vào tính được y = 3 1
- Nếu 5x+ 7y− = 7 0 => 5x – 1 = 0 và 7y – 6 =0 ⇒ 6
7
y= ; 1
5
x= (thỏa
b
Ta có x+ ≥ 5 0 với mọi x và (3y− 4) 2010 ≥ 0 với mọi y Vậy ( )2010
x+ + y− = ⇔x+5 =0 và 3y - 4 = 0
1
⇔x = -5 và y = 4
3
(4đ)
a
Từ y z x+ −x = z x y+ −y = x y z+ −z
0,5 TH1: với x + y + z ≠ 0Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
2
Trang 3B = 1 x 1 y 1 z
y z z x x y
= 2 2 2 = 8 TH2: với x + y + z = 0 thì B = x. y. z 1
− − − = −
Vậy B = -1 hặc B = 8
b
Ta thấy: x− 2010 ≥ 0 với mọi x và (y + 2011)2010 ≥ 0 với mọi y 0,5
Do đó: A= −x 2010 ( + +y 2011) 2010 + 2011 ≥ 2011 với mọi x, y. 0,5
Vậy: AMin = 2011 Khi đó: x = 2010 và y = -2011 1
4
( 6đ)
x
k
I
A
D E
H
K
N M
a
c/m được ∆ABE = ∆ADC (c.g.c)
⇒BE = DC ( 2 cạnh tương ứng) 0,5
b
c/m được ∆ABM = ∆ADN (c.g.c) ⇒AM = AN
và ∠MAB= ∠NAD 0,5
180
180
c Gọi I là giao điểm của BC và Ax, ta có BH ≤BI CK CI; ≤ 0,75
d
Theo câu c) BH + CK ≤ BC nên giá trị lớn nhất của BH+ CK bằng
BC khi BH = BI và CK = CI
1,5
⇒ H≡I; K≡I
Do đó Ax ⊥BC
5
2đ
Giả sử 1 < x ≤ y Từ x + 1 M y ⇒ x + 1 = k.y (k ∈ N*)
Ta có: ky = x + 1 ≤ y + 1 < y + y = 2y ⇒ ky < 2y nên k < 2, mà
k ∈ N* nên k = 1
Thay k = 1 vào x + 1 = ky, ta được x + 1 = y Theo bài ra y + 1 Mx nên (x + 1) + 1 M x ⇒ 2 Mx ⇒ x=2 (do x ∈ N và x > 1)
Với x = 2 thì y = 3 Vậy (x; y) ={ ( ) ( )2;3 ; 3; 2 }
2
Trang 4Lưu ý: Học sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa