Phương Pháp Giải PTLG

Tập hợp các phương pháp hay để giải phương trình lượng giác

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.

A:LÍ THUYẾT

1/Phương trình lượng giác cơ bản

Sin u = sin v ⇔ 





+

−

=

+

=

π π

π

2

2 k v u

k v u

( k ∈ Z ) Cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2π ( k ∈ Z ) tgu = tgv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z ) cotgu = cotgv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z ) 2/ Phương trình đặc biệt :

sinx = 0 ⇔ x = kπ , sinx = 1 ⇔ x =

2

π + k2π ,sinx = -1 ⇔ x = -

2

π + k2π

cosx = 0 ⇔ x =

2

π + k π , cosx = 1 ⇔ x = k2π , cosx = -1 ⇔ x = π + k2π 3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1)hay asinx + bcosx = c (2)

trong đó a2 + b2 ≠ 0

Cách 1: acosx + bsinx = c ⇔ a2 +b2.cos(x−ϕ) = c với

2 2

cos

b a

a +

= ϕ

asinx +bcosx = c ⇔ a2+ b2 sin( x + ϕ ) = c với

2 2

cos

b a

a +

=

Cách 2 :

Xét phương trình với x = π + kπ , k ∈ Z

Với x ≠ π + kπ đặt t = tg

2

x ta được phương trình bậc hai theo t : (c + b)t2 – 2at + c – a = 0 hay (c + b )t2 – 2at + c – b = 0

Chú ý : pt(1) hoặc pt( 2) có nghiệm ⇔ a2 + b2 - c2 ≥ 0

Bài tập :Giải các phương trình sau:

1 3cosx−sinx = 2 , 2 cos x − 3 sin x = − 1

3 3sin3x− 3cos9x=1+4sin33x, 4

4

1 ) 4 ( cos sin4 + 4 + π =

x x

5 cos 7 x − sin 5 x = 3 (cos 5 x − sin 7 x ), 6.tgx − 3 cot gx = 4 (sin x + 3 cos x ) 4/ Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác :

Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác là phương trình có dạng : f[u(x)] = 0

với u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tgx hay u(x) = cotgx

Đặt t = u(x) ta được phương trình f(t) = 0

Bài tập: Giải các phương trình sau:

a 2cos2x +5sinx – 4 = 0 , b 2cos2x – 8cosx +5 = 0

c 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x d 2(sin4x + cos4x) = 2sin2x – 1

e.sin42x + cos42x = 1 – 2sin4x f x cos2 x

3 4

5/ Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx :

a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai : asin2x +b sinx cosx + c cos2x = 0

Cách 1 :

• Xét phương trình khi x =

2

π

+ kπ

• Với x ≠

2

π

+ kπ chia hai vế của phương trình cho cos2x rồi đặt t = tgx

Cách 2: Thay sin2x =

2

1 (1 – cos 2x ), cos2x =

2

1 (1+ cos 2x) , sinxcosx =

2

1 sin2x ta được phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x b/ Phương trình đẳng cấp bậc cao :

Dùng phương pháp đặt ẩn phụ t = tgx sau khi đã xét phương trình trong trường hợp x =

2

π

+ kπ ,k∈Z

Bài tập :

1 2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = - 2

2 3sin2x + 8sinxcosx + ( 8 3 - 9)cos2x = 0

3 4sin2x +3 3 sin2x – 2cos2x = 4

4 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx

6/ Phương trình đối xứng dạng : a( cosx + sinx ) + b sinxcosx + c = 0

Đặt t = cosx + sinx , điều kiện − 2 ≤ t ≤ 2 khi đó sinxcosx =

2

1

2 − t

Ta đưa phưong trình đã cho về phương trình bậc hai theo t

Chú ý : nếu phương trình có dạng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0

Đặt t = cosx - sinx , điều kiện − 2 ≤ t ≤ 2 khi đó sinxcosx =

2

1 − t2

Bài tập : giải các phương trình sau :

1 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0

2 sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12

3 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1

4 sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0

5 cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0

7/ Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường dùng :

Các bước giải một phương trình lượng giác:

B1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của phương trình có nghĩa

B2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để đưa phương trình đã cho về phương trình đã

biết cách giải

B3: Giải phương trình và chọn phù hợp

B4: kết luận

a/ Phương pháp1: Biến đổi pt về phương trình đã biết cách giải

b/ Phương pháp 2: Biến đổi phương trình đã cho về dạng tich1 số

c / Phương pháp3: Biến đổi phương trình về dạng có thể đặt ẩn phụ

B BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI:

I PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Bài 1: Giải các phương trình sau :

1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos2x – 9sinx = 0,

4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg2x + 3 =

x cos

3

, 6/ 4sin4 +12cos2x = 7 Bài 2 : giải các phương trình sau :

1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) HD : đặt t =sinx

2/ x cos2 x

3

4

cos = ĐS : x = k3π , x= ±

4

π

+k3π , x = ±

4 5π +k3π

3/ 1+ sin

2

x

sinx - cos

2

x

sin2x = 2cos2 ( −

4

π

2

x

) ĐS: sinx =1 v sin

2

x = 1 4/ 1+ 3tgx = 2sin 2x HD : đặt t = tgx , ĐS : x = -

4

π + k π

5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 =

x cos

1 ĐS : x = k2π , x = ±

3

π +k2π 6/ sin2x(cotgx +tgx ) = 4cos2x ĐS : cosx = 0 , cos 2x =

2

1 7/ 2cos2 2x +cos 2x = 4sin22xcos2x

8/ cos 3x – cos 2x = 2

9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tgx HD :đặt t = tg

2x 10/ sin2x+ 2tgx = 3

11/ sin2x + sin23x = 3cos22x HD :đặt t =cos 2x

12/ tg3( x -

4

π

) = tgx - 1 ĐS : x = kπ v x =

4

π + kπ 13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Đưa về phương trình bậc hai theo sinx 14/ sin2x + cos 2x + tgx = 2 ĐS : x =

4

π

+ kπ 15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0

II PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC n THEO SINX ,COSX

Giải các phương trình sau :

1/ sin2 x + 2sin 2x –3 +7cos2x = 0

2/ cos3x – sin3x = cosx + sinx

3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos3x

4/ sin3x + cos3x = 2( sin5x + cos5x ) ĐS : x=

4

π + 2

π

k

5/ sin3(x -

4

π

) = 2 sinx ĐS : x =

4

π

+kπ

6/ 3cos4x – sin2 2x + sin4x = 0 ĐS :x = ±

3

π + kπ v x=

4

π + 2

π

k 7/ 3sin4x +5cos4x – 3 = 0

8/ 6sinx – 2cos3x = 5sin 2x cosx

III PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PT PHẢN ĐỐI XỨNG

Giải các phương trình sau :

1/ cos3x + sin3x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos3x + cos 2x +sinx = 0

3/ 1 + sin3x + cos3x =

2

3sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 = 0

5/ sin3x – cos3x = 1 + sinxcosx 6/

3

10 cos sin sin

1 cos

1 + + x + x =

x

7/ tgx + tg2x + tg3x + cotgx+cotg2x +cotg3x = 6 8/

x

2

sin

2 + 2tg2x + 5tgx + 5cotgx + 4 = 0 9/ 1 + cos3x – sin3x = sin 2x 10/ cos3x – sin3x = - 1

11/ 2cos 2x + sin2x cosx + cos2x sinx = 2( sinx + cosx )

IV.PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC

Giải các phương trình sau:

1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2

3/ sin2x + sin23x – 3cos22x = 0 4/ cos3x cos3x – sin3xsin3x = cos34x +

4

1

5/ sin4

2

x

+ cos4

2

x

= 1 – 2sinx 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 7/ sin6x + cos6x = sin4x + cos4x 8/ sin4x + cos4x – cos2x = 1 – 2sin2x cos2x

9/ 3sin3x - 3 cos 9x = 1 + 4sin3x 10/ x

x

x x

sin cos

1

sin cos

=

−

+

11/ sin2

) 4 2

−

x tg2x – cos2

2

x = 0 12/ cotgx – tgx + 4sinx =

x sin

1

13 / sinxcosx + cosx = - 2sin2x - sinx + 1 14 / sin 3x = cosxcos 2x ( tg2x + tg2x )

2 sin 2 1

3 sin 3 cos (sin

+

+

x

x x

x 16/ sin23x – cos24x = sin25x – cos26x

17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0 18/

x

x x

x

2 4

cos

3 sin ) 2 sin 2 (

= +

19/ tgx +cosx – cos2x = sinx (1+tgx.tg

2

x ) 20/ cotgx – 1 = x x

tgx

x

2 sin 2

1 sin 1

2

+ 21/ 3 –tgx(tgx + 2sinx)+ 6cosx = 0 22/ cos2x + cosx(2tg2x – 1) = 2

23/ cotgx – tgx +4sin2x =

x 2 sin

2 24/ 2 ( 1 sin )

cos sin

) 1 (cos cos2

x x

x

x x

+

= +

−

25/ cotgx = tgx +

x

x 2 sin

4 cos 2

26/ x

x

x x

cos 3

1 sin

2

2

cos 2

sin3 3

= +

−

27/ tg2x – tgx =

3

1 cosx.sin3x 28/ (sinx + cosx)3 - 2(sin2x +1) +sinx +cosx – 2 = 0

cos

2 cos 3 9 sin 6 2

sin

4 2 + 2 − − =

x

x x

x

30/ sin2x + sin22x + sin23x = 2

31/ 1 + sinx +cosx +sin2x +cos2x = 0 32/ tg x

x x

x x

2 8

13 sin

cos

cos sin

2 2

6 6

=

−

+

33/ tg2x + cotgx = 8cos2x 34/ sinx+sin2x+sin3x - 3( cosx +cos2x+cos3x )

=0

35/ sin4x + cos4x – cos2x +

4

1 sin22x = 0 36/ 4cosx – 2cos2x – cos4x = 1 37/ 2cosx.cos2x.cos3x + 5 = 7cos2x 38/ (cos4x – cos2x)2 = 5 + sin3x

39/ sinx.sin2x +sin3x = 6cos3x HD :đặt t = tgx 40/ sin22x – cos28x = sin(10x +

2

17π ) 41/ 2cos3x + cos2x +sinx = 0 42/ cos33x.cos2x – cos2x = 0

43/ 1+ sinx + cosx +sin2x + cos2x = 0 44/ cos4x + sin4x + cos(x

-4

π )sin(3x

-4

π )- 2

3 = 0 45/ 5sinx –2 = 3(1 – sinx ) tg2x 46/ (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – cos2x 47/ cotgx – tgx + 4sin2x =

x 2 sin

2 48/ sin2(

4 2

π

−

x )tg2x – cos2

2x 49/ cox + cos2x + cos3x = sinx +sin2x + sin3x 50/ cos3x + sin7x = 2sin2(

4

π + 2

5x ) – 2cos2

2

9x 51/ sin3x +sinxcosx = 1- cos3x 52/ sin3x + cos2x = 2(sin2xcosx – 1)

53/ 4cosx – 2cos2x – cos2x – cos4x = 0 , 54/ 1

2 cos 1

2 sin

= +

+ x

55/ 2(cos4x – sin4x) + cos4x – cos2x = 0, 56/ 2(cos4x + sin4x) = cos( 2x

2 −

π )

57/ 2cosxcos2x = 1+ cos2x +cos3x 58/ 4(cos4x + sin4x) + 3sin4x = 2

59 / sin2x + cos2x = 1 - 3sin2x +2 3cos2x 60/ cos4x + sin4x –cos2x +

4

1 sin22x = 0 , 61/ cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0 62/ cos7x +sin8x = cos3x – sin2x ,

63/ sin2x +2 2cosx +2sin(x+

4

sin 2 2

cos sin ) sin (cos

2 6 6

=

−

− +

x

x x x

x

65/ cotgx + sinx(1+tgxtg

1 cos sin 2

1 2 sin sin

2 3 sin

−

= +

+

− +

x x

x x

x

V CÁC BÀI TỐN CĨ CHỨA TAM SỐ

4

1 2 cos cos

sin4 x+ 4x− x+ 2 x+m= Tìm m đđể phương trình cĩ nghiệm

x x

gx tgx

x

cos

1 sin

1 cot

( 2

1 1 cos













∈

2

;

0 π

x

cos

2 ( ) cos cos

4 (

x m x

thuộc )

2

;

0

( π

4/ Tìm tất cả các giá trị của m sao cho ta có: sin6 x+cos6 x+sinx.cosx≥m,∀x∈R

5/ Cho phương trình : 3 ( cot ) 1 0

sin

2 + tg x+m tgx+ gx − =

trình có nghiệm