PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH Undefined Coefficient Technique U.. Đến đây chỉ cần xác định hệ số duy nhất m để bất đẳng thức đúng... Ta cần chứng minh 2 1 Chú ý: Bài toán tổng quát đ
Trang 1PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH Undefined Coefficient Technique (U C T) Bài 1 Cho , ,a b c thỏa mãn 0 a b c Chứng minh rằng3
2 2 2
2
5 3
Lời giải
Ta sẽ chứng minh
2
2
Thật vậy,
2
0
� ۳
đúng với mọi a Xây dựng thêm 2 bđt 0 tương tự nữa, cộng lại theo vế kết hợp a b c ta có đpcm.3
Nhận xét: Vấn đề đặt ra làm thế nào có được bất đẳng thức
2
2
Định hướng giải:
2
2
a
ma n
;
2
2
b
mb n
;
2
2
c
mc n
Cộng 3 bđt trên theo vế ta có
2 2 2
2
3
Vậy ta phải có m n Suy
1
a
m a
Đến đây chỉ cần xác định hệ số duy nhất m để bất đẳng thức đúng.
2
a
Với
2
3
m
1
Bài 2 Cho , , ,a b c d thỏa mãn 0 a b c d Chứng minh rằng4
2
HD:
1
a a a
� ۳
Bài 3 Cho
, , 0
3
a b c
a b c
�
�
1
HD: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 2 2
1
Trang 2Ta cần chứng minh 2
1
Chú ý: Bài toán tổng quát đã được giải quyết bằng PP hệ số bất định trong “Algebraic
Inequalities – Old and New method” của Vasile Cirtoaje.
Cho a a1, , ,2 a n � thỏa mãn 0 a1 a2 a n Chứng minh rằngn
n n
Bài 4 Cho 3 3 3
, , 0
3
a b c
�
�
� Chứng minh bất đẳng thức 1 1 1 2 2 2
HD: Ta cần chứng minh 4 2 3
Chú ý rằng 2
3
0a� 3�2a a 4 0�
Bài 5 Cho 2 2 2
, , 0
3
a b c
�
�
� Chứng minh bất đẳng thức 1 1 1 4 7
a b c � HD:
2
1
6
a
a
Ta sẽ chứng minh 1 4 7 1 2
1
a
a
Bài 6 [Nesbitt] Chứng minh rằng
3 2
với mọi , ,a b c 0 HD: Chuẩn hóa a b c Ta cần chứng minh bất đẳng thức 3
3
Ta có 1 3 1
a
a
Bài 7 Cho , ,a b c� Chứng minh bất đẳng thức0
3
HD: Chuẩn hóa a b c Khi đó ta phải chứng minh bất đẳng thức3
2 2 2
Cơ sở
2 2
2 3 2
a
Trang 3Bài 8 [Đề thi Olympic 30-4, khối 11, lần III-2006] Chứng minh bất đẳng thức
6 , , 0 5
a b c
�
HD: a b c Ta cần chứng minh bất đẳng thức 3
, , 0 5
3
a b c
�
�
Ta có
1
3
m a
�
Bài 9 Cho , ,a b c Chứng minh 0 2 2 2 2
9 4
HD: a b c Ta cần chứng minh 3 2 2 2
3 4
1
3
m a a
�
Bài 10 Cho , ,a b c Chứng minh 0
2
HD: a b c Ta phải chứng minh 3
2
2 2
2
a
�
�
Cơ sở
2
2 2
6
Với chú ý 0a� �3 39 8 a0
Bài 11 [USA MO 2003] Cho , ,a b c Chứng minh bất đẳng thức0
8
HD: a b c Ta cần chứng minh bất đẳng thức1
8
2
2 2
3
�
Bài 12 Cho , ,a b c Chứng minh 0
a b c
�
HD: a b c Cơ sở 3
2
3 3
3
�
Trang 4Bài 13 Cho , ,a b c Chứng minh bất đẳng thức0
HD:
2
b
b
� �
Ta sẽ chứng minh
2 2
6
x
x
Bài 1 Cho ,x y thỏa mãn điều kiện 0 x3y3 Tìm GTLN của biểu thức P1 x y
Lời giải: Áp dụng AM-GM ta có
Cộng 2 bất đẳng thức theo
3 3 6.2 6
Bài 2 Cho các số thực dương ,x y thỏa mãn điều kiện x3 y3� Tìm giá trị lớn nhất của biểu 1
thức P x2 y.
HD: Giả sử P đạt max khi x a y b ; và dự đoán ,ab ở điều kiện biên, tức là a3b3 Ta 1
Để xuất hiện P ở vế phải ta cần chọn ,a b sao cho có tỷ lệ
5
5
� �
� � Như vậy ta thu được hệ
3 5 5
5
3 3
3 5
1 1
1 2 2 4
4 1
1 2 2
a a
b
�
�
5 6
Tổng quát:
Bài toán 1 Cho các số nguyên dương , ,m n p sao cho m Max p q� , Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ( , )P x y ax p y q trong hai trường hợp sau, biết a là hằng số dương và , x y là
các biến số không âm thỏa mãn điều kiện x m y m :1
2
Trang 5Bài toán 2 Cho các số thực dương , , ,a b c d và các số nguyên , m n thỏa mãn điều kiện m n 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ( , , )P x y z ax n by ncz n trong đó , ,x y z là các biến số
không âm thỏa mãn điều kiện x m y m z m � d