KỸ THUẬT ĐÁNH GIÁ TỪNG BIẾN BẰNG hệ số bất ĐỊNH

KỸ THUẬT ĐÁNH GIÁ TỪNG BIẾN BẰNG HỆ SỐ BẤT ĐỊNHI...  Bài toán yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất, nghĩa là đánh giá P �M.

Trang 1

KỸ THUẬT ĐÁNH GIÁ TỪNG BIẾN BẰNG HỆ SỐ BẤT ĐỊNH

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Bất đẳngthức được đưa về dạng: f a( )1 +f a( )2 + + f a( )n �m,(�m) với giả thiết

1k 2k k

n

a +a + +a =h

 Ý tưởng: Khi đó ta tìm cách đánh giá f a( )1 �a a1k+b ( )*

Với dự đoán dấu bằng xảy ra tại tâm là a i =a i0,( =1,n)

Để (*) đúng thì ( )

( )0 0 1

'

k k

�

� , từ đây tìm được a b, Khi đó chứng minh (*) ta biến đổi tương đương hoặc dùng phương pháp hàm số với lưu ý cần hạn chế miền của biến từ điều kiện ràng buộc

Tóm lại: Phương pháp sẽ thành công cụ rất mạnh nếu có hai đặc điểm sau:

 Đưa được bài toán về dạng: f a( )1 +f a( )2 + + f a( )n �m,(�m)

 Điểm rơi của bài toán xảy ra khi a1=a2 = =a n

II CÁC VÍ DỤ:

Ví dụ 1 Cho các số thực a b c, , dương và a b c+ + =1 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

( )2 ( )2 ( )2

P

- Phân tích:

 Bài toán có dạng f a( ) +f b( )+f c( ) với các biến độc lập

 Vai trò các biến như nhau nên điểm rơi là 1

3

a= = =b c

 Bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất nghĩa là đánh giá P �M

Kết nối các ý tưởng trên cho ta đánh giá bất đẳng thức phụ

( )

2

1

x

mx n

+

-Ta tìm m, n như sau:

2

1

'

3

��

�

Ta chứng minh:

2 2

-+ �++"�

-Dấu bằng xảy ra khi 1

3

x =

Trang 2

 Lời giải:

Ta có:

( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( )

2 2

-+ �"�+

Dấu bằng xảy ra khi 1

3

a =

2 2

b b

-+ �"�+

3

b =

2 2

-+ �++"�

3

c =

Cộng (1), (2), (3) ta có:

3

MaxP = � = = =a b c

Ví dụ 2 Cho các số thực a b c, , dương và a3+ +b3 c3 =3 Chứng minh rằng:

 Phân tích:

 Bất đẳng thức chưa có dạng f a( )+f b( )+f c( ), ta biến đổi vế dạng này như sau:

 Vai trò của a b c, , là như nhau nên điểm rơi là a= = =b c 1

 Bài toán yêu cầu chứng minh P �27

Kết nối những yếu tố trên ta đánh giá bất đẳng thức phụ sau: 4 5x2 mx3 n x, (0; 33 )

Ta tìm m, n như sau:

( )

3

' 1

�

Ta chứng minh:

Trang 3

( )2( 2 ) ( 3 )

+�+۳"�

Ta có: 4 1 1 1 5(a2 b2 c2) 4 5a2 4 5b2 4 5c2

Ta có:

3

+�+۳"�

3

+�+۳"�

3

+�+۳"�

Cộng (1), (2), (3) ta được:

1 1 1

Ví dụ 3 Cho các số thực a b c >, , 0 và ab bc ca+ + =2016abc Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

 Bài toán có dạng f a( ) +f b( )+f c( )

 Vai trò của các biến là như nhau, do đó dự đoán điểm rơi là a= = =b c k

 Vấn đề đặt ra là ta chưa biết điểm rơi của bài toán, vì vậy ta cần biến đổi điều kiện để tìm điểm rơi, ta thực hiện biến đổi sau:

1 1 1

 Từ điều kiện mới ta có ý tưởng sẽ đặt ẩn phụ như sau:

Đặt 1 1 1

= = = , từ đây bài toán được phát biểu lại như sau:

Cho x y z, , là các số thực dương và x y z+ + =2016 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

- Dự đoán điểm rơi x= = =y z 672

 Bài toán yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất, nghĩa là đánh giá P �M

 Bài toán đã có dạng f x( ) +f y( ) +f z( ), nên ta đánh giá:

3 2

2016

- Ta tìm m, n như sau:

Trang 4

( )

' 672

�

 Ta xét bất đẳng thức phụ sau:

3

2016

- Lời giải:

Ta có: ab bc ca 2016abc 1 1 1 2016

Đặt x 1;y 1;z 1

= = = khi đó x y z, , là các số thực dương và x y z+ + =2016.

P

-Ta có:

2 3

3

x

-�-۳"�

2 3

3

-�-۳"�

2 3

3

z

-�-۳"�

-Cộng (1), (2), (3) ta được:

-Vậy MinP =504� = = =x y z 672

Ví dụ 4 Cho các số thực a, ,b c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P

= �� +� + + + + ��

 a b c, , là ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 1

1 1 1

�

� + =

-�

�

-�

�+ =

-�

�

 Bài toán chưa có dạng f a( ) +f b( )+f c( ), do đó ta biến đổi về dạng này như sau:

4

P

Trang 5

 Chu vi bằng 1 nên a b c+ + =1 , vai trò của các biến như nhau nên điểm rơi là a 1

3

b c

= = =

 Ta đánh giá bất đẳng thức phụ: 4 1

1- x- x �mx n+

 Ta tìm m, n như sau:

' 3

m n

n m

��

� �

� ��

�

 Ta chứng minh ( ) ( )

2

 Vấn đề đặt ra là (*) chưa luôn đúng với " �x ( )0;1 , điều này khiến ta suy nghĩ đánh giá điều kiện chặt hơn, không mất tính tổng quát ta giải sử max ; ;{ } 1 2 1

2

a= a b c � = + + >a b c a� <a Vậy

lúc đó 1

0;

2

x�� thì (*) luôn đúng Ta có lời giải sau

4

P

= �� + + ��- ��+ + ��=�� - ��+�� - ��+�� - ��

Không mất tính tổng quát ta giả sử :

a= a b c � = + + >a b c a� < �a a b c<

Ta có:

( ) ( )

2

� �

2

� �

( ) ( )

2

� �

Cộng (1), (2), (3) ta được:P �18(a b c+ + -) 9=9

9

3

MaxP = � = = =a b c

Trang 6

Ví dụ 5 Cho các số thực a, ,b c dương và a2+ -b2 3(a b+ + =) 4 0 * ( ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức:

( )

32

P

 Các biến đối xứng nên dự đoán điểm rơi a= =b k , tuy nhiên chưa dự doand được điểm rơi vì điều kiện còn chưa thuận lợi, điều này làm ta phải đánh giá lại điều kiện như sau:

( )2 ( ) ( ) ( )

2

a b

 Do nhận định a= =b k nên có hai khả năng 1

2

�= =

�

�= =

� , thử trực tiếp từng khả năng ta thấy 124

2 5

 Mặt khác trong biểu thức P có 2 1 , 2 1

+ + giống nhau về loại hàm nhưng lại khác biệt với biểu thức còn lại, do đó ta có ý tưởng dồn biến về a b+ ở biểu thức thứ 3

 Hai biểu thức 2 1 , 2 1

+ + có dạng f a( ) +f b( ) nên ta đánh giá bất đẳng thức phụ sau:

1

2

x

+

 Ta tìm m, n như sau: ( )

( )

2

' 2

 Ta chứng minh ( ) ( ( ) ( ) ) ( )

2

x

+

=�-+۳"�

Dấu bằng xảy ra khi x = 2

Ta có: ( )2 ( ) ( ) ( )

2

a b

Ta có:

( ) ( )

2

+ �-+۳"�

( ) ( )

2

+ �-+۳"�

Trang 7

Cộng (1), (2) ta có: ( )

( )2

9

a b

+

Đặt t= +a b,2� �t 4 , xét hàm số ( ) 5 44 2

9

t

+ ( )

9

t

� �

= - + < " ��

+ suy ra hàm số nghịch biến.

Do đó ( )4 124 2

5

Ví dụ 6 Cho các số thực dương a, ,b c thỏa mãn a b c+ + =3 Chứng minh rằng:

 Bài toán chưa có dạng f a( ) +f b( )+f c( ), do đó việc cần làm là phải đánh giá các tích bc ca ab, , về các tổng b c c a a b+ , + , + rồi dựa vào điều kiện bài toán tiến hành độc lập các biến số, cụ thể ta làm như sau:

bc��+ ��ca��+ ��ab��+ ��

 Ngoài ra các biến đối xứng nên điểm rơi là a= = =b c 1

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:

VT

-Ta xét bất đẳng thức phụ sau:

2

2 3

� - " �

-Thật vậy, với 0 1

4

a

< < thì (*) hiển nhiên đúng

Nếu 1 3

4� <a thì

2

�

Trang 8

Suy ra:

-Vậy P �1 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a= = =b c 1

Định dạng
Số trang	8
Dung lượng	368 KB