hình không gian qua các kì thi đại học

2 Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc wz cho hình hộp chữ nhật ABCD.4'B'C'D' có 4 trùng với gốc của hệ tọa độ.. Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biét rằng đỉnh A thuộc d,..

CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN QUA CÁC KÌ THỊ ĐẠI HỌC

NĂM 2002

KHOIA

Cau IV.( DH: 2.0 diém: CD : 3.0 điểm)

1 Cho hinh chép tam gidc déu S.ABC dinh S có độ dài cạnh đáy bằng a Gọi M va N lan luot

là các trung điểm của các cạnh SB va SC Tinh theo a dién tich tam gidc AMN, biét rang

mặt phẳng (AMIN) vuông góc với mặt phẳng (SBC)

2 Trong không gian với hệ toa độ Đêcac vuông góc @xyz cho hai đường thang:

x=l+í x—2y+=z—4=0 `

x+2y-2z+4=0

Z=l+2f a) Viết phương trình mặt phãng (?P) chứa đường thăng A; và song song với đường thăng A,

b) Cho điểm AZ(2:1:4) Tìm toạ độ điểm #7 thuộc đường thẳng A, sao cho doan thang MH

có đô dài nhỏ nhất

S

B

Goi K 1Aatrung diémctta BC wa I=SK OMN Ti gia thiết

=> mun =laec= 4,

2 2 MN // BC — 7 là trung điểm của SK wa MiIV

Tac6o ASAB = ASAC => hai trung tuyén tuons tng 4AM = AN

=> AAMN cantai 4 => 47lÌ VfV

(SE8C)L( 4^AZV) (SBC)A(AMN) = MiIV

XIạt khác => ATI(SBC)=> 4T] SK-

-47 —( 4AZ2V}

AI\MIN

axv43

2

> > " " =

SK? —.SE8? — BK? —=— ——_—— =

2

CHU Y

1) Có thể chứng rmainh “47LAZØV như sau:

8C iL(S4K )— A#V-L(S.4K )}— AZVL 47

^2) Có thể làm theo phương pháp tọa độ:

Chang han chon hé toa d6 Décac vu6éng soc Oxve sao cho

K(0;0:0).5{ Š :0:0 } e{- Š:o:o ) 4 0; — 23.6 _sÍo¿— 23 „

trong d6 7: là độ ciài đường cao SZZ của hình chóp S.ABC

Cau IV.(PH : 3.0 điểm : CD: 3,0 diém)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho hinh chit nhat ABCD coé tam

x 5:0) - phương trình đường thăng 4B la x—-2y+2=0 va AB=2AD Tim toa do cac dinh

A,B.C.D biét rang dinh A c6 hoanh d6é am

2 Cho hình lap phuong 4BCDA,B,C,D, c6 canh bang a

a) Tinh theo a khoang cach gitta hai dudéng thang 4,B wa B,D

b) Goi M.N.P lần lượt là các trung điểm của các cạnh #Z,.C72 4,, Tính góc giữa

hai đường thẳng MP và C,N.

VS

Khoảng cách từ 7 ciến đường thäảng 4Z bằng > => AD — v5 và

S

4 — 1ö — _—

2

Do d6 4 Z là các giao ciiểmm Của dudéng thans AB vGi dudng tron tam JZ wa ban

kính Z# — 2 Vay toa dé <4 Z là nghiệmm của hệ :

x—2y+2=0

(x-š) x — -— 1 '` —= | +>'=(§) —

Giai hé ta duoc 4(— 2:0), B(2:2) wi x, <0)

= cC(3:0) D(— 1:-2)

NAM 2003

' '

= ~~ t '

~~! ~hL

' —_

' ee ~~ >

' -_-~ Pu ' ———

~“ ` ~

A= ee romans

“ _—“” ~-~—=cT~ `

oe vo TT ~

Cách 1 Dat AB=a GoidA 1a hinh chiéu vuéng goc cta B wén A’C, suy ra BH L A’C, ma BD 1 (A’AC) => BD LA’'C, dodo A’'C 1 (BHD) >A'C 1 DH Vay goc

phang nhidién [B,4'C.D] lagée BHD

Xét AA'DC vuong tai D co DH ila duong cao, ta cO DH.A'C=CD.A'D

CD.A'D _ a.ax'2 _ aJ2 A'C 7 a^/3 7 N1

a2 W3 7

cao và BH =

Mặt khác:

2a” =BD~ =BH~ +DH~ —-2BH.DH cos BHD = + —2 cos BHD,

ee

KHOI A3° d6 cosBHD=—— => BHD=120°

2)

a) Twa gia thiet tacs

z Cla: a:O): C'€a: a:b) => Maza: Pf)

Vay BD = (—a: a: O), BM =(O: a: >

=| BD Ba |—( 2 2 —a? }

MAT 2 x s2,

~ Do 46 Vgpua:ar = | [ BD BM |.BA | —=—- 1 Ss wba \— ab

b› *Iặt phẳng (Z72AZ} có véctơ DpÏ:áp ttixveến là 7 = | BD Bm | = ( ae : ae >: —an )-

mat phans (4°'BD)co vécto phap tuyen 1A 1> = [| BD BA | = (ab: ab: a~

Do do (BDI) 1 (4° BD) = mg = 0 > OS + FS —at=Oaa=5b = =1

Câu 3 (3 điểm)

1) Cho hinh lap phương 48CD.4'B'C'D' Tính số đo của góc phăng nhị diện |B A'C, DỊ

2) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc wz cho hình hộp chữ nhật

ABCD.4'B'C'D' có 4 trùng với gốc của hệ tọa độ Ø(a: 0; 0) D(0: a: 0) 4(0: 0: b)

(a>0, b>0).Goi M là trung điểm cạnh CC’

a) Tính thể tích khối tứ diên BDA'M theo a và Db

- lương tự, Az4°C ' vuông tại 8 có 8H là đường

KHÓI B

Câu 3 (3 điểm)

1) Trong mat phang với hệ tọa độ Đêcac vuông góc xy cho tam giác ABC cé

AB=AC, BAC =90° Biét 4⁄(1:—1) là trung điểm cạnh BC va dễ: | là trọng tâm tam giác ABC Tim tọa độ các định 4, B, C

2) Cho hinh lang tru dttng ABCD.A'B'C'D'co day ABCD 1a mot hinh thoi cạnh 2,

eéc BAD=60° Goi M là trung điểm cạnh 44' va là trung điểm cạnh CC’

Chứng minh rằng bốn điểm Z', AM D W cùng thuộc một mặt phẳng Hãy tính độ

dài cạnh 44' theo ø để tứ giác B'MDN là hình vuông

3) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc xyz cho hai điểm

Vì G là trọng tâm A45C và M là trung điểm 8C nên

Phương trình BC di qua M(1:-1) và vuông góc với

Ta thay MB=MC=M4=V10= toa độ B.C thỏa mãn phương trình: (x—1)“+(y+1)“ =10 (2)

Giải hệ (1).(2) ta được tọa độ của B.C là (4:0) (—2:-2)

A PB" 2)

Ta có 4'M //= NC 4'MCN là hình bình hành, SNC’ do đó 4'Œ và MN cắt nhau tại trung điểm J cta

M x< |`‹1/ N moi đường Mặt khác A DC8' là hình bình hành nên

mm N trung điểm ï của 4'C cũng chính là trung điểm của

ÁN _/ Br | BD Vậy MN và B'D cắt nhau tại trung điểm ï của

/ N ¬ moi dudéng nén B’MDN là hình binh hanh Do do B’,

D M, D, N cung thudc mot mat phang

Mặt khac DM* = DA” + AM = DC” + CN’ = DN’,

hay DM = DN Vay hinh binh hanh 8 M/ÐON là hình thoi Do đó B MON là hình vuông © M{N =B'D @ AC =B'D © AC°= B'D` =B'B +BD° © 3d = B'B` + đ

©BB =axJ2 ©AA =aA2

3)

Tir AC = (0:6:0) và A(2; 0; 0) suy ra C(2;: 6; 0), do đó (1; 3; 4)

Phương trình mặt phẳng (œ) qua ï và vuông góc với OA là: x—1=0

= tọa độ giao điểm của (œ) với ÓA là K(1: 0; 0)

— khoảng cách từ 7 đến ÓA là 7K =xÍ(1—1)2 +(0—3)? +(0—4)2 =5

NAM 2004

KHÓI A

Cau III (3 điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(O: 2) và B(-V3 : -1) Tim toa độ trực tâm và tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCT có đáy ABCT là hình thoi,

AC cát BD tại gốc tọa độ O Biết A(2: O0; 0), B(O; 1; 0), S(O; 0; 24/2) Gọi M là trung điểm của cạnh SC

a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA BM

b) Gia st? mat phang (ABM) cat đường thẳng SD tại điểm N Tính thể tích khối chóp S.ABMN.

KHÓI B

Câu II (3 điểm)

1) Trong mặt phảng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(1; 1), B(4; —3) Tìm điểm C thuộc đường thẳng x— 2y —1=0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thăng AB bằng 6

2) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bang ~ (0° < » < 90°) Tinh tang của góc giữa hai mạt phẳng (SAB) và (ABCD) theo @ Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và @

Goi giao diém cia AC va BD 1a

O thì SOI(ABCD) suy ra

SAO =ọ

Gọi trung điểm của AB là M thì

OM | AB va SM | AB=> Góc

giữa hai mặt phang (SAB) va

(ABCD) lA SMO

a

Tam giác OAB vuông cân tại O, nén OM = ¬" OA = SO = 5

Do do: tzSMO = SƠ =2 tgọ

OM

9

.x SABC =—S 3 ABCD SO =—a™ 3 5 t2@ =@ = ——-a te 6 s@

NAM 2005

KHOI A

Cau HH (3 điểm)

1) Trong mặt phăng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thăng

d,:x-y=0 và d,: 2x+y-1=0

Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biét rằng đỉnh A thuộc d, định C thuộc d;

và các đinh B D thuộc trục hoành

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thăng d: TT = a =

phăng (P) : 2x+y—2z+9=0

3 va mat z-3

a) Tìm tọa độ điêm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phăng (P) bằng 2 b) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thăng d và mặt phăng (P) Viết phương trình tham số của đường thăng A năm trong mặt phang (P) biệt A di qua A và vuông

- góc với d

KHÓIB _

Câu IH (3 điêm)

1) Trong mặt phăng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(2:0) và B(6:4) Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại đêm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điêm B bằng 5

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A,B,C; với

A(0;—3;0), B(4;0;0), C(0;3;0), B,(4;0; 4)

a) Tim tọa độ các đinh A,, C, Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với

mat phang (BCC,B, )

b) Gọi Mlà trung điêm của A,B, Viết phương trình mặt phăng (P) đi qua hai điểm

A, M và song song với BC, Mặt phăng (P) cắt đường thăng A,C, tại diém N Tính độ dài đoạn MN.

NĂM 2006

KHOI B

2 Cho hinh chop S.ABCD co day ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD= aJ/2,SA=a và

SA vuông góc với mat phang (ABCD) Goi M va N 1an Ivot 14 trung diém cia AD va SC;

I la giao diém của BM va AC Chimg minh rang mat phăng (SAC) vuông góc với mặt phăng (SMB) Tính thê tích của khôi tứ điện ANIB

Xet AABM va ABCA vuong co —— =—= =—— > AABM dong dang ABCA

AB 42 BC

= ABM=BCA— ABM+BAC =BCA +BAC =90° > AIB= 90°

SA I(ABCD) >SALMB (2)

Goi H là trung điểm của AC — NH là đường trung bình của ASAC

SA 1

> NH= => =< va NH//SA nén NH 1 (ABI) do dO Vanz = 3 NH Saar

AI AB’ AM- 3 3

sy _la a’ V2 a 2

ANE 32 6 36

NAM 2007

KHOI A

2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a mặt bên SAD là tam giác đêu và nam trong

mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M N, P lan lượt là trung điêm của các cạnh SB BC CD Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thê tích của khôi tứ diện CMNP

Chứng minh AM | BP va tinh thé tích khối tứ điện CMINP (1.00 điểm) Gọi H là trung điểm của AD

Do ASAD đêu nên SH 1 AD

Do(SAD) 1 (ABCD) nén

SH | (ABCD)

—> SH | BP (1)

Xét hình vuông ABCTD ta có

ACDH = ABCP =>

CH LBP (2) Ti (1) va (2)

suy ra BP 1 (SHC)

Vi MN//SC va AN //CH

nén (AMN)//(SHC) Suy ra

Ké MK | (ABCD).K €(ABCD) Tacé: Von = = MKSoe-

Vi MK =—SH= : 5 4 CNP = —CN.CP =— 5 S nên V, CMNP = 96 ( dvtt) )

KHOI B

2 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đối xứng của D

qua trung điềm của SA M là trung điểm của AE N là trung điêm của BC Chứng minh MN vuông

góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC

Goi P la trung điêm của SA Ta có MNCP là hình bình hành nên MN song

song với mặt phẳng (SAC) Mặt khác BD L (SAC) nén BD 1 MN

oH MNI (SAC) nề ¬

d( MN: AC) = d(N: (SAC) = 5 4(B:(SAC)) = 1PD = 7

a2

Vay d(MN:AC)=——

HÀ NGỌC BÌNH lớp 11 A 1 phong châu phú tho

hangocbinhh@yahoo.com.vn