cong thuc toan hoc 7

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌCA.. Kiến thức cơ bản 1.. Phương pháp qui nạp toán học Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n  N* là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiế

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

A Kiến thức cơ bản

1 Phương pháp qui nạp toán học

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n  N* là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được, ta có thể dùng phương pháp quy nạp toán học (hay gọi tắc là phương pháp quy nạp) như sau:

- Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.

- Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k  1 bất kì

(gọi là giả thiết quy nạp)

- Bước 3: Chứng minh rằng nó cũng đúng vớii n = k + 1.

2 Các kiến thức cần nhớ:

* Cách viết số tự nhiên:

 Các số tự nhiên liên tiếp: n ; n + 1 ; n + 2 ; …

 Các số tự nhiên chẵn liên tiếp: 2n ; 2n + 2 ; n + 4 ; …

 Các số tự nhiên lẻ liên tiếp: 2n + 1 ; 2n + 3 ; n + 5 ; …

* Tính chất chia hết:

 Các số chẵn thí chia hết cho 2.

 Các số tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.

 Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.

 Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.

 Số tạo bởi hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 thì chia hết cho 4.

 Số tạo bởi hai chữ số tận cùng chia hết cho 25 thì chia hết cho 25.

 Số tạo bởi 3 chữ số tận cùng chia hết cho 8 thì chia hết cho 8.

 Số tạo bởi 3 chữ số tận cùng chia hết cho 125 thì chia hết cho 125.

 Một số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 thì chia hết cho 6.

 Tích của hai số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2.

 Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2, 3 và 6.

 Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2, 3, 4, 6, 8.

* Tính chất lũy thừa:

 a m a n = a m+n

 a m :a n = a m – n

 (ab) n = a n b n

 (a m ) n = a m.n

n n

b

a b

a















m

n a  m a

* Phân tích đa thức ax 2 + bx + c thành nhân tử :

Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiện phân biệt x 1 , x 2 thì:

ax 2 + bx + c = a(x – x 1 )(x – x 2 )

B Bài tập

1 Chứng minh rằng: Với mọi n  N*:

a) n5 – n  5 b) 62n + 3n+2 + 3n 11

c) 13n – 1  6 d) n3 + 2n  3

e) 3n + 2n – 1 4 f) 32n – 1  8

g) 32n-1 + 2n+1

 7 h) 4.32n+2 + 32n – 36  64 i) 4n + 15n – 1  9 j) n3 + 11n  6

k) 16n – 15n – 1  225 l) n3 – n  3

m) n3 + 3n2 + 5n  3 n) 3n3 + 15  9

o) n7 – n  7 p) 2n3 – 3n2 + n  6

2 Chứng minh rằng: Với mọi n  N*:

a) 1 + 2 + 3 + … + n = n(n21)

b)

4

) 1 n ( n n 3

2









c) 2  4  6    n  n ( n  1 )

d) 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2

e) 11.2 21.3 n(n1 1)nn1







f) 31312 313 31n 43 4n.3n3

2

1 2 2

1 8

1 4

1

2









h) 3 + 9 + 27 + … + 3n = ( 3 3 )

2





i) 147( n 2)n( n2 1)

j) 2 + 5 + 8 + … + 3n– 1 = n(3n21)

k) 12 22 32 n2 n(n1)(6 n1)









l) 1 – 2 + 3 – 4 +  – 2n + (2n + 1) = n + 1

m) 1.21.3 2.31.4 n(n 11)(n 2) 4(nn(n1)(n3) 2)

















n) 1 4  2 7    n ( n  1 )  n ( n  1 ) 2

o) 1.22.33.4n(n1)n(n13)(n2) với n  2 p) 22 42 62 ( n)2 n(n13)( n1)









q) 1.2 + 2.5 + 3.8 + … + n(3n – 1) = n2(n + 1)

r)

3

) 1 n 4 ( n ) 1 n 2 ( 5

3











s) 1 + 3 + 6 + 10 + … + n(n21) = n(n16)(n2)

3 Chứng minh rằng: Với mọi n  N*:

a) 2n  2n + 1 với n  3 b) 2n > n2 với n  5

c) nn  (n + 1)n–1 d) n! > 2n – 1 với n  3

e) 3n > n2 + 4n + 5 với n  3 f) 2n + 2 > 2n + 5

g) sin2n + cos2n  1 h) 3n – 1 > n(n + 2) với n  4

i) 2n – 3 > 3n – 1 với n  8 j) 3n > 3n + 1 với n  2

4 Chứng minh rằng:

n n

n

2

b a 2

b a















, trong đó a, b > 0 và n  N*

5 Chứng minh rằng nếu ABC vuông tại A, có số đo các cạnh là a, b, c thì với mọi số tự

nhiên n  2, ta có bất đẳng thức : bn + cn  an

6 Với giá trị nào của số nguyên dương n, ta có:

a) 2n + 1 > n2 + 3n b) 2n > 2n + 1

c) 2n > n2 + 4n + 5 d) 3n > 2n + 7n ?

7 Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là n(n2 3)

8 Cho tổng Sn 11.3 31.5 51.7 (2n 1)(12n 1)













a) Tính S1, S2, S3, S4

b) Hãy dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng quy nạp

9 Cho tổng Sn 11.2 21.3 31.5 n(n1 1)











a) Tính S1, S2, S3, S4

b) Hãy dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng quy nạp

10 Cho tổng Sn 11.5 51.9 9.113 (4n 3)(14n 1)













a) Tính S1, S2, S3, S4

b) Hãy dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng quy nạp

11 Cho n số thực a1 , a2 , a3 , … , an thỏa – 1 < ai  0 với i = 1 , n

Chứng minh rằng: n  N* ta có:

(1 + a1) (1 + a2) … (1 + an)  1 + a1 + a2 + … + an

12 Chứng minh rằng với các số thực a1 , a2 , a3 , … , an (n  N*), ta có:

a1 + a2 + … + an  a1 + a2  + an 