Vậy quỹ tích các điểm M là trung trực của đoạn PQ 0.5 điểm.
Trang 1SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THỪA THIÊN - HUẾ
TRƯỜNG THPT HƯƠNG VINH
ĐỀÌ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 12
(Thời gian làm bài :180 phút )
Câu 1: (3.5 điểm)
Cho f : [0;1] → [0;1]
Giả sử f liên tục trong đoạn [0;1] và có đạo hàm trong khoảng (0;1) và f(0) =
0 và f(1) =1
a) Chứng minh rằng tồn tại số c thuộc khoảng (0;1) sao cho f(c) = 1- c b) Chứng minh rằng tồn tại hai số a,b phân biệt thuộc khoảng (0;1) sao cho :
Tích f '(a) f '(b) = 1.
Câu 2 : (3.5 điểm)
Cho cặp số thực (x;y) thoã mãn điều kiện : x-2y+4 = 0
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
89 16 10 45
12
2
2 +y − x− y+ + x +y − x− y+
x
Câu 3 : (3điểm)
Cho tam giác ABC Tìm quỹ tích các điểm M sao cho :
2
MA MB MC+ + = MB MC+
uuur uuur uuuur uuur uuuur
b) 2MA MBuuur uuur+ = 4MB MCuuur uuuur−
Trang 2Sở Giáo Dục & Đào tạo Thừa Thiên- Huế
Trường THPT Hương Vinh
TỔ TOÁN
ĐÁP ÁN& BIỂU ĐIỂM CHẤM TOÁN 12 ( HỌC SINH GIỎI)
Câu 1 (3,5 điểm) :
a) * Đặt g(x) = f(x) + x -1 với x thuộc đoạn [0;1] 0.5 điểm
Thì g(x) cũng liên tục trên đoạn [0;1] 0.5 điểm
* g(0) = -1 < 0 , g(1) =1 > 0 0.5 điểm
* Suy ra : ∃ c thuộc khoảng (0;1) sao cho g(c) = 0 ⇔ f(c) +c -1 = 0 ⇔ f(c) = 1-c 0.5 điểm
b) *Áp dụng định lí Lagrăng cho f(x) trên đoạn (0;c) và (c;1) ta có:
∃a∈(0;c) sao cho : f ' (a) =
0
) 0 ( ) (
−
−
c
f c f
=
c
c
f ( )
0.5 điểm
∃b∈(c;1) sao cho : f '(b) =
c
c f c
c f f
−
−
=
−
−
1
) ( 1 1
) ( ) 1 (
0.5 điểm
* Rõ ràng a≠b và tích f '(a) f '(b) = 1
1
1 1
) ( 1 ) (
=
−
−
=
−
−
c
c c
c c
c f c
c f
0.5 điểm
Câu 2 :(3.5 điểm )
* Biến đổi P= (x− 3 ) 2 + (y− 6 ) 2 + (x− 5 ) 2 + (y− 8 ) 2 0.5 điểm
• Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , gọi∆ là đường thẳng có phương trình x-2y+4 = 0
và các điểm M(x;y) , A(3;6) , B(5;8) thì P = MA + MB 0.5 điểm
• Bài toán trở thành tìm toạ độ của điểm M thuộc ∆ sao cho tổng MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất
0.25 điểm
điểm
* Tìm được toạ độ của điểm A' , đối xứng của A qua ∆ , đó là : A' (5;2) 0.5 điểm
• Với M thuộc ∆ ta có : MA + MB = MA' + MB ≥ A'B ( không đổi)
Trang 3Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A' , M , B thẳng hàng hay M chính là giao điểm của
điểm
* Tìm được phương trình của đường thẳng A'B là : x − 5 = 0 0.25 điểm
* Giải hệ phương trình
= +
−
=
−
0 4 2
0
5
y x
x
cho
=
= 2 9
5
y
x
0.25 điểm
* Vậy Min P = 6 khi x=5 và y=
2
9
0.25 điểm
Câu 3 : (3 điểm )
a) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, I là trung điểm của đoạn thẳng BC.Ta có G và I cố định
2
MA MB MC+ + = MB MC+
uuur uuur uuuur uuur uuuur
⇔3 3 2
2
MG = MI
uuuur uuur
Vậy quỹ tich các điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng GI 0.5 điểm
b) Gọi P là điểm sao cho 2uuur uuur rPA PB+ =0 ( tức là P chia đoạn AB theo tỉ số k=
-2
1 ) 0.5 điểm
Q là điểm sao cho 4QB−QC = 0 ( tức là Q chia đoạn BC theo tỉ số k =
4
1 ) 0.5 điểm
Hình vẽ 0.25 điểm
Trang 4• M thuộc quỹ tích⇔2MA MBuuur uuur+ = 4MB MCuuur uuuur− ⇔ 2(MP PAuuur uuur+ ) (+ MP PBuuur uuur+ ) 0.5 điểm
= 4(MQ QBuuuur uuur+ ) (− uuuur uuurMQ QC+ ) ⇔3MPuuur+2PA PBuuur uuur+ = 3MQuuuur+4QB QCuuur uuur−
⇔3MPuuur= 3MQuuuur ⇔ MP = MQ Vậy quỹ tích các điểm M là trung trực của đoạn PQ 0.5 điểm
