Một số ứng dụng của biểu thức liên hợpĐặt vấn đề Biểu thức liên hợp có nhiều ứng dụng trong giải toán nh: ứng dụng trong giải ph-ơng trình, bất phph-ơng trình hệ phph-ơng trình và tính
Trang 1Một số ứng dụng của biểu thức liên hợp
Đặt vấn đề
Biểu thức liên hợp có nhiều ứng dụng trong giải toán nh: ứng dụng trong giải
ph-ơng trình, bất phph-ơng trình hệ phph-ơng trình và tính giới hạn Đặc biệt có một số bài … toán chỉ ứng dụng biểu thức liên hợp mới giải đợc, hoặc cho cách giải bài toán ngắn gọn hơn so với cách giải khác Qua theo dõi qua các đề thi học sinh giỏi, các đề thi
đại học tôi thấy lớp bài tập ứng dụng phơng pháp này tơng đối nhiều
Thực tế trực tiếp giảng dạy tôi thấy, hầu hết các em học sinh rất yếu trong việc nhận dạng bài toán và định hớng bài toán để áp dụng phơng pháp này
Vì vậy, tôi chọn đề tài này, với cách trình bày đa ra các ví dụ có tính rèn luyện kỉ năng và phát triển t duy để phần nào giúp các em nắm đợc phơng pháp này để áp dụng vào giải các bài toán có liên quan
I >ứng dụng trong giải phơng trình
B i1 à Giải phương trỡnh : 3 ( 2 + x− 2 ) = 2x+ x+ 6 (1)
(Đề thi ĐH Kỹ thuật quân sự năm 2000)
Hướng dẫn giải : Điều kiện xỏc định : x≥ 2
Phương trỡnh (1) ⇔ 3 x− 2 − x+ 6 = 2 (x− 3 )
= + +
−
=
⇔
+ +
−
−
=
−
⇔
4 6 2
3 3
) 6 2
3 )(
3 ( 2 ) 3 ( 8
x x
x
x x
x x
Giải phương trỡnh :3 x− 2 + x+ 6 = 4 đựơc nghiệm x=11−2 45
Vậy phương trỡnh (1) cú hai nghiệm phõn biệt x = 3 ;
2
45
11 −
=
Nhận xét :1>Do nhận thấy :( 3 x− 2 ) 2 − ( x+ 6 ) 2 = 8 (x− 3 ) nên ta nhân biểu thức liên hợp để làm xuất hiện nhân tử chung (x-3)
2> Bài toán tổng quát của bài (1): ax+m− bx+n=k[(a−b)x+m−n]
Với a,b,k,m,n∈R∗
B i 2 à Giải phương trỡnh : x− 2 + 4 −x = 2x2 − 5x− 1 (2)
(Đề đăng trên báo toán học tuổi trẻ)
Hướng dẫn giải : Điều kịên xỏc định :2 ≤ x≤ 4
Nhận thấy x=3 là một nghiệm của phơng trình (2)
Trang 2Phương trỡnh (2)⇔ x− 2 − 1 + 4 −x− 1 = 2x2 − 5x− 3
(*) 0 ) 1 2
1 1
2 1 4
1 )(
3 (
) 3 )(
1 2 ( 1 4
3 1 2 3
= +
−
− + + +
−
−
− +
= +
−
− + +
−
−
⇔
x
x x
x
x x x
x x
x
Do 2 ≤x≤ 4 nên 2 1 1 12 1
1 4
1
+
−
≥
>
+ + +
Do đó (*) ⇔ x= 3
Vậy Phương trỡnh (2) có nghiệm duy nhất x=3
Nhận xét:
1> Do nhận thấy đợc một nghiệm x=3 của phơng trình , nên ta ứng dụng biểu thức liên hợp để làm xuất hiện nhân tử chung
2> Bài toán tổng quát của bài (2) :
2 ) 2 2 ( ) 2 2
( ) (
2 2
x m n m n x m n x n m
Với m+ 2 ≤n
B i3: à Giải phương trình : x x x 2 x x
2
sin 1
sin sin 2 sin
sin 1
+
+
=
−
(3) (Đề thi học sinh giỏi lớp 11 Tĩnh nghệ An)
Hướng dẫn giải : Điều kiện xỏc định : 0 < sinx≤ 1
Phương trỡnh (3)
x
x x
x
2
sin 1
1 sin 2 1 sin
sin 1
+
− +
=
−
⇔
+
=
+
=
⇔
=
⇔
= +
−
+ +
−
⇔
+
−
= +
−
−
⇔
+
−
=
−
−
⇔
π π
π π
2 6
5
2 6 2
1 sin
0 ) sin ) sin sin
1 (
1 sin
1
1 )(
1 sin
2
(
sin 1
1 sin 2 sin
) sin sin
1
(
sin 2 1
sin 1
1 sin 2 sin
sin sin
1
2
2 2
k x
k x
x
x x
x x
x
x
x x
x x
x
x
x x
x x
Vậy phương trỡnh (3) có hai họ nghiệm : π 2 π
6 k
x= + ; π 2 π
6
5
k
x= + (k∈Z)
Nhận xét :
1>Bài toán (3) có thể giải theo phơng pháp đánh giá hai vế
Thật vậy : Đặt sinx=y , điều kiện 0 <y≤ 1
Trang 3Khi đó phương trỡnh (3) trở thành : 2 2
2
1
1 2 1 1
2 1
y
y y
y y y
y
+
− +
= +
+
=
Nhận thấy
2
1
=
y là nghiệm của phơng trình (*)
Với
2
1
0 <y< thì 1-y>y>0 và 2y-1<0 suy ra 1 2
1 2 1 1
1
y
y y
y
+
− +
>
>
− nên (*) vô nghiệm với
2
1
0 < y<
2
1 < y≤ thì 0 ≤ 1 −y<y và2y-1>0 suy ra 1 2
1 2 1 1
1
y
y y
y
+
− +
<
<
− nên (*) vô nghiệm với 1
2
1
≤
< y
2> Bài toán tổng quát của bài (3) : 2 2
m y
y p n y py
ny m
+
+ +
=
−
với m ,,n plà các số thực dơng
B i4 à Giải phương trình : 3 9 − 2x + 5 2x − 1 = 2 2x+ 1 + 3 2x − 5 (4)
(Đề thi học sinh giỏi lớp 11 Tĩnh Quảng Bình)
Hướng dẫn giải :
Đặt 2x =y phơng trình (4) trở thành : 3 9 −y + 5y− 1 = 2y2 + 3y− 1 (*)
Điều kiện xỏc định :y ≥51
Nhận thấy phơmg trình(*) có một nghiệm y=1
Phơng trình(*)⇔3 9 −y− 2 + 5y− 1 − 2 = 2y2 + 3y− 5
(**) 0 ) 2 1 5
5 3
) 1 9 (.
1 5
2 )(
1 (
) 5 2 )(
1 ( 2 1 5
) 1 ( 5 4 9
2 ) 9 (
1
2 3
3
= +
−
− + +
− + +
−
⇔
+
−
= +
−
− +
+
− +
−
−
⇔
y y
y y
y y
y
y y
y y
Do y≥15nên 5 25 5 51 2
3 ) 1 9 (
1 5
3 − + + > > ≥ − + +
+
y y
Do đó (**) ⇔y= 1 (Thoả mãn điều kiện
5
1
≥
y ) Với y=1 ta có 2x = 1 ⇔ x= 0
Vậy phơng trình (4) có nghiệm duy nhất x=0
Nhận xét :Phơmg trình(*) có thể giải theo phơng pháp đánh giá
Thật vậy :
Với y> 1 ⇒ 3 9 −y < 2 < 5y− 1, khi đó
1 3 2 ) 1 ( 2 1 5 1 5 1 5 2 1 5
3 −y+ y− < y− < y− < y− + y y− = y + y− nên (*) vô nghiệm
Trang 4Với 1 9 2 5 1
5
1 ≤ y< ⇒3 −y > > y− khi đó
1 3 2 ) 1 ( 2 1 5 1 5 1 5 2 1 5
3 −y + y− > y− > y− > y− + y y− = y + y− nên (*) vô nghiệm Vậy y=1 là nghiệm duy nhất của (*).
Bài5 Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H Cho biết HA=1;HB= 2;HC= 5 Tính diện tích tam giác ABC.
Hướng dẫn giải : Gọi O là tâm đờng tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC
AO cắt (O) Tại K Suy ra KC ⊥AC
Do BH⊥AC nên KC | | BH
Tơng tự : BK || CH Do đó BHCK là hình bình hành
Nên BC và HK cắt nhau tại trung điểm M của BC
Trong tam giác AHK , MO là đờng trung bình
Nên MO=
2
1
AH do đó AH2+BC2 = 4MO2 +4BM2
= 4BO2 = 4R2
(R là bán kính đờng tròn (o) )
Chứng minh tơng tự ta có BH2 +AC2 = 4R2
Đặt HD = x (0<x< 2 ) (D là chân đờng cao hạ từ A xuống BC )
Vẽ BE⊥AC (E∈AC ) Ta có ∠HBD= x = sin ∠HAE =HE
2
2
x
HE =
Ta lại có BD= 2 −x2 , DC= 5 −x2 , AE=
2 1
2
x
− , EC=
2 5
2
x
(áp dụng định lí Py tha gore cho các tam giác vuông BHD, HDC, AEH, EHC ) Vì AH2 +BC2 = BH2 +AC2 nên ta có:
(*) 0 ) ) 10 )(
2 (
11 1
2 ) 5 )(
2 (
2 12 )(
1
(
3 ) 10 )(
2 (
) 11 )(
1 ( 1 2
) 5 )(
2
(
) 6 )(
1
(
2
3 ) 10 )(
2 (
12 11 1
2 ) 5 )(
2
(
) 7
6
(
2
3 ) 10 )(
2 ( 1 )
2 ) 5 )(
2
(
(
2
) 10 )(
2 ( )
5 )(
2
(
2
) 2
5 2 1 ( 2 ) 5 2
(
1
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
4 2 2
2 2
4 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
=
−
−
−
− + +
−
−
−
−
⇔
+
−
−
−
− +
−
= +
−
−
−
−
⇔
+
−
−
+
− +
−
= +
−
−
+
−
⇔
−
−
− +
−
=
−
−
−
⇔
−
− +
=
−
−
⇔
− +
− +
=
− +
−
+
x x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x x
x x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x x x
x x
x x
Trang 5
Do x2 < 2 nên
>
+
−
−
>
+
−
−
>
−
>
−
1 2 ) 5 )(
2(
3 ) 10 )(
2(
1 1,
0 11
2 2
2 2
2 2
x x
x x
x x
−
−
− +
+
−
−
−
= +
−
−
−
) 5 )(
2 (
1 2
) 5 )(
2 (
11 2
) 5 )(
2
(
2 12
2 2
2 2
2
2 2
2
2
x x
x x
x
x x
x x
+
−
−
− +
−
−
−
2 ) 5 )(
2 (
1 3
) 10 )(
2
(
11
2 2
2 2
2
x x
x x
x
> 1
) 10 )(
2
(
11
2 2
2
−
−
−
−
x x
x
Vây (*)⇔ x2 = 1 ⇔ x= 1 (vì (0<x< 2 )
Suy ra BD=1, DC=2, AD=AH+HD=2
Diện tích tam giác ABC bằng : 3
2
II >ứng dụng trong giải bất phơng trình
B i 6 à Giải bất phương trình : 9
1
2
Hướng dẫn giải : Điều kiện xỏc định : x≥ 0
(*) 9 8 )
9
(
8
9
9 1
2 2 9
1
2
2
)
6
(
≤ + +
⇔
+ +
≤ +
⇔
− +
≤
+
⇔
x x
x x
x x x
x
áp dụng bất đẳng thức B.N.A cho hai cặp số ( x+ 9 , 8x)và( 8 , 1 ) ta đợc :
1 9 ) 8 9 )(
1 8 ( 8
)
9
(
8 x+ + x ≤ + x+ + x = x+
Dấu bằng xẩy ra khi : 8 9 8 71
8
9
=
⇔
= +
⇔
=
x
Suy ra (*) đúng với mọi x không âm
Vậy tập nghiệm của bất phơng trình (6) là x≥ 0
B i 7 à Giải bất phương trình : 3 x2 − 2 3 x− (x− 4 ) x− 7 ≤ 3x− 28 (7)
Hướng dẫn giải : Điều kiện xỏc định : x≥ 7
⇔
)
7
( 3 x(3 x−2)−(x−4)( x−7 −1)≤4(x−8)
(*) 0 ) 4 2 1
7
4 4
)(
8
(
0 ) 8 ( 4 1 7
) 8 )(
4 ( 4 2
) 8 (
3
3
3
3
≤ + +
− +
−
− +
−
⇔
≤
−
− +
−
−
−
− + +
−
⇔
x x
x x
x x
x x
x x x
x
x
x
Trang 6Với x≥ 7 ta có : 6
1 2
4 3
1 2
4
1 4
3
3 3
3 3
3
=
≤ + +
= + +
x
x x
x x
x
x
<4 74 1
+
−
− +
x x
4 2 1
7
7 4
3
3 2
3
>
+ +
− +
−
− +
x x
x x
x
, do đó (*) ⇔ 8 −x≤ 0 ⇔x≥ 8 Vậy tập nghiệm của bất phơng trình (7) là x≥ 8
B i 8 à Giải bất phương trình :
x2 − 4x+ 3 + x2 − 5x+ 4 ≥ 2 x2 − 6x+ 5 (8)
(Đề thi ĐH ngoại thơng năm 2001)
Hướng dẫn giải : Điều kiện xỏc định:
≥
≤
5
1
x x
Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của (8)
Xét
≥
<
5
1
x
x
Khi đó:
1 0
1
0 ) 5 6 4
5
1 5
6 3
4
2 )(
1 ( )
8
(
2 2
2 2
≥
⇔
≥
−
⇔
≥ +
− + +
−
+ +
− + +
−
−
⇔
x x
x x x
x x
x x
x x
Đối chiếu điều kiện ta đợc tập nghiệm của bất phơng trình x x≥=15
Nhận xét :Bài toán tổng quát của bài (8):
(x−n)(x−m+ 1 ) + (x−n)(x−m) ≥ 2 x−n)(x−m− 1 )
III >ứng dụng trong giải hệ phơng trình.
B i 9 à Giải hệ phương trình :
+
−
= +
+
−
= +
2 2
2 2
1 21
1 21
x x y
y y
x
(9)
(Đề thi OLYMPIC 30 tháng 4.)
Hướng dẫn giải :
Điều kiện xỏc định :
≥
≥
1
1
y x
Nhận thấy
=
=
1
1
y x
không phải là nghiệm của (9)
Trang 7x
y x y x
y x
y x y
x
y x y x
y x y
x
y x
x x y y y
x
=
⇔
= + +
− +
−
+ + + +
+
−
⇔
=
− +
− +
−
− +
+ + +
−
⇔
−
−
− +
−
= +
− +
⇒
0 ) 1
1
1 21
21 )(
(
0 1
1 21
21
1 1
21 21
)
9
(
2 2
2 2 2
2
2 2
VËy hÖ (9)⇔
+−=
+
=
⇔
+−=
+
=
(*) 1 21 1
2
xx x
yx yy x
yx
2
0 )) 5 21
1 1
)(
2 ( 1 1
1 )(
2
(
4 1
1
2 5
21
4
4 1
1 5
21
(*)
2
2 2
2
2 2
=
⇔
= + +
− + + +
−
−
⇔
− + +
−
−
= + +
−
⇔
− +
−
−
=
− +
⇔
x
x
x x
x
x x
x x
x
x x
x
VËy hÖ (9) cã nghiÖm duy nhÊt (2;2)
B i 10 à Giải hÖ phương tr×nh:
− +
−
=
− + +
− +
−
=
− + +
12 2 16 2
4 4
12 2 16 2
4 4
2
2
x x
y y
y y
x
x
(10)
Hưíng dẫn giải:
Điều kiÖn xác định
≥
≥
4
4
y
x
NhËn thÊy
=
=
4
4
y x
kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña (10)
Trang 8x
y x
y x
y x
y x y
x
x y y
x
x y y
x
y x y
x
y x
x x
y y
y y
x x
=
⇔
= + + + +
+
− +
−
+
− +
−
+
−
⇔
− +
− +
−
−
=
− +
−
− +
+ +
+
−
⇔
−
−
− +
−
=
−
− +
−
− +
+
⇒
0 ) 2 4 4
1 4
4
1 16
16
) ( 2 )(
(
) ( 2 16 16
) (
2 4
4 4
4
2 16 2
2 16 2
4 4
4 4
)
10
(
2 2
2 2
2 2
2 2
Vây:
− +
−
=
− +
+
=
⇔
− +
−
=
− +
+
=
⇔
(*) 12 2 16 2 4 4
12 2 16 2 4 4
)10
(
2
2
x x
x x
y
x
y y
x x
y
x
(**) 0 ) ) 1 4 ( 2
1 )
3 4 ( 2
1 3
16
5 1
)(
5
(
3 16
25 5
) 1 4 ( 2
5 )
3 4 (
2
5
) 5 3 16 (
2 1 4 3
4
(*)
2
2 2 2
= +
−
− + +
− +
−
+ +
−
⇔
+
−
− +
−
= +
−
− +
+ +
−
⇔
− +
−
−
=
−
− +
−
+
⇔
x x
x
x x
x
x x
x
x x
x
x x
x x
Vì x≥ 4 nên:
) 1 4 ( 2
1 )
3 4 ( 2
1 2
1 6
1 1 3 16
5
1
+
+
x x
x
x
Do đó (**)⇔ x = 5
Vậy hệ (10) có nghiệm duy nhất (5;5).
IV >ứng dụng trong tính giới hạn.
B i 11 à Tính giới hạn sau : A= limx n1 x ax 1
0
− +
→
(với n∈N∗ ;a∈R∗)
Hướng dẫn giải : A=
) 1
) 1 ( )
1 ( (
1 1
lim 1 1
lim
2 1
0
− +
=
− +
−
−
→
n
ax x
ax
Trang 9A x ax n a ax n =n a
+ + +
+ +
=
−
−
lim
2 1
0
VËy : A=
n
a x
ax
n
→
1 1
lim
0
B i 12 à TÝnh giíi h¹n sau : A= p q
n m
bx ax
+
− +
+
− +
→ 1 1
1 1
lim
0
(víi m,n,p,q∈N*; a,b∈R* ;aq≠bp)
Hưíng dẫn giải:
A=
q
b p
b m a
x
qx x
ax
x
bx x
ax
bx ax
bx ax
q p
n m
x q
p
n m
x
−
−
=
− +
−
− +
− +
−
− +
= +
− +
+
− +
→
1 1
1 1
lim 1
1
1 1
lim
0 0
(¸p dông kÕt qu¶ bµi 10 )
B i 13 à TÝnh giíi h¹n sau : A= lim 11 .. 11 11
− + +
→ p q
n m
bx ax
(víi m,n,p,q∈N*; a,b∈R*)
Hưíng dẫn giải :
p
a q
b m
a n b
x
ax x
bx ax
x
ax x
bx ax
ax bx
ax
ax bx
ax
m n
m
x p
q p
m n
m
x
+
+
=
− + +
− + +
− + +
− + +
=
− + +
− + +
− + +
− + +
=
→
1 1
) 1 1
.(
1 lim 1 1
) 1 1
.(
1
1 1
) 1 1
.(
1
lim
0 0
NhËn xÐt : C¸ch gi¶i trªn :
Tö sè thªm ,bít cho m1 +ax, mÈu sè thªm, bít cho p
ax
+
B i 14 à TÝnh giíi h¹n sau : lim01 cos cos22 .3 cos3
x
x x
x A
x
−
= → Hưíng dẫn giải :
Trang 10) 3 cos 1
2 cos cos 2
cos 1
cos cos
1 ( lim 3
cos 2 cos cos
1
3 2
2 0 2
3
x x
x x
x x
x
x x
x x
x A
x x
− +
− +
−
=
−
=
→
→
) ) 3 cos 3
cos 1
(
) 3 cos 1 ( 2 cos cos )
2 cos 1
(
) 2 cos 1 ( cos 2 sin
2
(
lim
2 3
2 2
2
2
x x
x x
x
x x
x
x A
− +
+
− +
=
→
) ) 2
3 ( 2
3 sin ) 3 cos 3
cos 1
( 2
2 cos cos 9 sin
2 ) 2 cos 1
(
cos 2 )
2
.(
2
2
sin
(
lim
2
2
2 3
2 2 2
2
x
x x
x x
x
x x
x x
x A
=
→
3 2
3
1
2
1 + + =
=
A
Nhận xét :Cách giải trên tử số thêm , bớt cho cos và x cosx cos 2x
Kết luận và kiến nghị.
Phơng pháp giải toán thì đa dạng và phong phú, nhng các em nhớ rằng mỗi phơng pháp đều có tính u việt riêng của nó Vì vậy các em nên học hỏi nhiều phơng pháp,
điều đó sẻ giúp cho các em rất nhiều trong việc định hớng tìm ra cách giải ngắn gọn cho một bài toán
Ngoài các ứng dụng trên, các em có thể mở rộng thêm sang lớp bài tập tích phân, lớp bài tập chứng minh bất đẳng thức
để giúp các em rèn luyện phơng pháp này, các em làm các bài tập sau
Bài tập t luyện
Giải các phơng trình sau :
1> x2 + 15 − x2 + 9 = 3x− 2 (Đề thi ĐH Bách khoa năm 2001)
2> 2x2 + 16x+ 18 + x2 − 1 = 2x+ 4
3> sinx− 1 + 3 2 − sinx = 1
4> 2x+ 1 + 2x− 3 = x+ 3 + x− 1
5> sinx+ 1 sin − x = cosx+ 1 cos − x (Đề thi học sinh giỏi lớp 11 Tĩnh Hà Tĩnh) Giải các bất phơng trình sau :
1> 3 2 3
2> 2 x− − 1 x+ > − 2 x 2 (Đề thi ĐH Mỏ Địa chất năm 2000)
3> 2 2
9
( 1 3 1)
x
x
x > +
+ − (Đề thi ĐH Vinh năm 1998)
4(x+ 1) < (2x+ 10)(1 − 3 2 ) + x
Giải các hệ phơng trình sau:
1> 20081 2008 20091
2
Trang 112> Tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm :
2 2
4 4
+ + =
(Đề thi học sinh giỏi lớp 10 Tĩnh Hà Tĩnh) Tính các giối hạn sau:
1> 4 3
7
lim
9 2
x
x
→
+ −
2> 20052006 20062007
1
lim
x
→
−
− (Đề thi học sinh giỏi lớp 11 Tĩnh Hà Tĩnh)
3> lim ( )
→+∞ + + −
1
lim
(1 )
n n
x
x −
→
− ( n nguyên dơng )
5>
0
lim
1 cos
x
x x
+
→
−
− (Đề thi ĐH Lâm nghiệp năm 2001)
6> 23
0
lim
x
x
→
+ − + (Đề thi ĐH Thuỷ Lợi năm 2000 )
