chương 2 biến ngẫu nhiên

Định nghĩa: Xét phép thử có không gian mẫu . Hàm � xác định trên  và lấy giá trị trong tập các số thực được gọi là một biến ngẫu nhiên. Ví dụ: Tung hai đồng xu cân đối đồng chất. Nếu có mặt sấp thì được 2 đồng, nếu có mặt ngửa thì thua 1 đồng. Gọi � là số tiền nhận được thì � là một biến ngẫu nhiên. Không gian mẫu: Ω = {��, ��, ��, ��} � �� = −2 � �� = 1 � �� = 4 � = −2 = {��} � = 1 = {��, ��} � = 4 = {��} � �� = 1 � � = −2 =? � � = 1 =? � � = 4 =?Ví dụ: Một người mua hai linh kiện điện tử. Mỗi linh kiện có thể bị từ chối hoặc được chấp nhận. Giả sử 4 kết quả có thể - �, � , �, � , �, � , (�, �)- có các xác suất tương ứng là 0.09; 0.21; 0.21; 0.49 (với (�, �) có nghĩa là linh kiện thứ nhất là được chấp nhận và linh kiện thứ hai thì bị từ chối). Đặt � là số linh kiện chấp nhận được sau khi mua. Thì � là biến ngẫu nhiên, và có thể nhận các giá trị với xác xuất tương ứng cho ở bảng sau:

Biến ngẫu nhiên

Chương 2

Biến ngẫu nhiên

Hàm phân phối

Biến ngẫu nhiên rời rạc

Biến ngẫu nhiên liên tục Phân phối đồng thời

Kỳ vọng, phương sai, mod Bài tập

Biến ngẫu nhiên

Định nghĩa: Xét phép thử có không gian mẫu  Hàm 𝑋

xác định trên  và lấy giá trị trong tập các số thực được gọi là một biến ngẫu nhiên

Ví dụ: Tung hai đồng xu cân đối đồng chất Nếu có mặt

sấp thì được 2 đồng, nếu có mặt ngửa thì thua 1 đồng Gọi 𝑋 là số tiền nhận được thì 𝑋 là một biến ngẫu nhiên

Không gian mẫu: Ω = {𝑆𝑆, 𝑆𝑁, 𝑁𝑆, 𝑁𝑁}

Ví dụ: Một người mua hai linh kiện điện tử Mỗi linh

kiện có thể bị từ chối hoặc được chấp nhận Giả sử 4 kết quả có thể - 𝑑, 𝑑 , 𝑑, 𝑎 , 𝑎, 𝑑 , (𝑎, 𝑎)- có các xác suất tương ứng là 0.09; 0.21; 0.21; 0.49 (với (𝑎, 𝑑) có nghĩa là linh kiện thứ nhất là được chấp nhận và linh kiện thứ hai thì bị từ chối) Đặt 𝑋 là số linh kiện chấp nhận được sau khi mua Thì 𝑋 là biến ngẫu nhiên, và có thể nhận các giá trị với xác xuất tương ứng cho ở bảng sau:

Biến ngẫu nhiên

Hàm phân phối

Ví dụ

Định nghĩa: Cho 𝑋 là một biến ngẫu nhiên xác định

trên không gian mẫu  Với mỗi 𝑥 ∈ ℝ, ta đặt

𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 < 𝑥 𝐹(𝑥) được gọi là hàm phân phối xác suất của 𝑋

𝐹 0.5 = 𝑃 𝑋 < 0.5 = 𝑃 𝑋 = 0 = 0.09

𝐹 1.0 = 𝑃 𝑋 < 1.0 = ?

𝑃 0.09 0.42 0.49

𝑃 0 ≤ 𝑋 < 1.5 =?

Bảng phân phối xác suất của 𝑿

Nếu biến ngẫu nhiên 𝑋 nhận các giá trị {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛} hay {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, … } thì ta gọi 𝑋 là BNN rời rạc

Biến ngẫu nhiên rời rạc

Ví dụ: Một hộp đựng 4 quả cầu giống nhau đánh số 1,

2, 3, 4 Lấy ngẫu nhiên 2 quả Gọi 𝑋 là tổng hai số ghi trên hai quả đó Tìm bảng PPXS của X

Giải Do ta chỉ quan tâm đến tổng hai số ghi trên hai

Ví dụ: Một xạ thủ có 4 viên đạn, bắn lần lượt từng viên

vào một mục tiêu một cách độc lập Xác suất trúng mục tiêu ở mỗi lần bắn là 0,8 Biết rằng, nếu có 1 viên trúng mục tiêu hoặc hết đạn thì dừng Gọi 𝑋 là số viên đạn xạ thủ đã bắn, tìm hàm phân phối xác suất của 𝑋

Biến ngẫu nhiên rời rạc

Bài tập: Một hộp có 3 viên phấn trắng và 2 viên phấn

đỏ Một người lấy ngẫu nhiên mỗi lần 1 viên (không trả lại) từ hộp đó ra cho đến khi lấy được 2 viên phấn đỏ Gọi 𝑋 là số lần người đó lấy phấn Hãy tìm hàm phân phối xác suất 𝑋

Biến ngẫu nhiên liên tục

Định nghĩa: Ta nói 𝑋 là biến ngẫu nhiên liên tục nếu tồn

tại hàm 𝑓(𝑥) không âm, xác định với mọi 𝑥 ∈ ℝ, có tính chất: Với mọi 𝐵 ⊂ ℝ,

4 𝑃 𝑋 = 𝑎 = 0

Biến ngẫu nhiên liên tục

Ví dụ: Cho 𝑋 là BNN liên tục có hàm mật độ

𝑓 𝑥 = 𝐶 4𝑥 − 2𝑥2 , 0 < 𝑥 < 2

0, nơi kháca) Xác định 𝐶

b) Tìm 𝑃(𝑋 > 1)

c) Tìm hàm phân phối xác suất của 𝑋

Phân phối đồng thời 2 BNN

Ví dụ: Giả sử chọn ngẫu nhiên 3 pin từ nhóm gồm 3 pin

mới, 4 pin đã sử dụng nhưng vẫn còn hoạt động, và 5 pin đã hết hoạt động Đặt 𝑋 và 𝑌 tương ứng là số pin mới và đã sử dụng nhưng vẫn còn hoạt động được chọn Tính 𝑝𝑖𝑗 = 𝑃 𝑋 = 𝑖, 𝑌 = 𝑗

220

40 220

30 220

4 220

84 220

220

60 220

18

220 0

108 220

220 0 0 0

1 220

𝑃(𝑌 = 𝑗) 56

220

112 220

48 220

4 220

Phân phối đồng thời 2 BNN

Cho 𝑋 = 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 , 𝑌 = 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑚 là hai biến BNN rời rạc

Phân phối lề của 𝑿

Phân phối lề của 𝒀

Phân phối lề

𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 = 𝑝𝑖𝑗

𝑚 𝑗=1

= 𝑞𝑗

Bảng phân phối xác suất của 𝑿 khi biết 𝒀 = 𝒚𝒋:

Phân phối có điều kiện

Bảng phân phối xác suất của 𝒀 khi biết 𝑿 = 𝒙𝒊:

Phân phối có điều kiện

Ví dụ: Chi phí quảng cáo 𝑋 (triệu đồng) và doanh thu 𝑌

(triệu đồng) của một cửa hàng có bảng phân phối đồng thời như sau

1 Tìm các phân phối lề;

2 Tìm phân phối của 𝑋 khi 𝑌 = 500;

3 Tìm phân phối của 𝑌 khi 𝑋 = 80;

Phân phối có điều kiện

50 0.15 0.20 0.05

80 0.05 0.05 0.35

Bài tập: Có ba lô sản phẩm, mỗi lô có 10 sản phẩm, lô

thứ i có i phế phẩm, i=1,2,3 Tung hai đồng tiền Nếu không có mặt sấp nào thì chọn lô 1, có một mặt sấp thì chọn lô 2, có hai mặt sấp thì chọn lô 3 Từ lô được chọn lấy ra một sản phẩm Gọi X là số mặt sấp khi tung hai đồng tiền, Y là số phế phẩm được lấy ra

1 Lập bảng XS đồng thời của (X,Y)

2 Tìm các phân phối lề

3 Tìm phân phối X/Y=1 và Y/X=1

Phân phối có điều kiện

Định nghĩa: 𝑋 và 𝑌 độc lập khi và chỉ khi

𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖, 𝑌 = 𝑦𝑗 = 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 𝑃 𝑌 = 𝑦𝑗 , ∀𝑖, 𝑗

⇔ 𝑝𝑖𝑗 = 𝑝𝑗𝑞𝑗, ∀𝑖, 𝑗

Ví dụ: Tung hai đồng xu cân đối và đồng chất Gọi X là

số mặt sấp xuất hiện, Y là số mặt ngửa xuất hiện

1.Lập bảng XS đồng thời của (X,Y)

2.Tìm các phân phối lề

3.X và Y có độc lập hay không?

Hai biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập

Định nghĩa: Hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0 được gọi là hàm mật độ

đồng thời của 𝑋 và 𝑌 nếu với mọi tập 𝐷 trong ℛ2 ta có

b) Tính xác suất 𝑃 𝑋 > 𝑌 , 𝑃 𝑋 + 𝑌 < 2

Định nghĩa: Cho 𝑓(𝑥, 𝑦) là hàm mật độ đồng thời của 𝑋

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

Định nghĩa: Cho BNN rời rạc 𝑋 có bảng phân phối

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

Định nghĩa: Cho BNN liên tục 𝑋 có hàm mật độ xác

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

Ví dụ: Năng suất lúa 𝑋 (tấn/ha) và lượng phân

b) Tính lượng phân trung bình

Cho 𝑋 là một biến ngẫu nhiên và hàm số ℎ(𝑥) Thế thì

𝑌 = ℎ 𝑋

là một biến số ngẫu nhiên Hơn nữa,

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

Ví dụ: Thời gian học rành nghề sửa tivi của một người

là biến ngẫu nhiên 𝑋 có hàm mật độ

Ví dụ: Nhu cầu hàng ngày của 1 khu phố về rau sạch

có bảng phân phối xác suất cho ở bảng sau

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

Nhu cầu(kg) 25 26 27 28

Một cửa hàng trong khu phố nhập về mỗi ngày 28kg rau sạch với giá 10.000 đồng/kg và bán ra với giá 15.000 đồng/kg Nếu bị ế, cuối ngày cửa hàng phải bán hạ giá còn 7500 đồng/kg mới bán hết hàng Tính tiền lời trung trình của cửa hàng về loại rau sạch trong một ngày

Ý nghĩa của kỳ vọng

 Kỳ vọng là giá trị trung bình (theo xác suất) của

biến ngẫu nhiên X, nó phản ánh giá trị trung tâm phân phối xác suất của X

 Trong thực tế sản xuất hay kinh doanh nếu cần chọn phương án cho năng suất (hay lợi nhuận) cao, người ta chọn phương án sao cho năng suất

kỳ vọng (hay lợi nhuận kỳ vọng) cao

Ví dụ: Một thống kê tỉ lệ tai nạn xe gắn máy ở thành

phố 𝐻 là 0,001 Công ty bảo hiểm 𝐴 đề nghị bán bảo hiểm cho ông 𝐵 ở thành phố 𝐻 trong một năm với số tiền chi trả là 10 (triệu đồng), phí bảo hiểm là 0,1 (triệu đồng) Hỏi trung bình công ty lãi bao nhiêu khi bán bảo hiểm cho ông 𝐵?

Ý nghĩa của kỳ vọng

Ví dụ: Người thợ chép tranh mỗi tuần chép hai bức

tranh độc lập A và B với xác suất hỏng tương ứng là

0,03 và 0,05 Nếu thành công thì người thợ sẽ kiếm

lời từ bức tranh A là 1,3 triệu đồng và B là 0,9 triệu đồng, nhưng nếu hỏng thì bị lỗ do bức tranh A là 0,8 triệu đồng và do B là 0,6 triệu đồng Hỏi trung

bình người thợ nhận được bao nhiêu tiền chép tranh mỗi tuần?

A 2,185 triệu đồng; B 2,148 triệu đồng

C 2,116 triệu đồng; D 2,062 triệu đồng

Ý nghĩa của kỳ vọng

Bài tập: Một dự án xây dựng được viện C thiết kế

cho cả 2 bên A và B xét duyệt một cách độc lập Xác suất (khả năng) để A và B chấp nhận dự án này khi

xét duyệt thiết kế là 70% và 80% Nếu chấp nhận dự

án thì bên A phải trả cho C là 400 triệu đồng, còn

ngược lại thì phải trả 100 triệu đồng Nếu chấp

nhận dự án thì bên B phải trả cho C là 1 tỉ đồng, còn

ngược lại thì phải trả 300 triệu đồng Biết chi phí

cho thiết kế của C là 1 tỉ đồng và 10% thuế doanh thu Hỏi trung bình viện C có lãi bao nhiêu khi nhận

thiết kế trên?

Ý nghĩa của kỳ vọng

Phương sai của biến ngẫu nhiên

Định nghĩa: Cho BNN 𝑋 có 𝐸 𝑋 = 𝜇 Phương sai

Định nghĩa độ lệch chuẩn của BNN 𝑿 là

𝝈 𝑿 = 𝑽𝒂𝒓(𝑿)

Phương sai của biến ngẫu nhiên

Tính chất của phương sai

1) 𝑉𝑎𝑟 𝑋 ≥ 0

2) 𝑉𝑎𝑟 𝑐 = 0

3) 𝑉𝑎𝑟 𝑐𝑋 = 𝑐2𝑉𝑎𝑟(𝑋)

4) 𝑉𝑎𝑟 𝑋 + 𝑌 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋 + 𝑉𝑎𝑟(𝑌)

 Do X – E(X) là độ lệch giữa giá trị của X so với trung bình của nó nên phương sai là trung bình của bình phương độ lệch đó Phương sai dùng để đo mức độ phân tán của X quanh kỳ vọng Nghĩa là: phương sai nhỏ thì độ phân tán nhỏ nên độ tập trung lớn, và ngược lại

 Trong kỹ thuật, phương sai đặc trưng cho độ sai

số của thiết bị sản xuất Trong kinh doanh, phương sai đặc trưng cho độ rủi ro đầu tư

Phương sai của biến ngẫu nhiên

Định nghĩa: Mod(X) là giá trị x0 mà tại đó:

 𝑋 nhận xác suất lớn nhất, nếu 𝑋 rời rạc;

 Hàm mật độ của 𝑓(𝑥) đạt giá trị lớn nhất, nếu X

liên tục

Mod(X) còn được gọi là số có khả năng nhất

Mod của biến ngẫu nhiên

Bài 1: Theo thống kê, một người Mỹ 25 tuổi sẽ

sống thêm trên 1 năm có xác suất là 0,992 và người đó chết trong vòng 1 năm tới là 0,008 Một công ty bảo hiểm A đề nghị người đó bảo hiểm sinh mạng cho 1 năm với số tiền chi trả là

10000 USD, phí bảo hiểm là 100 USD Hỏi trung bình công ty A lãi bao nhiêu khi bán bảo hiểm cho người đó?

Bài tập

Bài 2: Tuổi thọ (𝑋-tuổi) của người dân ở một địa

phương là biến ngẫu nhiên có hàm phân phối cho như sau

Bài 3: Tuổi thọ (𝑋-tháng) của một bộ phận trong

một dây chuyền sản xuất là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ:

2) Tính tuổi thọ trung bình của bộ phần này;

3) Tìm hàm phân phối của 𝑋

Bài tập

Bài 4: Tuổi thọ (𝑋- tháng) của một loại côn trùng

nào đó là một biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ là

𝑓 𝑥 = 𝑘𝑥2(4 − 𝑥), 𝑥 ∈ [0; 4]

0, 𝑥 ∉ [0; 4]

1) Xác định 𝑘;

2) Tìm 𝐸 𝑋 , 𝑉𝑎𝑟(𝑋) và 𝑀𝑜𝑑(𝑋);

3) Tìm hàm phân phối của 𝑋

4) Tính xác suất để côn trùng chết trước một

tháng tuổi

Bài tập