chương 2 biến ngẫu nhiên

Dinh nghia Ham X xác định trên không gian các biến cô sơ cấp © và nhận giá trị trong R được gọi là biển ngâu nhiên nêu với mọi xe R.. Phân loại: - Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu

Trang 1

Bài giảng: Xác suất và Thông kê GV: Tôn Thất Tú

Bài 5ã: BIEN NGAU NHIEN VA HAM PHAN PHOI

1 Dinh nghia Ham X xác định trên không gian các biến cô sơ cấp © và nhận giá trị trong R được gọi là biển ngâu nhiên nêu với mọi xe R tập hợp {ø: X(@)< x} là một biến

có ngẫu nhiên

Nói một cách trực quan, biến ngâu nhiên là một đại lượng có thề nhận gia tri này hay giá trị khác phụ thuộc vào kết quả của phép thử

Vi du 1:

- Gieo ngau nhiên 3 lần một đồng xu Gọi X là số lần mặt sắp xuất hiện Khi

đó X là một biến ngẫu nhiên nhận các giá trị 0 1 2 và 3

- Goi Y là số người đến đồ xăng ở cửa hàng AB trong một ngày Khi đó Y là

biến ngẫu nhiên nhận các giá trị 0, I, 2

Phân loại:

- Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu tập giá trị của nó gồm một số hữu

hạn hoặc vô hạn đếm được các gia tri

- Bién ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu tap gia tri cua no lap day mot khoang hoac mot doan trén truc SỐ

2 Hàm phân phối

2.1 Dinh nghia Ham số thực #,(x)= P(X <+x) xeR được gọi là hàm phân phối của biên ngẫu nhiên X

Nhận xét: Hàm phân phối #,(x)= P(X <x) chính là xác suất của X nhận giá trị trong khoảng (—œ,x) Do đó dựa vào tính chất của xác suất ta có các tính chất sau

của hàm phân phối

2.2 Tính chất a) O<SF,(x)S1

Trang 35

Trang 2

search by nhatlangthang Advertisement

b) Z,(v đơn điệu không giảm

c) F,(x) lién tuc trai voi moi x, ture 1a lim Fy (x) = Fy (0) V% -

XX

Nhận xét : Nếu đã biết hàm phân phối của X thi ta có thê tính được xác suất đề

X nhận giá trị rơi vào các đoạn, khoảng khác nhau của trục số Cụ thê, với a,b € Rta co:

Trang 3

Bài giảng: Xác suất và Thống kê GV: Tôn Thất Tú

Trang 4

phâm Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm Gọi X là số chính phẩm trong 3 san pham lay

ra Tìm phân phối của X xác định hàm phân phối và tính xác suất P(I< X <3)

Trang 5

Ta có X là biến ngẫu nhiên rời rạc với miền giá trị {1.2.3.4}

Gọi 4, là biến cố phát thứ ¡ bắn trúng đích, ¡= 1,4

Ta có P(X =1)=P(A,) =0,7

ngẫu nhiên I viên từ hộp 1 chuyên sang hộp 2 sau đó từ hộp 2 lấy ngẫu nhiên I

viên Gọi X là số bi trang lần 2 lấy được Lập bảng phân phối xác suất của X

Trang 6

search by nhatlangthang

oA x 2A ^

4 Biên ngầu nhiên liên tục

Cho biên ngâu nhiên liên tục X với hàm phân phôi # (+) Khi đó tôn tại hàm

f(x) sao cho ta có biểu diễn: F @= | f(t)dt,xe R Ham duoi dau tich phan f(x)

được gọi là hàm mat do cua X

Tinh chat cua ham mat do:

dF, (x) a) ƒ/G0= tại các điêm liên tục cua f(x)

b) /(x)>0.Vx

C) Ỉ/ (x)dx=1

b

d) P(a<X<b)= [Z0

Nhận xét : Đôi với biên ngẫu nhiên liên tục X thì

® P(X =a)=U.Vae R P(X <a)=P(X <a)=F,(a)

® P(aq<X <SB)=P(u<ÄÃ <b)=öP(u<ÄÃ Sbh)=P(n<X <Ð)

Trang 7

lân xảy ra biên cô ;<x <1}

c) Cho y =2X Tim phân phối của Y

d) Tim m sao cho P(2X +1<m)=1/2

Trang 9

- Nhóm n biến ngẫu nhiên {X,.X X,„} được gọi là độc lập nếu các biến cố

(X, <a,), (X, <a,) độc lập với mọi bộ giá trị (a,.a, 4, )

Ví dụ 10: Có 2 hộp chứa bi Hộp 1 gồm 6 bi trang va 4 bi đen Hộp 2 gồm 3 bi

trang va 7 bi den Lay ngau nhiên ở hộp thứ nhất 1 viên và ở hộp thứ hai 2 viên

Gọi X và Y là số bi trắng lây được ở hộp 1 và hộp 2 Lập bảng phân phối xác suất

Trang 10

6 Hàm của biến ngẫu nhiên

Cho biến ngẫu nhiên X và một hàm liên tục g(x) Khi đó, người ta chứng minh duoc rang s(X) cũng là biến ngẫu nhiên Trong mục này, ta sẽ nghiên cứu phương pháp tìm phân phối của biến ngẫu nhiên g(X) theo phân phối của X

a Trường họp X là biến ngẫu nhiên roi rac Giải sử biến ngẫu nhiên rời rạc X có tập giá trị Im(X)={x,.x,.x, } VỚI xác

suất p,=P(X=x) Khi d6, tap gid tri của biến ngẫu nhiên Y=g(X) là

Im(Y) = g(Im(X )) ={y\ V¿ Vị‹ }- Đặt A.={x:xe Im(X) s(x) = y,}./>l và

q;= >, P(X =x),i21 Khi do, biến ngẫu nhiên Y có tập giá tri Im(Y) ={),.y,.)4 } Với

Z nhan cac gia tri 0, 1, 4

P(Z =0)= P(X =0)=0,4 P(Z =1)= P(X =1)+P(X =-1) =0,3

Trang 11

b Trường họp khi X là biến ngẫu nhiên liên tục Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ /(+) hoặc hàm phân phối

F,(x) Xét biến ngẫu nhiên y =g(X) với ø là một hàm liên tục Khi đó, hàm phan

phối của Y là : #(v)= PUY <x) =P(g(X) <2)

- Néu g(x) tang vacé ham ngược là g"'(+) thì

Trang 12

- Khi x>0 : #,(x)= P(X? <x)=P(Wx < X <vx)= { find = { fad

Ví dụ 13: Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có P(X =0)= P(X =l)=1/2và biến

ngầu nhiên liên tục Y có hàm mật độ:

s 2 _

Do đó, ta được:

Trang 46

Trang 13

- Nếu X có phân phối rời rạc với phân phối xác suất P(X =x,)= p,.k =1.2 thi

E(X)= xp, (với điều kiện chuỗi hội tụ tuyệt đối)

- Nêu X là biên ngâu nhiên liên tục với hàm mat do f,(x)_ thi

E(X)= | x f, (x)dx (với điều kiện tích phân hội tụ tuyệt đối)

—cc

x gau

Trong trường hợp ŠI+,Ip, hoặc [IxI/,(x)4v phân kì thì ta nói biến ng

¡=l _

nhiên X không có kỳ vọng

1.2 Tính chất a) EC=C với C là hang so

b) E(cX)= c EX voic la hang so

c) E(X+Y)=EX+EY voi moi bién ngau nhiên X, Y

Tông quái, nêu X,,i=1,n la cac biên ngau nhiên và V2,e R.¡ =l,n Ce R ta CÓ:

(Dax, +€] =Š4.E(X,)+C

i=l i=l

Trang 47

Trang 14

đ) E(XY)=EXEY nếu X,Y độc lập

Nhân xét:

¡) Kì vọng của biến ngẫu nhiên chỉ giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên đó,

tức là khi thực hiện một số lớn lần các phép thử thì giá trị trung bình thu được của

các kết quả sẽ xấp xỉ với kì vọng

ii) Trd choi may rủi được gọi là công bằng (có lợi hay có hại) đối với người chơi nếu kỳ vọng số tiền nhận được trong mỗi lần chơi bằng (lớn hơn hay bé hơn)

số tiên đặt cược trong mỗi ván chơi

iii) Nếu g(x) 1a ham lién tuc thi ¢(X) cũng là biến ngẫu nhiên và kì vọng của

nó được tính là:

i=l

® Eg(X)= } 2(x) fy (x)dx nếu X là biến ngầu nhiên liên tục

trong đó tông và tích phân ở về phải của các đăng thức trên phải hội tụ tuyệt đối

Ví dụ 1: Một người đi từ nhà đến cơ quan phải qua 2 ngã tư Xác suất gặp đèn

đỏ ở ngã tư thứ nhất và thứ hai tương ứng là 0.1 và 0.2 Khi gặp đèn đỏ người đó phải chờ đợi trung bình mất 2 phút Tìm thời gian trung bình người đó phải chờ đợi

ở trên đường khi đi đến cơ quan

Giai:

Gọi X(ph) là thời gian người ấy chờ trên đường khi đi từ nhà đến cơ quan Khi

đó X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị 0 2, 4

Gọi A là biến có "người đó sặp đền đỏ ở ngã tư thứ ¿ ", ¡=1,2 Ta có:

P(X =0) = P(A, A,) = P(A,) P(A,) =0,9*0,8 =0,72

P(X =2)= P(AA, UA,A,) = P(AA, )+ P(A, A,)

= P(A )P(A, )+ P(A, )P(A,) = 0.9*0, 2+ 0,1* 0,8 = 0,26

P(X =4)= P(A,A,) = P(A,)P(A,) = 0,1*0,2= 0,02

Trang 48

Trang 15

Tacé > p,=1, suy ra a+b=0,7

Mặt khác E(X)=>' p,x, =10a+15b+6=14nén 10a+15b=8

Tu d6, giai a va b, ta duoc a=0,5; b=0,2

Ví dụ 4: Một hộp bút có 10 cây bút, trong d6 cé 3 cay loai | và 7 cây loại 2

Giá bút loại 1 va loại 2 lần lượt là 5000 đồng và 2000 đồng Một sinh viên chọn

ngầu nhiên 2 cây bút đê mua Tìm sô tiên trung bình mà sinh viên này phải trả

Trang 49

Trang 16

Gọi X là số bút loại I sinh viên đã mua

Y (ngàn đồng) là số tiền sinh viên này phải trả

Ta có : Y=5X+2*(2—X)=3X +4

P(X =0)= C =' P(X sage “.! sư =2 S = | Bảng phân phối xác suất của X :

Số tiền trung bình phải trả :

E()= E(X +4) =3E(X)+4=5.8 (ngàn đồng)

Ví dụ 5: Một người tham gia trò chơi tung 3 hạt bầu cua Người đó bỏ ra A đồng Nếu có ¡ mặt bầu xuất hiện thì người đó nhận được (i+/)A đồng, ¡=1,2,3

Nếu không có mặt bầu nào xuất hiện thì người đó mất A đồng đã đặt ra Hỏi trò chơi này có lợi cho người chơi hay không ?

Trang 17

Bài giáng: Xác suất và Thống kê GV: Tôn Thất Tú

Ví dụ 6 : Một luật sư kinh tế nhận cãi một vụ kiện cho một doanh nghiệp được trả thù lao theo 2 phương án

Phương án I : Nhận 5 triệu đồng bất kề thắng bại

Phương án 2 : Nhận 20 triệu đồng nếu thắng kiện, ngược lại nhận 500 ngàn đồng tiền giấy bút

Sau khi nghiên cứu hồ sơ vụ kiện, luật sư chấp nhận theo phương án 2 Hỏi khi

chấp nhận phương án 2, luật sư nhận định xác suất thắng kiện tối thiêu là bao

nhiêu ?

Giải : Gọi p là xác suất mà luật sư nhận định sẽ thăng kiện và X (triệu đồng) là số

tiền thù lao nhận được theo phương án 2

Ta có phân phôi của X :

x|2010.5

Pip |I-p

Số tiền thù lao trung bình nhận được theo phương án 2 :

E(X)= X.- =20p+0,5q—p) =19,5p+0,5

Vì luật sư chọn phương án 2 nên £(X)>5

4.5 3 SUV ra: p>——=—

2 Phuong sai

2.1 Dinh nghia Giả sử biến ngẫu nhiên X có kỳ vọng EX Néu ton tai ky vong E(X — EX)? thi

ta gọi giá trị này là phương sai của X, kí hiệu là DX (hay Var(X)) tức là:

DX = E(X —EXy

Giá tri o(X)=VDx duoc gol la độ lệch chuẩn

Dễ thấy răng độ lệch chuẩn có cùng thứ nguyên với X

2.2 Tính chất

Trang 51

Trang 18

d) D(X+Y)=DX+DY néu X,Y déc lap

Tổng quái, nếu X,,i=1,n 1a cdc bién ngdu nhién doc lap, c6 phuong sai hiru han

Ý nghĩa: Phương sai cũng như độ lệch chuẩn là đại lượng đặc trưng cho mức

độ tập trung của các giá trị của biến ngẫu nhiên X quanh kỳ vọng EX

Ví dụ 7: Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ

Trang 19

DX =EX?~(EX)?= bˆ+ab+a" (=) (b—a)ˆ

D(2X -—3) =4D(X) =3,2 E(X*)=0'*0,4+1'*0,2+2'*0,4 =6,6 D(X*) = E(X*)-(E(X*)y =6,6-1,8° =3, 36

Ví dụ 9: Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập với

b) E(2X”+Y”+3XY)=2E(X ”)+E(Œ”)+3E(XY) 2| D(X)+(#X)? |+| Dÿ)+(@Y)? |+3E(X).EŒ)

= 2*12+6+18 =48

hán xét: Trong kỹ thuật phương sai đặc trưng cho sai số của các thiết bị hoặc

của các phép đo Trong quản lý và kinh doanh, nó đặc trưng cho mức độ rủi ro của các quyết định

Trang 53

Trang 20

Như vậy nếu cần chọn phương án đầu tư sao cho tỷ lệ thu hồi vốn trung bình

cao hơn thì nên chọn dự án A (vì E£(X,)> E(X,)) tuy nhiên nếu cần chọn phương

án đầu tư sao cho độ rủi ro của tỷ lệ thu hồi vốn thấp hơn (ồn định hơn) thì nên chọn dự án B

3 Median Trung vị (hay Median) của biên ngẫu nhiên X, được kí hiệu medX xác định theo hệ thức:

Nhdn xét: Theo dinh nghia trén thì X có thể có nhiều trung vị và trong trường

hợp X là biên ngâu nhiên liên tục thì „2x chính là nghiệm của phương trình

Fy (x)=

4 Mode Yêu vị (hay Mode) của biên ngầu nhiên X, được kí hiệu modX' là giá trị của X

mà tại đó:

Trang 54

Trang 21

- hàm mật độ đạt cực đại nếu X là biến ngau nhiên liên tục,

- _ có xác suất lớn nhất nêu X là biến ngẫu nhiên rời rạc

Ví dụ 11: Cho biến ngâu nhiên X, Y có phân phối

X|DÐ|LI|Ị 2|3 ¥| Oi) |] 2 | os P| 0,3 | 0,5 | 0,1 | 0,2) | P | 0,3 | 0,2 | 0,4 | 0,1

med(Y) là giá trị tùy ý thuộc doan [1,2]

Ví dụ 12: Cho biến ngẫu nhiên có hàm mật độ:

f(x)= ‘ x, xe [0,1]

0 xe{|0.1|

Tim mod(X) và med(X)

Giai:

Ham f(x) dat cực dai tai x=1 nén mod(X) =1

Ham phan phối:

Trang 22

Cho biến ngẫu nhiên X Giả sử tồn tại kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X',keN thì giá trị E(X“) được gọi là moment bậc k của X, kí hiệu m,(X) tức là:

ñL\XIEEH(NV”):

Dễ thầy rằng m(X)= E(X)

b Moment trung tram bac k

Cho biến ngẫu nhiên X Khi đó, nếu tồn tại kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

(X—-EX}'ˆ.keN thì giá trị E(X -EX}' được gọi là moment trung tâm bậc k của X, kí

Ý nghĩa: Nếu £= 0thì phân phối xác suất được tập trung ở mức bình thường

Nếu £>0 thì phân phối tập trung cao hơn mức bình thường ngược lại nễu £<0 thì phân phối tập trung thấp hơn mức bình thường

Trang 23

Bài7: _ MỘT SÓ PHÂN PHÓI QUAN TRỌNG

1 Phân phối rời rạc

1.1 Phân phối 0-1 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối 0-1 với tham số p,0< p<l kí

hiệu X ~ A(p) nêu X có bảng phân phôi xác suât:

X| 0 | 1 P| 1-p|p

- Ki vong E(X)=p

- Phuong sai D(X) = p(l-p)

Nhân xét: Trong thực tế, phân phối 0-1 thường sử dụng đề thề hiện phân phối

của các dấu hiệu nghiên cứu định tính có hai phạm trù (ví dụ: nam hay nữ, thành công hay thất bai, )

1.2 Phân phối nhị thức Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối nhị thức với tham số n và p neNÑ'.pe (0.1) kí hiệu X ~ 8(.p) nếu phân phối của nó có dạng:

P(X =k) =p,(k)=C pq", k=0,1, n, q=l—=p

P

ĐẦU PE) cee BGO

Trang 24

(¡) Nếu X và Y độc lập X ~ 8(r:p) và Y ~ B(m p) thì X +Y ~ B(n+m:p) Nhận xét:

() Phân phối ø p) chính là phân phối A(p)

(ii) Xét đãy n phép thử Bernoulli với xác suất thành công là p Lúc đó, nếu gọi

X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần thành công trong dãy n phép thử này thì X có phân

phối nhị thức B(n,p)

Về mặt toán học nếu X,.¡=I.ø là n biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối A(p) thì X = X,+X,+ +X„ có phân phối nhị thức B(n, p)

(iii) Mod(X) chính là số lần có khả năng lớn nhất trong mô hình dãy phép thử

Bernoulli và là số nguyên thoả điều kiện: np—g< Mod(X)<np—q+l Với q=1-p (iv) Trong nhiều bài toán, người ta quan tâm đến phân phối của tỷ lệ xuất hiện

f của biến có A trong dãy n phép thử Bernoulli với p= P(A) Khi đó đặt ƒ = X /n

với X ~ B(n:p) Ta có bảng phân phối của f :

Ví dụ 1: Một thành phố A có 70% gia đình có tivi Chọn ngẫu nhiên 20 gia

đình và gọi X là số gia đình có tivi

a) Tính xác suất có đúng 10 gia đình có tivi

b) Tính xác suất đề có ít nhất 2 gia đình có tivi

Giai:

Theo gia thiét X c6 phan phéi nhi thire x ~ B(n=20; p=0,7)

a) P(X =5)=C;,(0,7)" 0,3)" =0,0308

b) P(X >2)=1-P(X =0)- P(X =1) =1-C),(0,3)° —C,,(0,7)'(0,3)"" =0,9999

Ví dụ 2: Một sinh viên thi vấn đáp trả lời 5 câu hỏi một cách độc lập Khả

năng trả lời đúng mỗi câu hỏi đều bằng 60% Nếu trả lời đúng thì sinh viên được 4

điểm, ngược lại bị trừ 2 điêm

Trang 58

Trang 25

a) Tìm xác suất đề sinh viên đó trả lời đúng 3 câu

b) Tìm số câu mà sinh viên này trả lời đúng với khả năng lớn nhất

c) Tim sé điểm trung bình mà sinh viên đó đạt được

đ)_ Một sinh viên khác vào thi với khả năng trả lời đúng mỗi câu đều như nhau

và cho răng số điềm trung bình đạt được không ít hơn 14 Hỏi sinh viên này phán đoán khả năng trả lời đúng mỗi câu tối thiêu là bao nhiêu ?

np—q S Mod(X )<np-—q+1 © 5*0.6—0.4 < Mod( X) <5*0,6 —0,44+1 <= 2.6 < Mod(X) <3.6

Suy ra Mod(X)=3 Vay s6 cau trả lời đúng với khả năng lớn nhất là 3 câu e) Gọi Y là số điểm sinh viên đó đạt được Ta có: Y =4X~2.(5~ X)=6X 10 Vậy số điềm trung bình sinh viên đó đạt được:

EY = E(6X —10)=6EX —10=6np—10=6*5*0,6—10=8

đ) Gọi p là xác suất sinh viên này trả lời đúng mỗi câu và Z„ T lần lượt là số

câu trả lời đúng và số điểm đạt được Khi đó, ta có 7 =6Z—10, Z ~ B(n=5, p)

Theo giả thiết: £(7)=6E(Z)—10=6*5*p—10= 30p—10> 14

Trang 26

(i) Cho xX ~ P(A) Khi đó: EX = Dx =2

(ii) Cho X,.X, là hai biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối Poisson với tham

số lần lượt là 4.4, Lúc đó biến ngẫu nhiên X = X,+ X, cũng có phân phối Poisson với tham số 4= 4, +Â,

Nhận xéi:

(¡) Trong thực tế phân phối Poisson phản ánh phân phối số lượng các biến cố xuất hiện trong một khoảng thời gian (số cuộc điện thoại gọi đến tổng đài số khách

hàng đến rút tiền từ một ngân hàng ) và có tham só tỉ lệ với độ dài khoảng thời

gian đó, tức là trong khoảng thời gian có độ dài T, đại lượng nghiên cứu có phân phối poisson với tham số 4 thì trong khoảng thời gian có độ dài kT đại lượng nghiên cứu sẽ có phân phối poisson với tham số x4

(i1) Mod(X) là số nguyên thoả điều kiện â—1< Mod(X)<Â

Ví dụ 3: Một gara cho thuê ôtô thấy rằng số người đến thuê ôtô vào ngày thứ

7 là một biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số 4=2 Giả sử gara có 4 chiếc ôtô Hãy tìm xác suất đề:

a) Không phải tất cả 4 chiếc ôtô đều được thuê

b) Tất cả 4 ôtô đều được thuê

c) Gara không đáp ứng được yêu cầu

d) Trung bình có bao nhiêu ôtô được thuê?

Trang 27

bình mỗi ngày cửa hàng bán được | tivi và 2 radio

b) Tìm xác suất đề I ngày cửa hàng bán được ít nhất 4 san pham

c) Tinh xác suất trong 2 ngày bán được 10 sản phẩm

Giai:

a) Gọi X,Y,Z là số tivi, radio va san pham tương ứng cửa hàng bán được trong

một ngày Ta có X,Ÿ có phân phối Poisson với tham số tương ứng là I và 2 Vì X,Y

độc lập nên Z=X+Y cũng có phân phối Poisson với tham số 4=1+2=3

Do đó xác suất cần tìm là

e3 c3 c 3 c3

P(Z >3) =l- P(⁄ <3) =l— = = =(),353

b) Gọi W là sô sản phâm bán ra trong 2 ngày, ta có W cũng có phân phôi

Poisson với tham sô 4, =2Â =6

1.4 Phan phoi hinh hoc

Biên ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối hình học với tham số p>0 nêu phan phối của nó có dạng: P(X =k)=4*'p k=1,2.3 .tronø đó p>0,g>0.p+a=l

Trang 28

search by nhatlangthang a

Nhán xét : Xét phép thử và A là một biên cô ở trong phép thử đó với xác suât

xảy ra p= P(A) Thực hiện độc lập và liên tiếp các phép thử cho đến khi biến có A xuất hiện thì dừng Gọi X là số phép thử đã thực hiện Khi đó, X có phân phối hình

học với tham số p

1.5 Phân phối siêu bội

Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối siêu bội với tham số (N.M.n) với

n<M<N,kí hiệu X ~ (N.M.n) nếu tập giá trị của X là {0.1.2 m} và

(ii) Khi giá trị N lớn và số lần lấy n nhỏ thì phương pháp lấy không hoàn lại

và lây có hoàn lại gần như không khác nhau Đặc biệt trong trường hợp lấy có hoàn

lai thi X ~ Bứ:p) với p=M/N Vì vậy trong trường hop N lớn và số lần lấy n nhỏ thi ta c6 thé xem phân phối #(W.M.n) xấp xi phân phối B(r:p) với p=M/N

2 Phân phối liên tục

2.1 Phân phối đều

Trang 62

Biên ngâu nhiên X được gọi là có phân phổi đều trên đoạn [a,b], kí hiệu

X ~U(a.b) nêu hàm mật độ của nó có dạng:

f(x) dhe xé [a,b]

Trang 29

phỏng giá trị của biền ngâu nhiên có phân phôi đều trên đoạn [0 l |

(1) Hàm random ở các phân mêm lập trình hay ở máy tính bỏ túi là hàm mô

(11) Phân phôi đều được sử dụng nhiêu trong thông kê, đặc biệt trong bài toán ước lượng Khi ta không biết thông tin gi về giá trị của tham sô cân ước lượng thì mỗi giá trị của nó trong tập giá trị có thê của tham sô này được xem là đông khả năng Điêu này dân đền việc quan niệm tham sô cân ước lượng như một biên ngâu

nhiên tuân theo luật phân phối déu

Ví dụ 5: Khi thâm nhập vào một thị trường mới, doanh nghiệp không thê khăng định được một cách chăc chăn doanh sô bán được hăng tháng là bao nhiêu

mà chỉ dự kiến doanh số tối thiêu là 20 triệu đồng và tối đa là 40 triệu đồng/tháng

Tìm xác suất đề doanh nghiệp đạt được doanh số tối thiểu là 35 triệu đồng/tháng

Giai:

Goi X (triéu đồng) là doanh số doanh nghiệp đạt được trong | thang

Ta có X tuân theo luật phân phối đều 1/(20:40)

Trang 30

(¡) Trong thực tế, phân phối mũ thường thể hiện phân phối khoảng thời gian

chờ giữa các lần xảy ra biến có hay thời gian sông của các đối tượng

(1) Cho X ~ Exp(2) Khi đó P(X >s+rl X >s)= P(X >r):Vi,s>0

Điều này được giải thích là: xác suất hoạt động liên tục của thiết bị trong khoảng thời gian t không phụ thuộc vào quãng thời gian hoạt động trước đó mà chỉ phụ thuộc vào độ dài quãng thời gian t mà thôi

Ví dụ 6: Giả sử tuôi thọ (tính bằng năm) của một mạch điện tử trong máy tính

là một biến ngẫu nhiên có phan phối mũ với tuôi thọ trung bình là 6,25 năm Thời gian bảo hành của mạch điện tử này là | nam

a) Hỏi có bao nhiêu phần trăm mạch điện tử bán ra phải thay thế trong thời gian bao hanh ?

b) Một công ty mua 40 mạch điện tử loại này Tìm số mạch trung bình công ty

a) Gọi X là tuổi thọ của mạch điền tử

s3 gg ok Bie i Bi acids okie i l

Theo gia thiệt X có phân phôi mũ với tham sô 2 =—— = =

Tỉ lệ mạch điện tử bán ra phải thay thé trong thời gian bảo hành là:

4

P(X <5)=1-e 5 ~0,1478

b) Ta cé m6 hinh day phép thu Bernoulli voi n= 40; p =0,1478

Goi Y 14 s6 mach can bao hanh, ltic d6: Y ~ B(n = 40; p =0,1478)

S6 mach trung binh phai bao hanh 1a:

Trang 31

ad) Định nghĩa:

Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn với tham số „ và ø° kí

hiệu X ~ N(w.o°) nếu hàm mật độ của nó có dạng:

(xy 20°

Trang 32

* Định lý I: Nếu X có phân phối chuẩn N(w.o7)thi Y=mX +n, voi

mụn R.m #0 có phân phối chuẩn Nữn//+n.n°Ø))

Ứng dung : Nếu X ~ N(¡.ø`) thì Y _ ~ N(0; 1) Luc do:

eo X„ là các biên ngầu nhiên độc lập có phân phôi chuân

X,~N(.Ø`).¡=l,n thì biên ngầu nhiên X =ÂX,+ +4,X,+C€, Ð3 4°#0 cũng có phân phôi chuân với

Trang 33

- Tir tinh chat ®,(—x) =1-®,(x), Vre R suy ra u,_, =—u,-

Mot so phan vi chuan thudng gap :

Ugg =1,282 = Uggs = 1,645 Uyo7s =1,96 = Ugg = 2,326 = Up gps, = 2,976

2 Nhận xét: Từ mối quan hệ giữa ®(+x) và ®,(+x) ta có ngay U, =®'Íø=3 ]Ì

c) E(2X?-XY?)=2E(X?)~ E(XY?)=2| D(X)+(EX |—E(X).EW°)

=2| D(X)+(EX} | E(X)| Dữ)+(EY)? |= 2*#(4+15°)—15*(I+10')=—1057

Ví dụ 9: Cho X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Biết rằng P(X >4)=0,159 va P(X <3)=0,309 Tinh E(2X°+X)

Trang 34

search by nhatlangthang 2 \o?) Lo)

Giai hé phuong trinh:

u+ơ=4 la =10/3

>>

a-ơ!2=3_ \|ơ=2!3

E(2X”+X)=2E(X”)+E(X)=2{E(X”)—(EX)”]+2(EX)” + E(X)

= 2D(X)+2(EX) + E(X) =20° +2? + u=238/9

Ví dụ 10: Lãi suất (%) đầu tư vào một dự dn trong nam 2010 được coi như là

một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Theo đánh giá của ủy ban đầu tư thì với

xác suất 0.1587 cho lãi suất cao hơn 20% và với xác suất 0.0228 cho lãi suất lớn

hơn 25% Vậy khả năng đầu tư mà không bị lễ là bao nhiêu ?

Gial:

Goi X 14 lai suat (%) dau tu vao mét du dn trong nim 2010

Tac6 X ~ N(u,0°) Theo giả thiết

Xác suất đầu tư không bị lỗ là

l5 P(X >0)=l—P(X <0)=1/2-0( 28) -0,3)=0,9987

Vi du 11: Chiéu cao cua thanh nién 6 mot ving c6 phan phoi chuan N(w.07)

VOl “=165cem, 0 =5cm

a) Tìm tỉ lệ thanh niên có chiều cao từ 160 em đến 170 cm

b) Chọn ngau nhiên 10 thanh niên, tính xác suất có 3 thanh niên được chọn có chiều cao lớn hơn 170 cm

Giải:

a) Gọi X(em) là chiều cao của thanh niên vùng này

T¡ lệ thanh niên có chiều cao từ 160 cm đến 170 em

Trang 35

b) Ta cĩ mơ hình dãy phép thử Becnull với n=10; p = P(X >170)

eae) =0,5-00) =0,159

p = P(X >170) =1—P(X <170) =—-® : Xdc suat can tim: —p,,(3) =C3,0,159°.0,841"

Ví du 12: Một nha sản xuất cần mua một loại ølộng cao su cĩ độ dày từ

0.118em đến 0.122cm Cĩ 2 cửa hàng cùng bán loại gioăng này với độ dày là biến

ngâu nhiên cĩ phân phơi chuân với các đặc trưng được cho ở bảng sau:

Tên cửa hàng | Độ dày trung bình | Độ lệch chuẩn Gia ban

Hỏi nhà sản xuất nên mua gioăng ở cửa hàng nào ? Giai:

Goi X,.X, lan lượt là độ dày của gioăng bán bởi cửa hàng A và B tương ứng

Tỉ lệ gioăng dùng được của 2 cửa hàng tương ứng là:

P(0.118<X,<0.122)=«qœ eas —œ ae = 20(2) = 0,9544

J9 i 2 — 2

POLIS < X 4 < 0,122) =| 212270"? | _ gf OATS OT? |~2@(,33) =0,8164 0,0015 0.0015

Số gioăng trung bình dùng được trong mỗi hộp ở cửa hàng A là

1000*0,9544 =954,4 va o cửa hàng B là 1000*0.8164 =§16.4

Giá bán đối với mỗi gioăng dung được của cửa hàng A là:

3 =0.00314USD 954.4

và của cửa hàng B là:

2,6

—— =0,00318USD 816.4

Vậy nhà sản xuât nên mua gioăng của cửa hàng A.

Trang 36

search by nhatlangthang „

2.4 Phân phôi +

Biên ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối z` với bậc tự do n, kí hiệu

X ~ # (n) nêu như hàm mật độ của nó có dạng:

trong đó hàm gama: I(a)= [x teva a >0

0

Phân vị mức #z của phân phối ¿? với n bậc tự do, kí hiệu Zz(n), được tra ở

bảng phân vị của phân phối 7°

Tinh chat: E(X)=n, D(X)=2n

(iii) Nếu x ~z?œ) thì khi n khá lớn Y=2X -2n—I có phân phối xấp xi

phân phối chuẩn tắc N(0;1)

Trang 37

2.5 Phân phối Student

(1,645+V199) ~ 124,06

Bién ngau nhién X duge goi 1a c6 phan phoi Student voi bac tự do n, kí hiệu

X ~7T, néu nhu ham mat do cua n6 co dang:

2.6 Phân phối Fisher

Biên ngầu nhiên X được gọi là có phân phối Fisher với bậc tự do m và n, kí

Trang 38

2 Y/n my en phân phối 7,

Bai8: XAP Xi XAC SUAT CUA PHAN PHOI NHI THUC

Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức véi tham s6 n va p, tite 1a:

PX =k) = p,(k)= Cj p`q— py", k=0,1.2, n

Định dạng
Số trang	76
Dung lượng	12,1 MB