D08 các bài toán cực trị muc do 3

Phương trình mặt phẳng : Khi đó: Vậy Khoảng cách từ đến mặt phẳng lớn nhất bằng tại.. Tọa độ giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng ứng với là nghiệm phương trình: Câu 43... Gọi là mặt

Câu 45 [2H3-2.8-3] (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Trong không gian

với hệ tọa độ , cho hai mặt phẳng và

Khi hai mặt phẳng và tạo với nhau một góc nhỏ nhất thì điểm nào dưới đây nằm trong mặt phẳng ?

Lời giải Chọn A

Gọi là góc tạo bởi hai mặt phẳng và thì

Để và tạo với nhau một góc nhỏ nhất thì lớn nhất nhỏ nhất

Khi đó

Câu 33 [2H3-2.8-3] (THTT Số 3-486 tháng 12 năm 2017-2018)Trong không gian với hệ

tọa độ , xét đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng Tính khoảng cách nhỏ nhất giữa điểm tới điểm trong đó là điểm cách đều đường thẳng và trục

Lời giải Chọn A

Vì đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng thì song song với trục và nằm trong mặt phẳng Dễ thấy là đường vuông góc chung của và

Xét mặt phẳng đi qua và là mặt phẳng trung trực của Khi đó ,

và mọi điểm nằm trên có khoảng cách đến và là bằng nhau Vậy tập hợp điểm là các điểm cách đều đường thẳng và trục là mặt phẳng

Mặt phẳng đi qua có véc tơ pháp tuyến là nên có phương trình:

Đoạn nhỏ nhất khi là hình chiếu vuông góc của lên Do đó khoảng cách nhỏ nhất giữa điểm tới điểm chính là khoảng cách từ đến mặt

Câu 47 [2H3-2.8-3] (THPT Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 2 năm

2017-2018) Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , ,

với , , là các số thực dương thay đổi tùy ý sao cho Khoảng cách từ đến mặt phẳng lớn nhất bằng:

Lời giải Chọn D

Phương trình mặt phẳng :

Khi đó:

Vậy Khoảng cách từ đến mặt phẳng lớn nhất bằng tại

Câu 45 [2H3-2.8-3] (THPT Đức Thọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Trong không gian

với hệ trục tọa độ , cho ba điểm , , , trong đó , , Mặt phẳng đi qua điểm sao cho thể tích khối tứ diện đạt giá trị nhỏ nhất Khi đó các số , , thỏa mãn đẳng thức nào sau đây?

Lời giải Chọn C

Dấu bằng xảy ra khi

Câu 47 [2H3-2.8-3] (THTT Số 4-487 tháng 1 năm 2017-2018) Trong không gian với hệ

tọa độ cho điểm và đường thẳng

Viết phương trình mặt phẳng chứa sao cho khoảng cách từ đến là

lớn nhất

Lời giải Chọn A

+ qua có vectơ chỉ phương

+ Gọi , lần lượt là hình chiếu của lên và Ta có:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Do đó Khi đó đi nhận làm vectơ pháp tuyến

Câu 36: [2H3-2.8-3] (THPT Hồng Quang-Hải Dương năm 2017-2018) Trong

không gian với hệ tọa độ , cho tam giác với , ,

Điểm thuộc mặt phẳng sao cho đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị của biểu thức

Lời giải Chọn A.

Gọi là trọng tâm tam giác Suy ra:

Ta có:

Do tổng không đổi nên đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất nhỏ nhất

Mà nằm trên mặt phẳng nên là hình chiếu vuông góc của lên

Câu 48: [2H3-2.8-3] (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình năm

2017-2018) Trong không gian , cho hai điểm , và mặt

lớn nhất Khi đó tổng bằng

Lời giải Chọn C.

Ta có:

Nên hai điểm và nằm cùng phía so với mặt phẳng

giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng

nên phương trình đường thẳng là

Tọa độ giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng ứng với là nghiệm phương trình:

Câu 43 [2H3-2.8-3] (THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa-lần 2 năm 2017-2018)

Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu và

các điểm , Gọi là mặt phẳng đi qua hai điểm , sao cho thiết diện của với mặt cầu có diện tích nhỏ nhất Khi viết phương trình dưới dạng

Lời giải Chọn B

Mặt cầu có tâm bán kính là

Ta có , nằm trong mặt cầu Gọi là hình chiếu của trên và là hình chiếu của lên thiết diện

Ta có diện tích thiết diện bằng Do đó diện tích thiết diện nhỏ nhất khi lớn nhất Mà suy ra qua và vuông góc với

Ta có suy ra là trung điểm của Vậy và

Câu 63 [2H3-2.8-3] (THPT Lê Quý Đôn-Quãng Trị-lần 1 năm 2017-2018) Trong không

gian với hệ trục tọa độ cho 3 điểm , , và mặt

giá trị nhỏ nhất

Lời giải Chọn D.

Với mọi điểm ta có

Chọn điểm sao cho

Suy ra tọa độ điểm là

lên mặt phẳng

Phương trình đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng là

Câu 41 [2H3-2.8-3] (SGD Hà Nội-lần 11 năm 2017-2018) Trong không gian , cho hai

điểm , Tìm điểm trên mặt phẳng sao cho lớn nhất

Lời giải Chọn D

Gọi điểm thỏa Suy ra là trung điểm của , suy ra

Do đó lớn nhất nhỏ nhất là hình chiếu của lên

Chú ý: Ta có thể làm trắc nghiệm như sau

+ Loại C vì không thuộc

cho giá trị lớn nhất nên ta chọn

Câu 42 [2H3-2.8-3] (THPT Nguyễn Trãi-Đà Nẵng-lần 1 năm 2017-2018) Trong không

gian , cho hai điểm , và mặt cầu có phương trình

Mặt phẳng đi qua điểm và tiếp xúc với mặt cầu sao cho khoảng cách từ đến mặt phẳng lớn nhất Giá trị của

khi đó là

Lời giải Chọn C

Ta có:

Câu 26 [2H3-2.8-3] (THPT Chuyên ĐH Vinh – lần 1 - năm 2017 – 2018) Cho

và Gọi là một điểm bất kì thuộc Khoảng cách bé nhất là

Lời giải Chọn D

Bảng biến thiên:

Suy ra:

Vậy: khoảng cách bé nhất bằng khi

Cách 2: Gọi Tiếp tuyến của tại có phương trình:

–

Câu 32 [2H3-2.8-3] (THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa – năm 2017 – 2018)

Trong không gian tọa độ , cho điểm và đường thẳng Phương trình mặt cầu tâm , cắt tại hai điểm và sao cho là

Lời giải Chọn B

Mặt cầu có tâm , bán kính

Câu 41 [2H3-2.8-3] Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm

Viết phương trình mặt phẳng đi qua và cắt ba tia , , lần lượt tại các điểm , , khác gốc sao cho thể tích khối tứ diện nhỏ nhất

Lời giải Chọn D

,

Áp dụng Cauchy cho số dương , , ta có

Câu 45 [2H3-2.8-3] Trong không gian , mặt phẳng đi qua cắt các tia , ,

lần lượt tại , , phân biệt sao cho tứ diện có thể tích nhỏ nhất Tính thể tích nhỏ nhất đó

Lời giải

Chọn B.

Khi đó phương trình mặt phẳng là

Dấu bằng xảy ra khi ;

Vậy tứ diện có thể tích nhỏ nhất bằng

Câu 48: [2H3-2.8-3] (ĐHQG TPHCM – Cơ Sở 2 – năm 2017 – 2018) Trong

không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm , và mặt phẳng Tọa độ điểm thuộc mặt phẳng sao cho

nhỏ nhất là:

Lời giải Chọn B.

Phương trình đường thẳng : , tọa độ điểm là nghiệm của hệ

Câu 47 [2H3-2.8-3] (CHUYÊN KHTN-LẦN 3-2018) Trong không gian với hệ tọa độ cho ba

đường thẳng thay đổi cắt ba mặt phẳng , , lần lượt tại các điểm , , Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là

Lời giải Chọn B

Ta có ba mặt phẳng , , đôi một song song và nằm giữa ,

Đẳng thức xảy ra khi vuông góc với

đường thẳng Mặt phẳng chứa đường thẳng sao cho khoảng cách từ điểm

đến lớn nhất có phương trình là

Lời giải Chọn D.

Gọi là hình chiếu của trên ; là hình chiếu của trên

lớn nhất khi

Đường thẳng có vectơ chỉ phương

Mặt phẳng qua và vuông góc với nên có phương trình

Câu 18 [2H3-2.8-3] (THPT SƠN TÂY-2018) Trong không gian với hệ tọa độ , phương trình mặt

phẳng đi qua điểm và cắt các tia , , lần lượt tại các điểm , ,

sao cho đạt giá trị nhỏ nhất có dạng Tính

Lời giải Chọn C

Gọi là hình chiếu vuông góc của lên

Do đó đạt giá trị nhỏ nhất khi và chi khi hay

Câu 44: [2H3-2.8-3] [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm Phương

trình mặt phẳng đi qua điểm và cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất là:

Hướng dẫn giải Chọn B.

Gọi là hình chiếu của lên mặt phẳng Suy ra khoảng cách từ đến mặt phẳng chính là Phương trình mặt phẳng đi qua điểm và cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất khi hay

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm và nhận làm một vectơ pháp

Câu 34: [2H3-2.8-3] (SỞ GD VÀ ĐT VĨNH PHÚC - 2018) Trong không gian với

hệ tọa độ , cho hai điểm , Gọi là điểm sao cho

giá trị nhỏ nhất là

Lời giải Chọn D.

Suy ra tập hợp các điểm thỏa mãn là mặt cầu có tâm

và bán kính

Do đó, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng đạt giá

là điểm thuộc mặt phẳng sao cho biểu thức có giá trị nhỏ nhất Xác định

Lời giải Chọn D

Gọi là trọng tâm tam giác , khi đó

Ta có

đạt giá trị nhỏ nhất khi là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng Khi đó tọa độ

lớn nhất Giá trị bằng

lớn nhất Giá trị bằng

Lời giải

Chọn C.

Thay tọa độ điểm và vào vế trái của phương trình mặt phẳng ta có:

và Nên suy ra và nằm khác phía so với mặt phẳng

Gọi là điểm đối xứng với qua Ta có

Do đó lớn nhất là bằng khi và chỉ khi là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng

Ta có nên đường thẳng có véc-tơ chỉ phương Phương

trình đường thẳng là

và tạo với trục một góc lớn nhất điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng ?

Lời giải Chọn C.

Góc lớn nhất tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng là góc vuông suy ra mặt phẳng đang xét vuông góc với trục

Vậy phương trình mặt phẳng : Điểm thuộc mặt phẳng là

Câu 33: [2H3-2.8-3] (SỞ GD-ĐT THANH HÓA-2018) Trong không gian với hệ

tọa độ cho điểm và đường thẳng có phương trình

Gọi là mặt phẳng đi qua điểm , song song với đường thẳng và khoảng cách từ đường thẳng tới mặt phẳng là lớn nhất Khi đó mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?

Lời giải Chọn D

Gọi là hình chiếu vuông góc của lên Tọa độ của là nghiệm

đạt giá trị lớn nhất bằng khi mặt phẳng qua và vuông góc với

Khi đó có thể chọn VTPT của là Vậy vuông góc với mặt phẳng

Gọi là mặt phẳng đi qua hai điểm , sao cho thiết diện của với mặt cầu có diện tích nhỏ nhất Khi viết phương trình dưới dạng

Lời giải Chọn B

Mặt cầu có tâm bán kính là

Ta có , nằm trong mặt cầu Gọi là hình chiếu của trên và là hình chiếu của lên thiết diện

Ta có diện tích thiết diện bằng Do đó diện tích thiết diện nhỏ nhất khi lớn nhất Mà suy ra qua và vuông góc với

Ta có suy ra là trung điểm của Vậy và

tọa độ điểm thuộc sao cho đoạn ngắn nhất

Lời giải Chọn A.

Ta có tâm và bán kính

Khoảng cách từ đến mặt phẳng ngắn nhất khi là hình chiếu của lên mặt phẳng

Đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng có phương trình tham số là

Khi đó tọa độ của là nghiệm của hệ phương trình

Câu 42: [2H3-2.8-3] (SỞ GD-ĐT HÀ NỘI -2018) Trong không gian , cho hai điểm ,

.Tìm điểm trên mặt phẳng sao cho lớn nhất

Hướng dẫn giải Chọn D.

Gọi điểm thỏa Suy ra là trung điểm của , suy ra

Do đó lớn nhất nhỏ nhất là hình chiếu của lên

Chú ý: Ta có thể làm trắc nghiệm như sau

+ Loại C vì không thuộc

cho giá trị lớn nhất nên ta chọn

Câu 41: [2H3-2.8-3] (SỞ GD-ĐT QUẢNG NAM 2018) Trong không gian với hệ

đi qua , vuông góc với , cách gốc tọa độ một khoảng bằng và cắt các tia , lần lượt tại các điểm , khác Thể tích khối tứ diện

bằng

Lời giải Chọn C.

Khi đó phương trình mặt phẳng là:

Mặt khác

Câu 44: [2H3-2.8-3] (THPT Phan Chu Trinh - Đaklak - L2 - 2018) Trong

Lời giải Chọn C.

Nên có giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi ngắn nhất, khi đó