Huong dan on tap Toán kỹ thuật...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
Trang 1TS Nguyễn Văn Ý
HƯỚNG DẪN ÔN TẬP
TOÁN KỸ THUẬT
Trang 2Câu 1. 5 12i?
a (2 3 )i b (23 )i c (3 2 )i d đáp án khác
Câu 2 Độ dài của số phức 32i là:
a. 13 b. 5 c 32i d 0
Câu 3 Số phức 4 os sin
z c i
được viết dưới dạng mũ là:
a.z 4e i3
1 2
4 i
4 3
i
z e
ze
Câu 4 Thực hiện phép tính 2001
i được kết quả là
a.i b i c 2i d 1
Câu 5 Thực hiện phép tính 3
1 i 3 được kết quả là
a.8 b i c 8 d i3 3
Câu 6 Acgument chính của số phức icos sin, với 3
là :
a
2
2
Câu 7 Thực hiện phép tính
3
1 1
i i
được kết quả là
a.i b
2
i
c 1i d 1
Câu 8 Phần thực và phần ảo của hàm phức 2
wz , với z x iy là
a. 2 2
, 2
ux y v xy
Trang 3c 2 2
, 2
ux y v xy
Câu 9 Phần thực và phần ảo của hàm phức w Re 1
z
, với z x iy là
a. u 2 x 2,v 0
c u 2 x 2,v 2 y 2
d u 2 x 2,v 0
Câu 10 Cho hàm phức f z 2z z Chọn phát biểu đúng về hàm f z
a f z không có đạo hàm tại bất kì điểm nào của mặt phẳng phức
b f z có đạo hàm tại những điểm nằm trên trục thực
c. f z chỉ có đạo hàm tại điểm z 0
d Ba đáp án đã cho đều sai
Câu 11 Cho hàm phức f z ( ) e2z Tính
3
i
f
a 1 i 3
b 1 i 3
c 1 i 3
d 1 i 3
Câu 12 Tích phân
C
xdz
, với C là đoạn thẳng nối từ z 0 tới z 2 i có giá trị là
a.2i b 2i c 0 d Đáp án khác
Trang 4Câu 13 Tích phân
C
xdz
, với C là đường tròn z 2 R R 0 và theo chiều dương có giá trị là
a.i R 2 b i R c 0 d 2iR
Câu 14 Tích phân
1
cos 2
z
z dz z
có giá trị là:
a.0 b 1 c d 1
Câu 15 Tích phân Re
C
z zdz, với C là đoạn thẳng nối từ z1 tới z2i có giá trị là
1
3 i
b 1
1
3 i
c 1
1
3 i
d 1
1
3 i
Câu 16 Kết quả nào sau đây sai:
a
2
n
n
b
n n
z z z
n
1 ( 1) , | | 1
1
n n
Trang 5d 1 2
Câu 17 Khai triển thành chuỗi Mac Laurin của hàm phức f z ( ) z e2 3zlà:
0
3
,| |
!
n
n
n
z z
n
0
!
n
n
n
z z
n
0
3
,| | 1
!
n
n
n
z z
n
d Đáp số khác
Câu 18 Khai triển Mac Laurin của hàm phức ( ) c z h là:
a.
2
0
,
(2 )!
n
n
z
z n
b
2
0
(2 )!
n
n
z
z n
c
2
0
(2 )!
n
n
z
z n
d Đáp số khác
Câu 19 Khai triển Laurent của hàm phức 1
( ) ( 1)( 3)
f z
z z
trong hình vành khăn
1 | | 3 z là:
a.
1 1 0
n
n
z
z
Trang 6b
1 1 0
n
n
z
z
c
1 1 0
n
n
z
z
d Đáp số khác
Câu 20 Khai triển Taylor của hàm số
2
3 ( )
3
f z
z z
quanh điểm z 1 là:
1
n
1
n
1
n
d Đáp số khác
Câu 21 Điểm bất thường z của hàm số 2 ( ) 2 2 3
2
z z
f z
z
là :
a Cực điểm đơn
b Điểm bất thường cốt yếu
c Cực điểm cấp 2
d Điểm bất thường bỏ được
Câu 22 Điểm bất thường z 1 của hàm số ( ) 1
( 1)( 2)
f z
z z
là :
a Cực điểm đơn
b Điểm bất thường cốt yếu
Trang 7c Cực điểm cấp 2
d Điểm bất thường bỏ được
Câu 23 Thặng dư của hàm số
1
f z e tại điểm z là: 0
a 1
b -1
c 2
d Đáp số khác
Câu 24 Thặng dư của hàm số
2
1 cos
f z
z
tại điểm z 0 là:
a 0
b 1
c 2
d Đáp số khác
Câu 25 Thặng dư của hàm số
2
( )
2
z
f z
z
tại điểm z 2 là:
a 4
b 1
c 2
d Đáp số khác
Câu 26 Thặng dư của hàm số f z ( ) cot z tại điểm z là: 0
a 4
b 1
c 2
Trang 8d Đáp số khác
Câu 27 Tích phân
2 2
C
z dz
z z
, với C là đường tròn | | 2 z là:
a.
5
i
b.
5
i
c i
d Đáp số khác
Câu 28.Tích phân 3 4
( 1)( 2)
C
z
dz
z z z
, với C là đường tròn đơn vị 3
| | 2
z là:
a 0
b 1
c 2 i
d Đáp số khác
Câu 29: Biến đổi của dãy số 2 , 0
0, 0
n
n
n x
n
là
a. ( ) ,
2
z
X z
z
với z 2
b ( ) ,
2
z
X z
z
với z 2
c ( ) ,
2
z
X z
z
với z 2
d ( ) ,
2
z
X z
z
với z 2
Trang 9Câu 30 Cho 1, 0
0, 0
n
n n
Chọn phương án đúng
a. n 1, z
b. n 2, z
c. n 1, z
d. n 1, z
Câu 31 Biến đổi của dãy
0, 0
n
n x
n
là
2 1 4z 1
z
X z
1 2
z
2 1 4z 1
z
X z
1 2
z
c. ( ) 2 4z ,
2 1 4z 1
z
X z
1 4
z
2 1 4z 1
z
X z
1 4
z
Câu 32 Biến đổi phía trái của dãy số 3
4
n
n
x
là
4 3
z
X z
z
với
4 3
z
4 3
z
X z
z
với
4 3
z
4 3
z
X z
z
với
4 3
z
Trang 10d. 3
4 3
z
X z
z
với
4 3
z
Câu 33 Biến đổi 1của hàm phức 1
( )
1 2
X z
z
trong miền
1 2
z là dãy
0, 0
n
n
n
x
n
0, 0
n
n
n
x
n
0, 0
n
n
n
x
n
d 2 , 0
0, 0
n
n
n
x
n
Câu 34 Biến đổi 1 của hàm phức 1
( )
1 2
X z
z
trong miền
1 2
z là dãy
a. ( 1) 2 , 0
0, 0
n n
n
n x
n
0, 0
n
n
n
x
n
c. ( 1) 2 , 0
0, 0
n n
n
n x
n
d 2 , 0
0, 0
n
n
n
x
n
Câu 35 Biến đổi 1 của hàm phức 2 2
( )
z
X z
trong miền
2 z là dãy
Trang 111
n
n
n
n x
n
b
1
2 , 0
n
n
n
n x
n
c
1
n
n
n
n x
n
d
1
n
n
n
n x
n
Trang 12HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1 Giả sử p
5 12i = x + yi; x; y 2 R: Khi đó
5 12i = (x + yi)2
, 5 12i = (x2 y2) + i:2xy
2 y2 = 5
8
>
>
x2 36
x2 = 5
x
,
( x4+ 5x2 36 = 0
x
,
8
>
>
x2 = 9 (loại)
x2= 4 (nhận)
x , x = 2y = 3 _ x =y = 32
ĐS: (2 3i): Chọn A
Câu 2 j2 3ij =p
22+ ( 3)2=p
13: Chọn A
Câu 3 Nhắc lạiz = x + yi; x; y 2 R: Khi đó
Dạng lượng giác:z = r(cos ' + i sin '); r = jzj ; ' = arg z;
Dạng mũ: z = rei'= rei('+k2 ); k 2 Z; r = jzj ; ' = arg z: Chọn A
Câu 4 Ta cói2001 = (i2)1000:i = ( 1)1000:i = i: Chọn A
Câu 5 Ta có
(1 + ip
3)3 = 1 + 3ip
3 + 3(ip
3)2+ (ip
3)3
= 1 + 3ip
3 = 8:
Chọn A
Câu 6 Ta có
8
<
:
z = i cos ' + sin ' = cos
2 ' <
3
=) arg z = 2 ': Chọn B
Câu 7 Ta có
1 + i
3
= (1 + i)
2
2
3
= i3 = i:
Chọn A
Câu 8 Ta có
w = z2 = (x + yi)2 = x2 y2+ i:2xy u + iv;
u = Re w = x2 y2; v = Im w = 2xy:
Chọn A
Câu 9.Ta có
1
1
x + yi =
x2+ y2 = x
x2+ y2 + i: y
x2+ y2
x
x2+ y2 u + iv;
x2+ y2; v = Im w = 0:
1
Trang 13Chọn A.
Câu 10.Ta có
f (z) = 2z:z = 2(x2+ y2) u + iv;
với u = Re f (z) = 2x2+ 2y2; v = Im f (z) = 0;
@u
@u
@y = 4y;
@v
@x = 0;
@v
@y = 0:
Điều kiện Cauchy-Riemann thỏa mãn khi và chỉ khi
( @u
@x = @v@y
@u
@y = @v@x , 4x = 04y = 0 , x = 0y = 0 Vậy f (z) chỉ có đạo hàm (khả vi) tại z = 0: Chọn C
Câu 11.Ta có
f0(z) = 2e2z ) f0 3i = 2e23i = 2ei:23 = 2(cos2
3 + i sin
2
3 ) = 1 + i
p 3:
Chọn A
Câu 12.Ta có
C OA : z = x + iy = 2t + i:t; t : 0 ! 1; ở đây O(0; 0); A(2; 1):
x = 2t; y = t; dz = (2 + i)dt
I =
Z 1
0
2t(2 + i)dt = (2 + i) t2 10 = 2 + i:
Chọn A
Câu 13.Ta có
C : z = 2 + Reit= 2 + R(cos t + i sin t) = 2 + R cos t + iR sin t; t : 0 ! 2 :
x = 2 + R cos t; y = R sin t; dz = ( R sin t + iR cos t)dt
Vậy
Z 2 0
(2 + R cos t) ( R sin t + iR cos t)dt
=
Z 2 0
2R sin t R2sin t cos t dt + i
Z 2 0
2R cos t + R2cos2t dt = 0 + i R2
Chọn A
Câu 14.Ta có f (z) = cos z
z + 2 có một điểm cực đơn là z = 2 =2 D : jzj < 1; nên f(z) giải tích trong D: Chọn A
Câu 15.Ta có
C AB : z = x + iy = (1 t) + i:2t; t : 0 ! 1; ở đây A(1; 0); B(0; 2):
x = 1 t; y = 2t
f (z) = z Re z = (x + yi)x = x2+ ixy = (1 t)2+ i:(1 t)2t u + iv;
với u = (1 t)2; v = 2t(1 t) = 2t 2t2:
2
Trang 14Z
C
udx vdy + i
Z
C
udy + vdx
=
Z 1 0
(1 t)2( 1) (2t 2t2):2 dt + i
Z 1 0
(1 t)2:2 + (2t 2t2):( 1) dt
=
Z 1 0
1 2t + 3t2 dt + i
Z 1 0
2 6t + 4t2 dt = 1 + i
3: Chọn A
Câu 16 Đáp án D
Câu 17 Ta có
f (z) = z2e3z = z2:
1
X
n=0
(3z)n
1
X
n=0
3n n!z
n+2
; jzj < 1:
Chọn A
Câu 18 Ta có
f (z) = chz = e
z+ e z
ez =
1
X
n=0
zn n!; e
z=
1
X
n=0
( z)n
1
X
n=0
( 1)n n! z
n;
f (z) = 1
2
1
X
n=0
1 + ( 1)n
n= 1 2
1
X
k=0
2 (2k)!z
2k=
1
X
n=0
z2n
(2n)!; jzj < 1:
Chọn A
Câu 19 Ta có
1 < jzj < 3 )
8
>
>
1
z < 1 z
3 < 1
:
1 2
1
1
1
1
3:
1
3
3
1
X
n=0
z 3
n
=
1
X
n=0
zn
3n+1
1
1
z:
1
z
= 1 z
1
X
n=0
1 z
n
=
1
X
n=0
1
zn+1
Vậy f (z) = 1
2
1
X
n=0
zn
3n+1 + 1
zn+1 : Chọn A
Câu 20 Ta có
f (z) = 3
3z z2 = 1
z+
1
1
z =
1
1
X
n=0
(1 z)n; j1 zj < 1
1
1
2 + (1 z) =
1
2:
1
1 +1 z 2
= 1 2
1
X
n=0
( 1)n 1 z
2
n
=
1
X
n=0
( 1)n
2n+1 (1 z)n; 1 z
2 < 1
3
Trang 15Vậy f (z) =
1
X
n=0
1 +( 1)
n
2n+1 (1 z)n; j1 zj < 1: Chọn C
Câu 21 Đáp án A Vì
( lim
z!2f (z) = 1 lim
z!2(z 2)f (z) = lim
z!2(z2 2z + 3) = 3 6= 0:
Nhắc lại
z = a là điểm cực cấp m của f (z) , limlimz!af (z) = 1
z!a(z a)mf (z) 6= 0:
Câu 22 Đáp án A
Câu 23 Ta có
f (z) = e1 =
1
X
n=0
1 z n
n!
=
1
X
n=0
1 n!zn = 1 +1
z +
1 2!z2 + ::: + 1
n!zn + :::
) Re s[f(z); 0] = C 1= 1:
Chọn A
Câu 24 Ta có
cos z =
1
X
n=0
( 1)n z
2n
(2n)! = 1 +
1
X
n=1
( 1)n z
2n
(2n)!
f (z) = 1 cos z
1
X
n=1
( 1)nz
2n 2
(2n)! =
1
X
n=1
( 1)n+1z
2n 2
(2n)!
2!
z2 4! + ::: + ( 1)
n+1z2n 2 (2n)! + :::
) Re s[f(z); 0] = C 1 = 0:
Chọn A
Câu 25 Ta có
z = 2 là điểm cực đơn của hàm f (z) = z
2
) Re s[f(z); 2] = lim
z!2(z 2)f (z) = lim
z!2z2 = 4:
Chọn A
Câu 26 Ta có
( lim
z!0cot z = 1 lim
z!0z cot z = limz!0sin zz cos z = 1 6= 0 ) z = 0 là điểm cực đơn của hàm f(z) = cot z = cos zsin z ) Re s[f(z); 0] = lim
z!0zf (z) = lim
z!0
z sin z cos z = 1:
Chọn B
2
(z2+ 1)(z + 3) =
z2 (z i)(z + i)(z + 3) có 3 điểm cực đơn là z1 = i; z2 = i và
4
Trang 16z3= 3: Ta có i 2 D : jzj < 3 và 3 =2 D:
I
C
f (z)dz = 2 i (Re s[f (z); i] + Re s[f (z); i]) :
Re s[f (z); i] = lim
z!i(z i) f (z) = lim
z!i
z2
(z + i)(z + 3)
2
2i(i + 3) =
i( i + 3)
1 + 3i 20
Re s[f (z); i] = lim
z! i(z + i) f (z) = lim
z! i
z2
(z i)(z + 3)
2
2i( i + 3) =
i(i + 3)
1 3i 20 ) I = 2 i 1 + 3i20 +1 3i
i
5 : Chọn A
Câu 28 Ta có f (z) = 3z + 4
z(z 1)(z 2) có 3 điểm cực đơn là z1 = 0; z2 = 1 và z3 = 2: Ta có 0; 1 2 D : jzj < 3=2 và 2 =2 D:
I
C
f (z)dz = 2 i (Re s[f (z); 0] + Re s[f (z); 0]) :
Re s[f (z); 0] = lim
z!0zf (z) = lim
z!0
3z + 4 (z 1)(z 2)= 2
Re s[f (z); 1] = lim
z!1(z 1) f (z) = lim
z!1
3z + 4
) I = 2 i (2 1) = 2 i:
Chọn C
Nhắc lại về biến đổi Z
0; n < 0
z
z 1 = 1 z1 1 jzj > 1
n; n 0 0; n < 0
z
z a = 1 az1 1 jzj > jaj
0; n < 0
z (z 1) 2 jzj > 1
n 1; n 0 0; n < 0
z (z a) 2 jzj > jaj
6 xn= cos !0n; n 0
z(z cos ! 0 )
z 2 2z cos ! 0 +1 jzj > 1
7 xn= sin !0n; n 0
0; n < 0
sin ! 0
z 2 2z cos ! 0 +1 jzj > 1
10 nanu(n) (1 azaz 11 ) 2 jzj > jaj
11 nanu( n 1) (1 azaz 11 ) 2 jzj < jaj Câu 29 Ta có
X(z) = Zfxng = z z 2; jzj > 2:
5
Trang 17Chọn A.
Câu 30 Chọn A
Câu 31 Ta có
xn = un+ vn; với un=
1 4
n
; n 0 0; n < 0 vàvn=
1 2
n
; n 0 0; n < 0
z 14; jzj > 14 và Zfvng = z
z 12; jzj > 12 ) X(z) = Zfxng = 4z
2z 2z 1; jzj > 1
2: Chọn A
Câu 32 Ta có
xn= 3
4
jnj
=
3 4
n
; n 0
3 4
n
; n < 0 ) X(z) = Z fxng =
1
X
n= 1
3 4
n
z n=
+1
X
n=1
3z 4
n
1 3z=4;
3z
4 < 1 hay
4 3z; jzj < 4
3: Chọn A
Câu 33 Ta có
jzj < 12 ) j2zj < 1
) X(z) = 1 12z =
+1
X
n=0
(2z)n k= n=
0
X
k= 1
2 kz k=
0
X
n= 1
2 nz n=
+1
X
n= 1
xnz n;
với xn = Z 1fX(z)g = 2
n; n 0 0; n > 0 Chọn A
Câu 34 Ta có
jzj < 1
2 ) j2zj < 1
) X(z) = 1 + 2z1 =
+1
X
n=0
( 1)n(2z)n k= n=
0
X
k= 1
( 1) k2 kz k =
0
X
n= 1
( 1) n2 nz n=
+1
X
n= 1
xnz n;
với xn = Z 1fX(z)g = ( 1)
n2 n; n 0 0; n > 0
Chọn A
Câu 35 Ta có
1
2 < jzj < 3 )
1 2z < 1
z
3 < 1
2z2 7z + 3 =
z + 2 (2z 1)(z 3)=
A
B
z 3;
z 3 z=1
2
= 1; B = z + 2
2z 1 z=3= 1:
) X(z) = 2z 11+ 1
6
Trang 181 2z:
1
1 2z1 =
1 2z
+1
X
n=0
1 2z
n
=
+1
X
n=0
1
2n+1zn+1
k=n+1
=
+1
X
k=1
2 kz k =
+1
X
n=1
2 nz n
1
1
3:
1
1 z3 =
1 3
+1
X
n=0
z 3
n
=
+1
X
n=0
zn
3n+1
k= n
=
0
X
k= 1
3k 1z k=
0
X
n= 1
3n 1z n
) X(z) =
+1
X
n=1
2 nz n
0
X
n= 1
3n 1z n=
+1
X
n= 1
xnz n
n 1; n 0
2 n; n > 0
Chọn A
7