bài tập ppdh hình học (1)

Gọi Q là mặt phẳng qua M và song song với mpA’D’CB.. Từ giả thiết ta có: = Suy ra AD, MN và D’B luôn song song với một mặt phẳng định lí Ta-lét đảo.. song song với một mặt phẳng P, mà P

Ví dụ 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh bằng a Các điểm M, N lần lượt nằm trên AD’, DB sao cho AM = DN = x (0 < x < a)

a) Chứng minh rằng khi x biến thiên, đường thẳng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định

b) Chứng minh rằng khi x= thì MN // A’C

Giải:

a) Sử dụng định lí Ta-lét

Gọi (P) là mặt phẳng qua AD và song song với mp(A’D’CB) (có (P) vì AD // A’D’)

Gọi (Q) là mặt phẳng qua M và song song với mp(A’D’CB Giả sử (Q) cắt DB tại N’

Theo định lí Ta-lét ta có: (*)

Vì các mặt của hình hộp là hình vuông cạnh a nên:

AD′=DB=a

Từ (*), ta có AM = DN’

⇒ DN’ = DN

⇒ N’ ≡ N

⇒ MN ⊂ (Q)

Mà (Q) // (A’D’CB) suy ra MN luôn song song với mặt phẳng cố định (A’D’CB)

Sử dụng định lí Ta-lét đảo

Từ giả thiết ta có: =

Suy ra AD, MN và D’B luôn song song với một mặt phẳng (định lí Ta-lét đảo) Vậy MN luôn

song song với một mặt phẳng (P), mà (P) song song với AD và D’B Có thể chọn mặt phẳng này chính là mp(A’D’CB)

b) Gọi O là giao điểm của DB và AC Ta có:

DN = x = =

⇒DN= DO

Suy ra N là trọng tâm tam giác ADC

Chứng minh tương tự, ta có M là trọng tâm tam giác A’AD Vậy CN và A’M cắt nhau tại I là trung điểm của AD Ta có: ⇒MN//A′C

Ví dụ 2:

Cho tứ diện ABCD Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD Một mặt phẳng IJ cắt các cạnh AD và BC lần lượt tại N và M

a) Cho trước điểm M, nêu cách dựng điểm N

b) Gọi K là giao điểm của MN và IJ Chứng minh rằng K là trung điểm của MN

Giải:

a) Trường hợp M không phải là trung điểm của BC

Nối M với I cắt AC tại E Nối E với J cắt AD tại N, N chính là điểm cần tìm

Trường hợp M là trung điểm của BC.

Khi đó IM // AC và (IJM) // AC Vậy mp(IJM) cắt mp(ACD) theo giao tuyến JN // AC b) Vì == nên qua IJ, AD, BC có ba mặt phẳng song song (định lí Ta-lét đảo)

Ba mặt phẳng này cắt hai đường thẳng AB và NM tại các điểm I, A, B và K, N, M Vì I là trung điểm của AB nên K là trung điểm của MN (định lí Ta-lét)