Khó rất khó

CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO MIN MAX TỔNG TÍCH – ĐA THỨC – NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Tạp chí và tư liệu toán học Các bài toán ở phần này đa phần là các bài toán khó tới rất khó, một số có t

CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO MIN MAX TỔNG TÍCH – ĐA THỨC – NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Tạp chí và tư liệu toán học

Các bài toán ở phần này đa phần là các bài toán khó tới rất khó, một số có thể không phù hợp với kì thi THPT Quốc Gia nên chỉ mang tính chất giới thiệu và tham khảo, tránh đi sâu vào những vấn đề không cần thiết Để có thể làm được đa phần các bài toán ở đây cần nắm được các kiến thức về bất đẳng thức cơ bản như AM – GM, Cauchy – Schwarz, v.v các phép biến đổi, đa thức Chebyshev… Các bạn có thể đón chờ lời giải trong thời gian sắp tới, còn sau đây là các câu hỏi để các bạn luyện tập và làm thêm giải trí ngoài giờ học căng thẳng  Rất mong mọi người không ném đá!

Câu 1 Giả sử f x ax3bx2cx d có f x  1 với mọi x  1;1 Tính tổng hệ số của

đa thức f x  khi a  b  c d đạt giá trị lớn nhất

Câu 2 Cho f x ax2 bx c thỏa mãn f 1 , f 0 , f 1      1 Tìm max của f x  khi

x 1

A 5

3

Câu 3 Có bao nhiêu đa thức f x x2ax b thỏa mãn f x  1

2

 với mọi x  1;1 ?

Câu 4 Cho đa thức f x ax2bx c thỏa mãn f x  1 với mọi x  1;1 Tính giá trị của a4 b

c



khi 4a23b2 đạt giá trị lớn nhất

Câu 5 Giả sử đa thức f x  có bậc không vượt quá 4036 thỏa mãn f k  1 khi

k 2018; 2018 Tìm max của f x  với mọi x  2018; 2018

A.2.2018 B 22018 C 4.2018 D 42018

f x 4x ax và   3 2

g x 4x bx cx d thỏa mãn điều kiện

   

f x , g x 1 với   x  1;1.Tính a b c d  

f x a x a x   a x a thỏa mãn f x  1 với mọi x  1;1 Tìm giá trị lớn nhất của 2018 2017

a x a x   a x a với x  1;1

Câu 8 Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên n sao cho nếu   n n 1

P x a x a x  a x a



mãn P xn  1 với mọi x  1;1 thë khi đó   2

n

P ' x n với mọi x  1;1?

y x kx e trên đoạn 1; 3 đạt giá trị nhỏ nhất Tính k e ?

Câu 10 Cho đa thức P x  thỏa mãn P 0 P 1 0 và giá trị nhỏ nhất của P x  trên đoạn  0;1 bằng -1 Tìm giá trị nhỏ nhất của maxP x  khi x 0;1

x 1



 trên đoạn

 2;6 đạt giá trị nhỏ nhất Hỏi a b gần nhất với số nào sau đây?

2

Câu 12 Phương trënh 8x 1 2x  28x48x211 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng

 0;1 ?

Câu 13 Tìm số nghiệm dương của phương trënh x52x48x3x29x 1 0 

      có bao nhiêu nghiệm thực ?

Câu 15 Với các số thực dương a, b, c,d thỏa mãn a b 1 7c   ta xét hai đa thức

P x x ax bx c và Q x x22x d Hỏi phương trënh P Q x   0 có tối đa bao nhiêu nghiệm thực phân biệt ?

Câu 16 Cho a,b,c là 3số nguyên phân biệt và đa thứcP x có các hệ số nguyên sao choP a P b P c 2.Hỏi phương trënh P x  3 0 có bao nhiêu nghiệm nguyên ?

Câu 17 Tính tổng tất cả các hệ số của đa thức nhận các số tan , tan5 , tan9 , tan13

làm nghiệm

Câu 18 Giả sử đa thức hệ số thực f x  có ít nhất 2 nghiệm thực Hỏi đa thức

     

P x f x f ' x có ít nhất bao nhiêu nghiệm thực ?

A.1 B 2 C 3 D 4

Câu 19 Cho các hệ số a, b, c của phương trënh x3ax2bx c 0  thỏa mãn

a , b , c 2016 Hỏi phương trënh có thể có bao nhiêu nghiệm lớn hơn 2017 ?

f  0, f '  0, , f  0 với  R Hỏi f x có bao nhiêu nghiệm thực lớn hơn  ?

Câu 21 Giả sử tất cả các nghiệm của đa thức f x  bậc n đều là số thực Hỏi đa thức

   

af x f ' x có bao nhiêu nghiệm không phải là số thực (a R ) ?

Câu 22 Giả sử a, b là 2 trong 4 nghiệm của đa thức x4x31 Hỏi số nào dưới đây là nghiệm của đa thức x6 x4x3x2 1 ?

x 1 x 3 x 5      x 2011  có tập nghiệm là hợp các khoảng rời nhau Tính tổng độ dài các khoảng nghiệm

A.1010025

2

Câu 24 Cho đa thức f x  bậc n có n nghiệm thực phân biệt Cho biết tập tất các số thực

để  

 

f '

2018

f





 là hợp của một số hữu hạn khoảng không giao nhau Tổng độ dài các khoảng đó là ?

Câu 25 Cho P x x44x3mx2 nx p có 4 nghiệm a, b, c,dthỏa mãn điều kiện saua16b16c16d16 4.Tính ab.log cd

Câu 26 Với các số thực a, b, cgiả sử đa thức P x x4ax3bx2cx 1 có ít nhất 1 nghiệm thực Hỏi có bao nhiêu bộ số a, b, c để a2b2c2 đạt giá trị nhỏ nhất ?

f x x a x  a x a



     có n nghiệm thực phân biệt ( n là số nguyên dương) Giả sử rằnga1   3,a2 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của n

Câu 28 Xét các đa thức P x ax2 bx c có các hệ số là các số nguyên và a 0 sao cho

 

P x có 2 nghiệm phân biệt trong khoảng  0;1 Tìm tổng hệ số của đa thức có hệ số a nhỏ nhất

Câu 29 Cho hàm số f x cos 2x a cos x    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau

min f x max f x

A.1

Câu 30 Cho f x  sin 2x cos 2x 1

2 sin 2x



 với x R Gọi M,m lần lượt là max và min của

 

f x Tính tổng M m

Câu 31 Cho f x a sin b x a sin b x a1 1  2 2   2018sin b2018x Giả sử f x   sin x với mọi

 

x 1;1 Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A.a b1 1a b2 2   a2018 2018b 1 B a b1 1a b2 2   a2018 2018b 1

C a b1 2018a b2 2017  a2018 1b 1 D a b1 2018 a b2 2017  a2018 1b 1

Câu 32 Giả sử với mọi x R ta luôn có a0 a cos x a cos 2x a1  2   2018cos 2018x 0 (aiR) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất ?

Câu 33 Cho các số thực a,b,m,n sao cho f x  1 a cos x bsin x m cos 2x n cos 2x   thỏa mãn f x 0 với mọi x R .Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?

A.a2 b2 1 B m2 n2 1 C a2b2 1 D m2n2 1

Câu 34 Giả sử f x 2x3ax2bx c có nghiệm x0  3 Tìm giá trị nhỏ nhất của

max a , b , c

3

f x x a x   a x 1 với các hệ số ak 0 k 1; 2016  

có 2017 nghiệm thực Tìm min của f 2017 

A.2018 B 2018.2017 C 2018

2017 D 20182017

f x a x   a x a x a có tất cả hệ số ak100;101 Tìm

số tự nhiên n nhỏ nhất để f x  có ít nhất 1 nghiệm thực

Câu 37 Giả sử k là số thực lớn nhất thỏa mãn tính chất: Tất cả các đa thức bậc 4

f x x ax bx cx d với 4 nghiệm thực dương đều thỏa mãn bất đẳng thức

b a c  kd Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A.k100;102 B k195;197 C k193;195 D k98;100

Câu 38 Có bao nhiêu số nguyên dương n sao cho với đa thức hệ số thực f x  bậc n có n nghiệm thực thì ta luôn có      2    

n 1 f ' a nf a f '' a với mọi a R ?

f x x 2018 x a x a x 1 với tất cả các

hệ số ai 0 Giả sử f x  có 2018 nghiệm thực Gọi M,m lần lượt là max và min của

f 2018 Hỏi 2018M

m gần nhất với giá trị nào sau đây ?

Câu 40 Cho a,b,c là 3 số nguyên phân biệt Hỏi có bao nhiêu đa thức P x có các hệ số là các số nguyên sao cho P a b,P b c,P c a ?

Câu 41 Gọi  là nghiệm lớn nhất của x33x2 1 0 Hỏi có bao nhiêu chữ số khác nhau trong các chữ số 0;1; 2; ;9 trong 336 chữ số liên tiếp đầu tiên sau dấu phẩy của 2018 trong biểu diễn dạng số thập phân

f x a x   a x a biết rằng a0 1000 và f 18   f 89 2016

Câu 43 Giả sử đa thức hệ số nguyên f x  nhận 1 và 2 làm hai nghiệm Hỏi f x  có ít nhất bao nhiều hệ số không lớn hơn 2 ?

Câu 44 Cho đa thức f x  bậc 5 có 5 nghiệm thực phân biệt Tìm số nhỏ nhất trong các hệ

số khác 0 của f x ?

Câu 45 Với a, b là hai số nguyên, giả sử phương trënh x4ax3bx2ax 1 0  có 2 trong

số các nghiệm có tích bằng 1 Tích a.b có giá trị là ?

Câu 46 Xác định hệ số của x2 trong khai triển của đa thức

     2 2 2

2 2018

P x   x 2 2 2   2

Biết rằng đa thức trên có 2018 dấu ngoặc

A.44035 42018

3



B 44036 42017

3



C 44035 42017

3



D 44036 42018

3



Câu 47 Tìm số nghiệm của đa thức f x  biết f x  thỏa mãn        2

f f x  f x

Câu 48 Giả sử 2016 2016 được biểu diễn thành đa thức của   ,  Xác định tổng các

hệ số của đa thức ấy

A.1

k 1

k

4037





A. 40372018

2 B 40362018

2 C 40372017

2 D 40362017

2

Câu 50 Tính tổng sau:

x b

 và y 2c 1

x d

 cắt nhau tại đúng 1 điểm Hỏi hai đồ thị hàm y 2b 1

x a

 và y 2d 1

x c

 cắt nhau tại bao nhiêu điểm ?

sin x x   đúng với x 0;

2



   Giá trị của k là ?

Câu 53 Giả sử f x x5x21 có 5 nghiệm là x , x , x , x1 2 3 4 và x5 Đặt q x x22 Tính

 

5

i

i 1



Câu 54 Biết hai đa thức f x 2x33ax26x 1 và g x 2x33bx2 12x 4 có chung ít nhất một điểm cực trị Tìm giá trị nhỏ nhất của a  b

Câu 55 Với số nguyên n 2 Giả sử a ,a , ,a0 1 n 1 là các số hữu tỷ thỏa mãn phương trënh

n 1 n n

a a 3 a 3  0



a a 2018 a 2018 



2018

n

f x x x    x  x 1 với mỗi

số tự nhiên n Tính lim an

A.1

5

x 3





 Đặt g xn f f x       với n lần f Xác định số nguyên dương n lớn nhất nhỏ hơn 2018 sao cho g xn x

Câu 58 Giả sử

2

4n 1

k 1

1 S

k



 và 2 n 3

k 1

1 S

k



 Gọi A là tập hợp các số tự nhiên n sao cho

1 2

S S Tính số phần tử của tập A ?

Câu 59 Cho biết với mọi x 1 đều tồn tại một tam giác mà số đo các cạnh là những số

P x x x 2x  x 1,P x 2x x 2x 1,P x x 1

Hỏi có bao nhiêu khẳng định sai trong các khẳng định sau đây ?

a Cạnh có độ dài lớn nhất của tam giác ứng với P x1 

b Chỉ có 1 giá trị x để cạnh có độ dài nhỏ nhất của tam giác ứng với P x3 

c Các tam giác đó ứng với mọi x 1 cho trước có số đo góc lớn nhất khác nhau

d Số đo của góc lớn nhất của tam giác khi x 2018 là

3



Câu 60 Cho đa thức f x  có bậc là 2018 nhận đường thẳng x 2018 làm trục đối xứng Tính giá trị của biểu thức      2017  

f ' 2018 f ''' 2018   f 2018

Câu 61: Cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn f 0  1, f 1  1, f 1  1 với f x ax2 bx c Tìm giá trị lớn nhất của f x  trên đoạn 1;1

A 1

2

Câu 62: Tìm S p q  biết rằng p 0 và q 2 số thực để hàm số y x2 2px q

x 1



 có giá trị lớn nhất bằng 9 và giá trị nhỏ nhất bằng 1

Câu 63: Tìm giá trị của nguyên dương của tham số a 0 sao cho hàm số f x  12x x a2 

x 36





 đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là các số nguyên trên miền nghiệm x ?

Câu 64: Cho P x ax2bx c thỏa mãn điều kiện P x    1, x  0;1 Tìm giá trị nhỏ nhất của b?

Câu 65: Cho 2 số a,b thỏa mãn 2a2b2 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của S 2a 1  2b 1

2

Câu 66: Cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn abc a c b   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

a 1 b 1 c 1

A 7

3

Câu 67: Xét phương trënh ax3x2 bx 1 0 a 0, b 0      sao cho các nghiệm đều là các số thực dương Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

5a 3ab 2 P

a b a



 bằng?

Câu 68: Cho x,y nguyên không đồng thời bằng 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

y 5x 11xy 5y

Câu 69: Cho 2 tập hợp bằng nhau x, y,z, t1930,1945,1975,1995 Có bao nhiêu bộ các giá trị của x,y,z,t để biểu thức   2 2   2 2

A x y  y z  z t  t x đạt giá trị nhỏ nhất?

Câu 70: Cho 2 hàm số f x ,g x    là các hàm số xác định trên Với mọi x,y ta giả sử

       

f x y f x y 2f x g y Biết f x  không đồng nhất bằng 0 và f x  1 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số g y 

Câu 71: Cho hàm số f x x4ax3bx2 cx d Tính tổng S a b c d    khi giá trị lớn nhất của f x  với x  1; 3 đạt giá trị bé nhất?

Câu 72: Cho hàm số f xác định trên tập số thực, lấy giá trị trên và thỏa mãn điều kiện

f cot x sin 2x cos 2x, x   0; Gọi m, n lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số

   2   2 

g x f sin x f cos x trên Tính tổng S m n 

A. 24

25

25

5



f x ax bx c a 0 có

 ;0    

min f x  f 1 Giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x   trên đoạn 1; 2

2

  bằng?

16

16

4

1

f tan 2x tan x , x 0;



Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y f sin x   f cos x trên 0;

2



Câu 75: Cho hàm số f x  xác định trên và thỏa mãn điều kiện

f tan x sin 2x cos 2x, x ;

 

Với a, b là hai số thực thay đổi thỏa mãn a b 1  Tìm giá trị nhỏ nhất của S f a f b    

A 1

2

2



D 5 3 5

2



f x  a 1 x 1   2a b 1 x 1   8a 4b biết

 ;0    

max f x  f 3 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f x  trên đoạn 1; 3

2

Câu 77: Cho 2 hàm số y f x , y g x      liên tục và có đạo hàm trên đoạn 1;1 thỏa mãn

f x 0,g x    0, x 1;1 và f ' x g ' x    0, x  1;1 Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số h x 2f x g x   g x2  trên đoạn 1;1 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A m h 1   B m h 0   C. h 1  h 1 

m

2

 

Câu 78: Cho 3 số a, b, c sao cho hàm số f x ax2 bx c thỏa mãn f x     1, x  1;1

và a 0 sao cho P 8a2 2b2

3

  đạt giá trị lớn nhất Tính tổng S a b c  

Câu 79: Cho x,y dương Tëm GTNN của f x, y  x44 y44 x22 y22 x y

Câu 80: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a2b2 để hàm số sau có đồ thị cắt trục hoành

f x x ax bx ax 1

A 4

5

Câu 81: Với a,b,c thỏa mãn điều kiện 1 a b c 4    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

          

A. 12 8 2 B 12 8 2 C 2 8 2 D. 8 8 2

Câu 82: Cho a, b, c, d là các số nguyên thuộc đoạn 1;100 và a b c d   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức f a,b,c,d  a 2c

b d

 

A 99

350

2



  Gọi M, m lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số y a b 2 sin x csin 2x   Tính tổng S M m 

Câu 84: Cho 3 số thực a, b, c thỏa mãn ax2 bx c 10, x     1;1 biết a 0 và đồng thời biểu thức S a  b c đạt giá trị lớn nhất Tính tổng P a b c  

Câu 85: Cho c là một số thực tùy ý và x, y,z,a, b là các số thực dương thỏa mãn đồng thời

điều kiện

2

1 1 1 a

x y z

9b ac

   







Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P b x y z  c 1 1 1

x y z

A b c 9a2

b



B a c 3c2

a



C. a c 9b2

a



D. a b 9c2

c



Câu 86: Cho 4 số thực x, y,z, t sao cho x y z t 02 2 2 2

   



 Gọi M, m lần lượt là GTLN và GTNN của P xy yz zt tx    Tính tổng S M m 

Câu 87: Cho 4 ố thực a, b, c,d khác nhau thỏa mãn điều kiện a b c d 4,ac bd

b c d a     Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S a b c d

c d a b

   

Câu 88: Xét tất cả các tam thức bậc hai f x ax2bx c 0, x    trong đó a b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S a b c

b a

 





A 0 B 1 C 2 D 3

Câu 89: Cho hàm số y ax 3bx2cx d có đồ thị  C Biết  C cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1 x2 x3 0 và trung điểm đoạn nối 2 điểm cực trị của

 C có hoành độ x0 1 Giá trị lớn nhất của biểu thức 3

1 1 2 1 2 3

S x  x x  x x x là m

n với

m, n là các số nguyên dương và m

n là phân số tối giản Tính P 2m 3n 



 Tìm  để  C sao cho khoảng cách giữa 2 điểm cực đại và cực tiểu là lớn nhất ?

4



4



2



3



    

n

1

2

A. 33955

2

Câu 92: Biết rằng hệ phương trënh 2mx y 3m2 2

x y 4y

 



 có nghiệm x , y , x , y1 1  2 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  2  2

P x x  y y

2 2

2 2

a b 1 2 a b

c d 36 12 c d





 Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức   2 2

P a c  b d Tính M m ?

Câu 94: Cho a, b, c, d là 4 số thực thỏa mãn a2b2 c2 d2 5 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S 5 a 2b   5 c 2d   5 ac bd 

A 3 30

2

Câu 95: Cho a, b, c, d là 4 số thực thỏa mãn a2c2 1; b2d2 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S 1 a2 c2 1 b2 d2 2 1 a b 2 c d 2

Câu 96: Cho 2 số thực a,b thỏa mãn a2b2 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

S 20a 15a 36b 48b 

Câu 97: Với yi  x 0, y y1 2y y2 3  y yn 11, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: