bài giảng đại số tuyến tính ánh xạ tuyến tính

Ta gọi A là dạng ma trận của ánh xạ tuyến tính f.. Dạng ma trận của ánh xạ tuyến tínhVí dụ 1... PP xác định áxtt thông qua ảnh của các vectơ cơ sở Để tìm áxtt f thỏa mãn điều kiện trên,

SLIDES BÀI GIẢNG MÔN ĐẠI SỐ B1

Slides Chương 4:

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Giảng viên: Trịnh Thanh Đèo

Khoa Toán - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp.HCM

TÀI LIỆU GIẢNG DẠY NĂM HỌC 2010-2011

NỘI DUNG

1 Linear mappings

2 Matrices of linear mappings

3 Finding linear mappings from image of bases

4 Kernel and image of a linear mapping

5 Matrices of linear operators with respect to bases

6 Matrices of linear mappings with respect to bases

Ánh xạ tuyến tính

Một phép tương ứng f từ tập X 6= Ø vào tập Y 6= Ø (ký hiệu f : X → Y)

được gọi là ánh xạnếu:

“∀x ∈ X, tồn tại duy nhất y ∈ Y sao cho y là tương ứng của x qua f ”.

Khi đó y được gọi là ảnh của x qua f, ký hiệu y = f(x).

Nếu hai ánh xạ f, g : X → Y thỏa mãn f(x) = g(x), ∀x ∈ X

thì ta nói f bằng g, ký hiệu f = g.

Ánh xạ tuyến tính f : R n→ Rm là ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau với

mọi u, v ∈ R n và với mọi α ∈ R:

i) f(u + v) = f(u) + f(v);

ii) f(αu) = αf(u).

Các điều kiện trong định nghĩa trên có thể được thay bởi điều kiện:

f(αu + v) = αf(u) + f(v).

Ánh xạ tuyến tính

Tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính đi từ Rn vào Rm được ký hiệu bởi L(R n, Rm)

Nếu f ∈ L(R n, Rn) thì T được gọi là toán tử tuyến tínhtrên Rn

Tập hợp L(R n, Rn) được viết ngắn gọn làL(R n)

Nhận xét. Nếu f ∈ L(R n, Rm) thì

i) f(0) = 0 (vectơ 0 bên trái thuộc R n, và vectơ0 bên phải thuộc Rm);

ii) ∀u ∈ R n, f(−u) = −f(u).

iii) ∀u1,u2, ,um∈ Rn và ∀α1, α2, , αn∈ R, ta có

f(α1u1+ α2u2+ · · · + αmum) = α1f(u1) + α2f(u2) + · · · + αmf(um)

Ánh xạ tuyến tính

Ví dụ. Chứng minh f(x, y, z) = (2x + y, x − 2y + z) là một ánh xạ tuyến

tính từ R3 vào R2

Giải. Với mọi u = (x, y, z), v = (x0,y0,z0) ∈ R3 và với mọi α ∈ R ta có

f(u + v) = f(x + x0,y + y0,z + z0)

= (2(x + x0) + (y + y0), (x + x0)−2(y + y0) + (z + z0))

= (2x + y, x − 2y + z) + (2x0+y0,x0− 2y0+z0)

=f(u) + f(v).

f(αu) = f(αx, αy, αz)

= (2αx + αy, αx − 2αy + αz)

= α(2x + y, x − 2y + z)

= αf(u).

Do đó f ∈ L(R3, R2)

Dạng ma trận của ánh xạ tuyến tính

Mọi ánh xạ tuyến tính f : R n→ Rm đều có dạng:

f(x1,x2, ,xn) = (a11x1 +a12x2 + +a 1n x n,a21x1 +a22x2 +

+a2nxn, ,a m1 x1 +am2 x2 + +amn x n)

Đặt A =







a11 a12 a1n a21 a22 a2n

a m1 a m2 a mn







Ta gọi A là dạng ma trận của ánh xạ tuyến tính f.

Khi đó f có thể được biểu diễn dưới dạng f(u) = Au

(trong đó các vectơ u và f(u) được viết dưới dạng cột).

Dạng ma trận của ánh xạ tuyến tính

Ví dụ 1. Xét ánh xạ tuyến tính f(x, y, z) = (2x − y + 3z, −x + 4y − 5z).

f có dạng ma trận là A =



2 −1 3



Biểu diễn dạng cột của f là

f





x

y

z



= 2x − y + 3z

−x + 4y − 5z



=



2 −1 3







x y z





Ví dụ 2. Nếu axtt f có dạng ma trận là





4 −1 2

3 2 −4





thì f xác định bởi f(x, y, z) = (2x + 3y + z, 4x − y + 2z, 3x + 2y − 4z).

Xác định axtt thông qua ảnh các vectơ cơ sở

Định lý. Cho B = {u1,u2, ,un} là cơ sở của Rn và S = {v1,v2, ,vn} là tập hợp các vectơ thuộc Rm Khi đó tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính

f ∈ L(R n, Rm) sao cho:

f(u1) = v1, f(u2) = v2, , f(u n) =v n

PP xác định áxtt thông qua ảnh của các vectơ cơ sở

Để tìm áxtt f thỏa mãn điều kiện trên, ta thực hiện như sau:

Lấy u = (a1,a2, ,an) là một vectơ bất kỳ thuộc Rn

Biểu diễn u dưới dạng tổ hợp tuyến tính của u1, u2, , u n:

u = α1u1+ α2u2+ + αn u n (Giải pt để tìm α1, α2, , αn)

Khi đó ánh xạ f cần tìm là: f(u) = α1v1+ α2v2+ + αnvn

Xác định axtt thông qua ảnh các vectơ cơ sở

Ví dụ. Tìm f ∈ L(R2, R3) sao cho f(1, 1) = (1, 2, 3), f(1, 2) = (3, 2, 1).

Giải. Ta có S = {u1= (1, 1),u2 = (1, 2)} là cơ sở của R2

Với mọi u = (a, b) ∈ R2 ta có

[u>

1 u>

2|u>] =



1 1 a

1 2 b



→



1 0 2a − b

0 1 −a + b



Do đó u = α1u1+ α2u2 ⇔



α1 = 2a − b,

α2 = −a + b.

suy ra, u = (2a − b)u1+ (−a + b)u2

Do đó f(u) = (2a − b)f(u1) + (−a + b)f(u2)

= (2a − b)(1, 2, 3) + (−a + b)(3, 2, 1)

= (2a − b, 4a − 2b, 6a − 3b) + (−3a + 3b, −2a + 2b, −a + b)

= (−a + 2b, 2a, 5a − 2b)

Vậy ánh xạ tuyến tính cần tìm là f(a, b) = (−a + 2b, 2a, 5a − 2b).

Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

Xét ánh xạ tuyến tính T : R n→ Rm

* Đặt ker T = {u ∈ R n |f(u) = 0}.

Khi đó ker T là không gian con của R n, gọi là không gian nhân của T dim ker T được gọi là số khuyết của T, ký hiệu null(T)

* Đặt ImT = {f(u)|u ∈ R n } = f(R n)

Khi đó ImT là không gian con của R m, gọi làkhông gian ảnh của T dim ImT được gọi là hạng của T, ký hiệu rank(T)

Định lý 1. Nếu A là dạng ma trận của ánh xạ tuyến tính T thì

ker T là không gian nghiệm của hệ AX = 0.

ImT là không gian dòng của ma trận A>

Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

Ví dụ. Cho ánh xạ tuyến tính f(x, y, z) = (x + y + 2z, 2x + y − 3z).

Tìm một cơ sở của ker f và một cơ sở của Imf.

Giải. Ta có dạng ma trận của f là A =1 1 2

2 1 −3



Ta có A−−−−−→chuẩn hóa 1 0 −5



Do đó hệ AX = 0 có vô số nghiệm xác định bởi

(x1,x2,x3) = (5t, −7t, t), t ∈ R.

Nghiệm căn bản của hệ là u = (5, −7, 1).

Do đó tập hợp B = {u} là cơ sở của ker f.

Ta có A>=





2 −3





đưa về dạng

−−−−−−→

bậc thang





0 −1





Do đó tập hợp C = {(1, 2), (0, −1)} là cơ sở của Imf.

Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

Ví dụ. Cho axtt f(x, y, z) = (x + y − z, x + 2y + 3z, 2x + 3y + 2z).

Tìm cơ sở của ker f và Imf.

Giải. Dạng ma trận của f là A =





1 1 −1





Ta có A−−−−−→chuẩn hóa





1 0 −5





Do đó hệ AX = 0 có vô số nghiệm xác định bởi

(x1,x2,x3) = (5t, −4t, t), t ∈ R.

Nghiệm căn bản của hệ là u = (5, −4, 1).

Do đó tập hợp B = {u} là cơ sở của ker f.



1 1 2

Ma trận biểu diễn toán tử tuyến tính

Cho f ∈ L(R n) và B = {u1,u2, ,un} là cơ sở của Rn

Đặt P = [f(u1)]B [f(u2)]B [f(un)]B

Khi đó P được gọi là ma trận biểu diễn của f theo cơ sở B,

ký hiệu P = [f]B

Phương pháp tìm ma trận biểu diễn toán tử tuyến tính

Để xác định [f]B ta thực hiện như sau:

Tính f(u1),f(u2), ,f(un)

Lấy u bất kỳ thuộc R n , ta xác định [u]B

Lần lượt thay u bởi f(u1),f(u2), ,f(un)

ta xác định được [f(u1)]B, [f(u2)]B, , [f(un)]B

Từ đó ta được ma trận biểu diễn [f]B

Ma trận biểu diễn toán tử tuyến tính

Ví dụ 1. Cho f ∈ L(R2) xác định bởi f(x, y) = (2x + y, −x + 3y) và B

= {u1 = (1, 2),u2= (3, 5)} là cơ sở của R2 Hãy xác định [f]B

Giải. Ta có f(u1) = (4, 5), f(u2) = (11, 12)

Với mọi u = (a, b) ∈ R2, ta có (u>1 u>2|u>) =



1 3 a

2 5 b



chuẩn hóa

−−−−−→



1 0 −5a + 3b

0 1 2a − b

 ,

nên [u]B =



−5a + 3b 2a − b



Do đó [f(u1)]B =−5

3

 , [f(u2)]B =−19

10



Ma trận biểu diễn toán tử tuyến tính

Tính f(u1),f(u2), ,f(un)

Đặt A = (u>

1 u>

2 u>

n |f(u1)> f(u2)> f(un)>)

Dùng thuật toán Gauss-Jordan để đưa A về dạng ( I n |P )

Khi đó P = [f]B

Ví dụ 1. Cho f ∈ L(R2) xác định bởi f(x, y) = (2x + y, −x + 3y) và B

= {u1 = (1, 2),u2= (3, 5)} là cơ sở của R2 Hãy xác định [T]B

Giải. Ta có f(u1) = (4, 5), f(u2) = (11, 12)

Do đó (u>1 u>2 |f(u1)> f(u2)>) =



1 3 4 11

2 5 5 12



chuẩn hóa

−−−−−→



1 0 −5 −19



Suy ra [f]B =−5 −19

3 10



Ma trận biểu diễn toán tử tuyến tính

Ví dụ 2. Cho f ∈ L(R2) xác định bởif(x, y) = (2x + y, −x + 3y) Xác định

ma trận biểu diễn f theo cơ sở chính tắc của R2

Giải. Cơ sở chính tắc của R2 là B = {ε1= (1, 0), ε2= (0, 1)}

Ta có f(ε1) = (2, −1),f(ε2) = (1, 3)

nên [f]B = [f(ε1)]B [f(ε2)]B
=



2 1

−1 3



Nhận xét. Ma trận biểu diễn toán tử tuyến tính f ∈ L(R n) theo cơ sở chính tắc của Rn chính là dạng ma trận của f.

Định lý 1. Cho f ∈ L(R n) và B là cơ sở của Rn Với mọi u ∈ R n ta có

[f(u)]B= [f]B[u]B

Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính tổng quát

Cho B = {u1,u2, ,un} là cơ sở của Rn, B0= {v1,v2, ,vm} là cơ sở của

Rm , và T ∈ L(R n, Rm)

Đặt A = [f(u1)]B0 [f(u2)]B0 [f(un)]B0

Ta nói A là ma trận biểu diễn của f theo cặp cơ sở B, B0,

ký hiệu A = [f]B,B0

Phương pháp tìm ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

Để xác định [f]B,B 0 ta thực hiện như sau:

Tính f(u1),f(u2), ,f(un)

Đặt M = (v>1 v>2 v>m |f(u1)> f(u2)> f(un)>)

Dùng thuật toán Gauss-Jordan, đưa M về dạng ( I m |A )

Khi đó A = [f]B,B 0

Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính tổng quát

Ví dụ. Cho f(x, y, z) = (2x + y − z, −y + 2z) Hãy xác định [f]B,B0, với B =

{u1= (1, 1, 0), u2 = (1, 0, 1),u3 = (0, 1, 1)} là cơ sở của R3, và B0

= {u0

1 = (1, 2),u0

2= (3, 5)} là cơ sở của R2

Giải. Ta có f(u1) = (3, −1), f(u2) = (1, 2), f(u3) = (0, 1)

Suy ra (u0>

1 u0>

2|f(u1)> f(u2)> f(u3)>) =



1 3 3 1 0

2 5 −1 2 1



chuẩn hóa

−−−−−→



1 0 −18 1 3



Do đó [f]B,B0 =



−18 1 3

7 0 −1



Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính tổng quát

Nhận xét.

Nếu f ∈ L(R n) thì [f]B = [f]B,B

Nếu f ∈ L(R n, Rm) thì ma trận biểu diễnf theo cặp cơ sở chính tắc

(của Rn và Rm ) chính là dạng ma trận của f.

Ví dụ. Ma trận biểu diễn áxtt f(x, y, z) = (2x + y − z, −y + 2z) theo cặp cơ

sở chính tắc của R3 và R2 là



2 1 −1

0 −1 2



Định lý 1. Nếu B, B0 lần lượt là cơ sở của Rnvà Rm thì với mọi

f ∈ L(R n, Rm) và với mọi u ∈ R n, ta có[f(u)]B0 = [f]B,B0[u]B

Định lý 2. Cho B1, B2 là các cơ sở của Rn, B0

1, B02 là các cơ sở của Rm, và

f : R n→ Rm là một ánh xạ tuyến tính Khi đó

[f]B2,B0

2 = (B02→ B0

1)[f]B1,B0

1(B1→ B2)