1) co so cua KGVT

Khái niệm cơ sở của không gian vectơ 1.. Tọa độ của vectơ trong một cơ sở II.. Định nghĩa cơ sở của KGVT Định nghĩa: Cơ sở của R là một hệ véc tơcủa nó thỏa mãn hai điều kiện: + Số véc t

§4 CƠ SỞ CỦA KGVT

I Khái niệm cơ sở của không gian vectơ

1 Định nghĩa cơ sở của

2 Tọa độ của vectơ trong một cơ sở

II Cơ sở của không gian con

1 Khái niệm cơ sở của không gian con

I Khái niệm cơ sở của không gian vectơ

1 Định nghĩa cơ sở của KGVT

Định nghĩa: Cơ sở của R là một hệ véc tơcủa nó thỏa mãn hai điều kiện:

+ Số véc tơ bằng số chiều (= n)

+ Độc lập tuyến tính

Nhận xét: Trong mọi hệ véc tơ từ n+1 vectơ trở lên đều phụ thuộc tuyến tính.

⟹ Trong không gian vectơ cơ sở của

nó là một hệ vectơ độc lập tuyến tính tối đại (có số vectơ lớn nhất).

Ví dụ 1: Cho hệ véc tơ n chiều

, , … , CMR nếu tồn tại một véc

tơ ∈ biểu diễn tuyến tính một cách duy nhất qua , , … , thì hệ véc tơ

, , … , là một cơ sở của

Ví dụ 2: Trong cho hệ véc tơ:

Ví dụ 3: Trong không gian hệ vectơ

sau có là cơ sở của nó hay không?

Quá trình khử ẩn kết thúc ở dạng tam giác nên hệ véc tơ , , ĐLTT.

Do đó, hệ véc tơ , , là một cơ sở

2 Tọa độ của vectơ trong một cơ sở

Trước tiên ta có kết quả sau:

Định lý: Trong không gian vectơ cho trước một cơ sở , , … , Khi đó, mọi vectơ X ∈ bất kỳ đều biểu diễn tuyến tính một cách duy nhất qua cơ sở đó.

Tức là, tồn tại duy nhất bộ n số có thứ tự:

( , , … , )

∗ Xét hệ gồm n + 1 véc tơ:

, , … , ; Theo Định lý 4 § 3 Chương 1: Hệ véc tơ này PTTT.

-+ Từ định nghĩa về sự PTTT suy ra: tồn tại

n + 1 số thực: , , … , ; trong đó có ítnhất một số khác 0, sao cho:

Chứng minh (Chứng minh định lý gồm hai phần):

Từ đây, ta chứng minh được ≠ 0.

Thật vậy, giả sử có hai sự biểu diễn:

Tức là ta có:

Từ đây, suy ra hai biểu diễn (1) và (2) là trùngnhau ∎

⟺ = + + ⋯ +

Bài toán: “Hãy tìm tọa độ của véc tơ X trong cơ sở cho trước , , … , ”

Nhận xét: Đây thực chất là bài toán biểu

diễn véc tơ X qua hệ véc tơ , , … , chotrước (đã học rồi) (Chỉ có điều bài toán này

Ví dụ: Tìm tọa độ của véc tơ = ( , − , )

∘ Đây là hệ PT tuyến tính có ma trận mởrộng là:

Thay số ta được:

∘ Viết lại hệ rồi giải:

II Cơ sở của không gian con:

Định nghĩa: Cơ sở của không gian con

là một hệ vectơ , , … , của nó thỏa mãn hai điều kiện sau:

+ , , … , Độc lập tuyến tính

+ Mọi vec tơ ∈ đều biểu diễn tuyến tính qua , , … , .

Ví dụ: Trong không gian xét tập hợp cácvéc tơ 3 chiều:

a) CMR: L là một không gian con của

b) Hãy tìm một cơ sở của

Giải.

b) Để tìm một cơ sở của L ta xuất phát từđiều kiện thứ 2 của định nghĩa:

Lấy một véc tơ bất kỳ của L:

Nhận xét 1: Một không gian con có nhiều

cơ sở khác nhau, tuy nhiên số véc tơ trong mỗi cơ sở đều bằng nhau.

Hãy chứng minh kết quả này ?

Định nghĩa: Số véc tơ trong mỗi cơ sở của KGC L được gọi là số chiều của L.

Ký hiệu là: dim L

+ Nếu cho trước một cơ sở của KGC L là

, , … , thì mọi véc tơ X của L đều biểu diễn tuyến tính một cách duy nhất qua cơ sở đó:

………28………