GIÁO ÁN Toán 9

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A.. Xác định vị trí điểm A trên đường tròn O để diện tích tứ giác AMHN đạt giá trị lớn nhất... Khi đó hãy tính diện tích tứ giác AMHN theo R... Tìm giá

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN Ý YÊN

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN : TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút

(Đề gồm 01 trang)

Câu 1 (6,0 điểm)

1 Rút gọn biểu thức: 2 3  2 3.

2 Cho ba số a, b, c khác 0 và a + b + c = 0 Chứng minh rằng: 2 2 2

1 1 1 1 1 1 + + = + +

a b c a b c

3 Cho biểu thức

a) Rút gọn biểu thức A

b) Cho

1 1 6

x  y 

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A

Câu 2 (5,0 điểm)

1 Giải phương trình:12x23x 1  3x 1.

2 Giải hệ phương trình:

2

x xy 2y 0

.

x 5y 4 0

�

�

  

�

Câu 3 (2,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức: 2x24x 19 3y   2

Câu 4 (5,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính BC Một điểm A bất kỳ nằm trên

đường tròn (A không trùng với B và C) Kẻ AHBC (H�BC);HMAB (M�AB); HN

AC (N�AC)

1 Chứng minh: sin2�AMNcos OAC 2� 1và

� �

 � �

� �

3

2 Gọi D là điểm nằm giữa O và C;Kẻ DEAB (E�AB);DFAC (F�AC) Chứng minh: DB.DC = EA.EB + FA.FC

3 Xác định vị trí điểm A trên đường tròn (O) để diện tích tứ giác AMHN đạt giá trị lớn nhất Khi đó hãy tính diện tích tứ giác AMHN theo R

Câu 5 (2,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn:

1

1 x 1 y 1 z  

3

2

……….Hết …….……

Họ tên thí sinh:……… Chữ ký giám thị 1:………

Số báo danh:……… Chữ ký giám thị 2:………

HƯỚNG DẪN CHẤMKHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 MÔN TOÁN

NĂM HỌC 2018 - 2019

m Câu 1 ( 6, 0điểm)

1 (1,0 đ).Rút gọn 2 3 2 3.

Ta có

0,5 0,5

2 ( 2,0 đ) Cho ba số a, b, c khác 0 và a + b + c = 0 Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1 1 1 1 1 + + = + +

a b c a b c

Ta có

2

2 2 2

2

   �   � �   �

0,5

2

1 1 1

2 a b c

 

 �   � � �

0,5

2

1 1 1

a b c

 �   �

� � (doa b c  0)

0,5

=

1 1 1

a b c 

0,5

3.(3,0 đ) Cho biểu thức

��   ����  ��

với x, y > 0; xy ≠ 1

a) Rút gọn biểu thức A

b) Cho

1 1 6

x  y 

Tìm giá trị lớn nhất của A

a)(2,0đ)Với x, y > 0; xy ≠ 1có:

x 1 1 xy xy x xy 1 xy 1 1 xy

xy 1 1 xy



 

xy 1 1 xy xy x xy 1 x 1 1 xy

xy 1 1 xy



           

 x 1 1xy 1 1  xyxy  xyxy xx  xy 1xy 1  xy 1 1x 1 1  xyxy

2 2 x 1

2x y 2 xy xy



b) (1,0đ) Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương

1 ; 1

x y , ta có:

x  �y xy xy

(do

1 1 6

x  y 

Dấu bằng xảy ra 

1 1

x y

1 1 6

x y

� 

�

�

�  

1

9(thỏa mãn)

Vậy giá trị lớn nhất của A là 9 tại x = y =

1

Câu 2.( 5,0 điểm)

1.(2,5đ) Giải phương trình 12x23x 1  3x 1.

Đ:

1

3

2

2

12x 3x 1 3x 1

12x 3x 1 3x 1(ÐK:12x 3x 1 0)

   

144 9 1 72 24 6 3 1

144 72 15 3 0

      

�

�

0,5

144 72 15 3 0

0( )

144 72 15 3 0(1)

x ktm

�



�

�

0,5

2

(1) 4 1 36 27 3 0

1

( )

4

36 27 3 0(2)

�

�  

�

��

  

�

0,5đ

Giải (2) tìm được hai nghiệm 1 2

2.(2,5 đ) Giải hệ phương trình  

2

x xy 2y 0

x 5y 4 0 *

�   

�

�   

�

   

khi đó ta được x = y hoặc x = -2y

0,5 0,5

Với x = y thay vào phương trình (*) ta được pt y2 +5 y +4 = 0

Giải phương trình, tìm được y = -1; y = -4

Từ đó tìm được x

0,5

0,25 Với x = -2y thay vào phương trình (*) ta được 4y2 + 5y + 4 = 0 Chứng minh phương trình

này vô nghiệm

KL nghiệm của hệ

0,5đ

0,25đ

Câu 3 (2,0 điểm).

Tìm tất cả các giá trị x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức: 2x24x19 3 y2.

2x 4x19 3 y <=>2x24x 2 21 3 y2 �2(x1)2 3(7y2)(1) 0,5 Với x, y nguyên thì vế trái của (1) chia hết cho 2 nên từ (1) có:

3(7y ) 2M�7y M2�y lẻ

0,5

Ta lại có 7 y2 �0nên chỉ có thể y2 1 Khi đó 2(x1)2 18 0,5

Các cặp số (2 ; 1), 2 ; -1), (-4 ; 1), (-4 ; -1) thỏa mãn (1) KL …… 0,25

Câu 4 (5,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính BC Một điểm A bất kỳ nằm

trên đường tròn (A không trùng với B và C) Kẻ AHBC (H�BC);HMAB (M�AB);

HNAC (N�AC)

1 Chứng minh: sin2AMN� cos OAC 2� 1và

� �

 � �

� �

3

2 Gọi D là điểm nằm giữa O và C; Kẻ DEAB (E�AB);DFAC (F�AC)

Chứng minh: DB.DC = EA.EB + FA.FC

3 Xác định vị trí điểm A trên đường tròn (O) để diện tích tứ giác AMHN đạt giá trị

lớn nhất Khi đó hãy tính diện tích tứ giác AMHN theo R

1.(2đ) Chứng minh được = (= ) 0,5

CM được AC2 = CH.BC ; AB2 = BH.BC Do đó ⇒

(1)

0,5

CM được CH2 =CN.AC ; BH2 = BM AB Kết hợp với (1) ⇒

0,5

0,25

2.(1,5đ) Xét tam giác ABC với DF // AB( vì DF ⊥ AC, DE ⊥ AB), theo định lí Talet ta

0,5

Nhân từng vế của (2) và (3) ta có

0,5

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau có:

0,25

3.(1,5đ) CM được AMHN là hình chữ nhật ⇒ SAMHN = AM.AN (4) 0,25

CM được AH2 = AM.AB ⇒ AM = (5)

CM tương tự có AN= (6)

0,5

Từ (4),(5),(6) có SAMHN =

0,5

Vậy giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác AMHN là Khi đó điểm A thuộc đường

tròn (O), sao cho ABC vuông cân tại A

0,25

Câu 5 (2,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn:

1

1 x 1 y 1 z  

3

2

Ta đặt

1 x a 1 y b 1 z c

   (ĐK: a b c, , 0)

�

0,5

Do đó

3 2

�

3

2

b c c a  c a a b  a b b c �

0,5

CM được :

1

2

b c c a a c b c

1

2

c a a b b a c a

1

2

a b b c c b a b

0,5

Do đó

Vậy BĐT(*) luôn đúng, suy ra đpcm

0,5