Tài liệu Chuyên đề về hệ thức lượng tam giác

bài tập cơ bản: 1.Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến BD.. 2.Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh bằng a, vẽ một đường thẳng cắt BC ở E và cắt đường thẳng DC ở F... Chứng minh r

1 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

A KIẾN THỨC:

I HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG:

1 Một số hệ thức:

1) c2 = ac’, b2 = ab’

2) h2 = b,c,

3) ah = bc

4) 12 = 12 + 12

h b c

5) a2 = b2 + c2

-Với tam giác đều cạnh là a, ta có: h a 3; S a2 3

2 Ví dụ:

VD1.Cho tam giác ABC có AB>AC, kẻ trung tuyến AM và đường cao AH Chứng minh:

2

BC

2

VD2.Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD = 8cm

a) Chứng minh AC vuông góc với BD

b) Tính diện tích hình thang

VD3.Tính diện tích hình bình hành ABCD biết AD = 12; DC = 15; ∠ADC=700

3 bài tập cơ bản:

1.Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến BD Gọi I là hình chiếu của C trên

BD, H là hình chiếu của I trên AC

Chứng minh: AH = 3HI

2.Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh bằng a, vẽ một đường thẳng cắt BC ở E và cắt đường thẳng DC ở F

Chứng minh: 12 12 12

AE +AF = a

A

C H

B

a

c , b ,

II TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN:

1 Định nghĩa:

2 Tính chất:

- Một số hệ thức lượng giác cơ bản:

- Chú ý:

+) 0 sin< α <1; 0 cos <1;< α

+) Khi góc α tăng từ 0o đến 90o thì sinα và tgα tăng còn cosα và cotgα giảm.

+) Nếu hai góc phụ nhau thì sin của góc này bằng cos của góc kia, tg của góc này bằng cotg của góc kia và ngược lại

sinα =cos ;β cosα =sin ;β tgα =cotg ;β cot gα = βtg

+) Tỉ số lượng giác của 3 góc đặc biệt

3 Bài tập:

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 4cm; BC = 6 cm Tính các TSLG của góc

B và góc C

Nhận xét: Tam giác vuông khi biết độ dài 2 cạnh ta thường dùng định lí Py-ta-go tính cạnh còn lại Sau đó dùng định nghĩa TSLG để tính các TSLG của góc nhọn

Bài 2: Chứng minh rằng sinα < tgα; và cosα< cotgα.

HD: Xét tam giác ABC vuông tại A, B = α

sinB = AC

BC ; tgB = AC

AB

Vì BC > AC nên AC

BC< AC

AB Suy ra sinα < tgα;

Chứng minh tương tụ ta được cosα< cotgα

Bài 3: Không dùng MTBT hoặc bảng số, hãy sắp xếp cã TSLG sau theo thứ tự tăng dần.

Cotg40o, sin50o, tan70o, cos55o

HD: Theo định lí về TSLG của hai góc phụ nhau, ta có:

cos55o= sin35o; Cotg40o = tg50o

Vì sin35o< sin50o< tg50o < tg70o

Nên cos55o< sin50o< Cotg40o< tg70o

NX: Nhờ có tính chất sinα < tgα mà ta có thể so sánh được các TSLG

Bài 4: Không dùng MTBT hoặc bảng số, tính nhanh gí trị các biểu thức sau:

a) M = sin210o + sin220o + sin245o + sin270o + sin280o

b) N = tg35o tg40o.tg45o.tg50o tg55o

Bài 5:

a) Biết sinα= 5

13, hãy tính cosα, tgα, cotgα

GV : Vâ Trêng Thµnh

b) Biết tgα = 12

35, hãy tính sinα, cosα, cotgα.

Bài 6: Cho biểu thức

1 2sin cos

A

sin cos

=

α − α với α ≠45o

a) Chứng minh rằng A sin cos

sin cos

α − α

=

α + α

b) Tính giá trị của A biết tg 1

3

α = HD:

a)

sin 2sin cos cos

A

(sin cos )(sin cos )

α − α α + α

=

α − α α + α

b) A sin cos

sin cos

α − α

=

α + α chia cả tử và mẫu cho cosα.

NX Nếu chi tg thì chia cả tử và mẫu cho sin

Bài 7 Tìm x biết tgx + cotgx = 2

HD

Tìm 1 tỉ số lượng giác của góc đó

sinx = cosx Suy ra tgx = 1 = tg45o

Vậy x = 45o

4 Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 20; AC = 21 Tính các TSLG của góc B và

góc C

Bài 2:

a) Biết cosα=3

4, hãy tính sinα, tgα, cotgα.

b) Biết cotgα = 8

15, hãy tính sinα, cosα, tgα

Bài 3: Không dùng MTBT hoặc bảng số, tính nhanh gí trị các biểu thức sau:

a) M = sin242o + sin243o + sin244o + sin245o + sin246o + sin247o+ sin248o

b) N = cos215o- cos225o+ cos235o - cos245o + cos255o - cos265o + cos275o

Bài 4 Sắp xếp các TSLG sau theo thứ tự tăng dần:

Sin49o, cotg15o, tg65o, cos50o, cotg41o

Bài 5 Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của

góc nhọn α.

a) (cosα - sinα)2 + (cosα + sinα)2

b) (cos sin )2 (cos sin )2

cos sin

α − α − α + α

α α

Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC Gọi a, b, c là lượt là độ dài các cạnh BC, CA, và AB.

a) Chứng minh răng: a b c

sin A = sin B = sin C b) Có thể xảy ra đẳng thức sinA = sinB – sinC không ?

III HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG:

1 Trong tam giác vuông mỗi cạnh góc vuông bằng:

a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cos của góc kề

b) Cạnh góc vuông kia nhân với tg góc đối hoặc nhân với cotg góc kề

b a sin B acosC ctgB ccot gC

c acosB asinC bctgB btgC

2 Bài tập:

Bài 1: Cho hình thang ABCD có A D 90 ,C 50 µ = =µ o µ = o Biết AB = 2; CD = 1,2 Tính diện tích hình thang

HD Vẽ BH⊥CD thì BH = AD = 1,2; DH = AB

= 2

Xét tam giác HBC vuông tại H, ta có:

HC = HB.cotgC ≈ 1

CD =CH + HD ≈ 3

Diện tích hình thang ABCD là:

(AB CD).AD

2

+

Nhận xét: Vẽ BH⊥CD

Bài 2: Tam giác ABC có AB = 4; AC = 3,5 Tính diện tích tam giác ABC trong hai

trường hợp:

a) µ o

A 40 =

b) µ o

A 140 =

HD Tính đường cao CH Tính diện tích tam giác

Nhận xét: Một cách tổng quát ta chứng minh được rằng: Diện tích tam giác bằng nửa tích hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy

S a.b.sin C b.c.sin A c.a.sin B

Bài 3: Cho tam giác ABC với đường phân giác trong của góc BAC là AD Biết AB = 6,

AC = 9 và A 68µ = o, tính độ dài AD

Giải

Gọi diện tích các tam giác ABD, ADC và ABC là lượt là S1, S2, S Ta có:

GV : Vâ Trêng Thµnh

50 °

1,2

2

H

B A

1 1

1

S AB.AD.sin A

2

1

S AD.AC.sin A

2

=

=

1

S AB.AC.sin A

2

=

Vì: S = S1+ S2 Nên

AB.AD.sin A AD.AC.sin A AB.AC.sin A

AB.AD.sin A AD.AC.sin A AB.AC.sin A

o

AB.AC.sin A 6.9.sin 68

AB.sin A AC.sin A 6.sin 34 9sin 34

Bài 4 Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết HB = 9; HC = 16 Tính góc B và

góc C

KQ: µ o

B 53 7 ≈

Bài 5: Giải tam giác ABC vuông tại A biết:

a) a = 18; b = 8

b) b = 20; C 38µ = o

Bài 6: Tam giác ABC cân tại A, B 65µ = o, đường cao CH = 3,6 Hãy giải tam giác ABC

4 Bài tập tự luyện:

Bài 1: Tam giác ABC vuông tại A, AB = 17cm; µ o

C 62 = Tính độ dài đường trung tuyến AM

Bài 2: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD), AB = 2, CD = 5 và µ o

A 127 = Tính diện tích hình thang

Bài 3: Hình bình hành ABCD có AD = 4,3; CD = 7,5 và D 64µ = o Tính diện tích hình bình hành

Bài 4: Độ dài hai đường chéo của một tứ giác là 9 và 13 Góc nhọn giữa hai đường chéo

là 48o Tính diện tích tứ giác

Bài 5: Giải tam giác ABC vuông tại A biết:

a) a = 12; µ o

B 42 =

b) b = 13; c = 20

Bài 6: Giải tam giác ABC biết:

AB = 6,8; A 70µ = o; B 50µ = o

Bài 7: Giải tam giác ABC biết:

AB= 4,7; BC = 7,2; A 66 µ = o

9 6

2 1

B

A

B BÀI TẬP:

C BÀI TẬP BỔ XUNG:

Bài 1

Cho tam giác ABC, đường thẳng d// BC cắt AB tại M, cắt AC tại N Gọi I, J lần lượt là trung điểm của MN và BC

a/ Chứng minh rằng: A, I, J thẳng hàng

b/ Gọi P, Q, H lần lượt là hình chiếu của M, N, A lên BC, O = MP ∩ NQ, R là trung điểm của AH Chứng minh rằng: J, O, R thẳng hàng

Giải

a/ áp dụng định lý Talét cho tam giác ABC ta có:

MN = AN ⇔ MN / 2=AN ⇔ IN =AN

BC AC BC / 2 AC JC AC ⇒

A, I, J thẳng hàng

b/ Gọi S là trung điểm của PQ ⇒ I, O, S thẳng hàng

và O là trung điểm của IS, AH // IS ⇒ theo câu a thì ta có J, O, R thẳng hàng

Bài 2

Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác trong AD, phân giác ngoài AE Cho biết AB < AC Chứng minh các hệ thức sau:

a/ 1 + 1 = 2

AB AC AD b/ 1 − 1 = 2

AB AC AE

Giải

GV : Vâ Trêng Thµnh

B

A

C E

D

K H

N

I

M

O R

S

A

Vẽ DH ⊥ AB, DK ⊥ AC ⇒ DH = DK = AD

2

a/ áp dụng định lý Talét cho ∆ABC ta có:

DK CD 1 AD 1 1 1

AB CB 2 2AB 2 AB 2AD

HD CD 1 AD 1 1 1

AC CB 2 2AC 2 AC 2AD ⇒ 1 + 1 = 2 = 2

AB AC 2AD AD

Cách khác:

Chú ý: S ABC = 12 AB.ADsin∠(AB;AC)

a/ Ta có: SABC = 1

2AB.AC = SABD + SACD =

1

2AB.ADsin45

0 + 1

2AC.ADsin45

0⇒

2

AB.AC = (AB+AC)AD

+

AB.AC 2AD AB AC 2

AB AC 2 AB.AC AD ⇔ 1 + 1 = 2

AB AC AD

b/ Ta có: SABC = 1

2AB.AC = SAEC - SABE =

1

2AE.ACsin135

0 - 1

2AB.AEsin45

0 ⇒ ⇒

AB.AC = AE

−

AB.AC AE AC AB 2

AC AB 2 AB.AC AE

⇔ 1 − 1 = 2

AB AC AE

Bài 3

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM Chứng minh

các hệ thức sau:

a/ =  ÷ −

 

2

MH BM

BH AB b/ 2 + 2 = 2 + BC2

AB AC 2AM

2

Giải

a/ Do tam giác ABC vuông tại A nên ta có:

=AB2 = AB2

BH

BC 2BM

−

= − = − AB2 =2BM2 AB2

MH MB BH BM

2BM 2BM

B

A

C

M

H

⇒ = − = − =  ÷ −

 

2

MH 2BM AB 2BM 2BM AB BM

b/ Ta có: AB2 = AH2 + HB2, AC2 = AH2 + HC2

⇒ AB2+ AC2 = 2AH2+ HB2+ HC2 = 2AH2+ (BM - HM)2+ (MC + HM)2 = 2AH2 + BM2+

MC2+2HM2- 2BM.HM + 2MC.HM = 2(AH2+ HM2) + (BC/2)2+ (BC/2)2 = 2AM2 +

BC2/2

Bài 4

Cho tam giác đều ABC, O là trung điểm của BC, một góc xOy = 600 có cạnh

Ox, Oy luôn cắt AB, AC tại M và N

a/ Chứng minh rằng OB2 = BM.CN

b/ Chứng minh rằng tia MO, NO luôn là phân giác của góc BMN và CMN

c/ Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

khi góc xOy quay quanh O nhưng hai cạnh Ox, Oy vẫn cắt hai cạnh AB và AC

của tam giác ABC

Giải

a/ Ta có: ∠B = ∠C = 600

∠O1 + ∠O2 = 1200; ∠O1 + ∠M1 = 1200

⇒∠M1= ∠O2⇒∠N1 = ∠O1⇒∆BOM ∼∆CNO ⇒

BO/CN = BM/CO ⇔ BO.CO = BM.CN ⇔ BO2 = BM.CN

b/ Từ (a) ta có: OM =BM ⇔OM =ON ⇔ OM =ON

NO CO BM CO BM OB Mặt khác: ∠MBO = ∠MON = 600 ⇔ ∆BOM ∼ ∆ONM ⇔ ∠M1 = ∠M2 ⇒ OM là tia phân giác của ∠BMN

c/ Do O là giao điểm của hai tia phân giác của ∠BMN và ∠MNC ⇒ O cách đều AB,

MN và AC

Gọi H là hình chiếu của O lên AB ⇒ OH = OB.sinB = a. 3 =a 3

2 2 4 ⇒ MN luôn tiếp xúc

với đường tròn cố định có tâm O bán kính a 3

4

GV : Vâ Trêng Thµnh

A

N

M

O H

Bài 5

Cho tam giác đều ABC, trên các cạnh BC, AB, AC lấy ba điểm bất kỳ O, M, N sao cho O khác B, C và ∠MON = 600

Chứng minh rằng: BM.CN ≤ BC2/4 Dấu bằng xảy ra khi nào?

Giải

Ta có: ∠BOM =1800 - ∠B - ∠BMO = 1200 - ∠BMO

Mà: ∠BOM = 1800 - ∠MON - ∠CON = 1200 - ∠CON

⇒∠BMO = ∠ CON ⇒∆BOM ∼∆CNO ⇒

BM/CO = BO/CN ⇔ BM.CN = BO.CO ≤  +  =÷

BO CO BC

Bài 6

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, K là

chân đường cao vẽ từ A của ∆ABC Chứng minh rằng: KH.KA ≤BC2

4

Giải

Xét ∆AKB và ∆CKH có: ∠AKB = ∠CKH = 900

∠BAK = ∠HCK (hai góc nhọn cạnh tương ứng vuông góc)

⇒∆AKB ∼∆CKH ⇒ KA = KC

KB KH⇒

KB KC BC KA.KH KB.KC

⇒ KH.KA ≤BC2

4

Bài 7

Cho tam giác ABC vuông tại A Chứng minh rằng: ∠ =

+

ABC AC tg

2 AB BC

Giải

a/ Xét ∆ABD có ∠A = 900⇒ tg ABD ∠ =AD ⇔ tg∠ABC =AD

D E

A

K H

A

M

O

N

DA BA DA DC DA DC AC

DC BC BA BC AB BC AB BC

+

ABC AC

tg

2 AB BC

Bài 8

Cho hình thoi ABCD Gọi R1, R2 lần lượt là bán kính các đường tròn ngoại tiếp

∆ABD và ∆ABC Gọi a là độ dài cạnh hình thoi

a/ Chứng minh rằng: 2 + 2 = 2

1 1 4

R R a b/ Tính diện tích hình thoi theo R1 và R2

Giải

a/ Giả sử trung trực cạnh AB cắt AC tại O1 và cắt BD tại O2 ⇒ O1 và O2 là tâm các đường tròn ngoại tiếp ∆ABD và ∆ABC ⇒ O1A = R1 và O2B = R2

AB AO a 2AO

(1)

∆O2BK ∼∆ABO ⇒ O A 2 = BK ⇒ R 2 = a

AB BO a 2BO

(2)

Từ (1) và (2) ⇒ 2 = 4 2 = 4

4AO , 4BO

4 AO BO a 4a a

b/ Ta có: SABCD = 2OA.OB

OA AB AB

OA

AK AO 2R

OB AB AB

OB

KB O B 2R ⇒ = 4

1 2

AB OA.OB

4R R

Xét ∆AOB ta có: AB2 = OA2 + OB2 ⇔ = + =  + 

4R 4R 4R 4R

+

+

(R R ) 4R R

4R R R R

GV : Vâ Trêng Thµnh

C B

A

D K

O2

O1 O a

Vậy: = ⇒ =

ABCD

1

Bài 9

Chứng minh rằng trong một tam giác bất kỳ ta có: b c a+ − < ma < b c+

Giải

Xét ∆ABC có: AM > AB - BM

Xét ∆ACM có: AM > AC - MC

Cộng từng vế ta có: 2AM > AB + AC - BC ⇔ ma > b c a+ −

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MD ⇒ AB = CD

Xét ∆ACD có: AD < AC + CD = AC + AB ⇒ 2AM < AC + AB ⇒ ma < b c+

2 .

Bài 10

CMR trong tứ giác lồi ABCD ta có bất đẳng thức: AB + CD < AC + BD

Giải

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo ⇒ ta có:

AC + BD = (AO + OC) + (BO + OD) =

= (OA + OB) + (OC + OD)⇒ AC + BD > AB + CD

BTVN

Bài 1

Cho tam giác ABC, kẻ đường cao AH, gọi C1 là điểm đối xứng của H qua AB, B1 là điểm đối xứng của H qua AC Gọi giao điểm của B1C1 với AC và AB là I và K Chứng minh rằng đường BI, CK là đường cao của tam giác ABC

Bài 2

Cho tam giác ABC cân tại A và H là trung điểm của cạnh BC Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên cạnh AC và O là trung điểm của HI Chứng minh rằng hai tam giác BIC

và AOH đồng dạng với nhau và AO vuông góc với BI

A

D

C

B

D

C