Phơng pháp đồ thị Đồ thị của các dao động điều hoà x1, x2, x đợc biểu diễn nh hình vẽ.. Chuyển động phách Xét tổng hợp của hai dao động điều hoà cùng phơng, tần số góc khác nhau rất ít..
Trang 1x Trục pha M
N
O
a
2
a a1
A Lí thuyết
1 Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng ph ơng, khác chu kì
Giả sử có hai dao động điều hoà cùng phơng, khác tần số góc:
( 1 1) 1
1 =a cos ωt+ ϕ
x
x2 =a2 cos(ω 2t+ ϕ 2) (giả sử ω 2 > ω 1)
a Phơng pháp vectơ quay
- Biểu diễn: dao động x1 bằng vectơ a1 có độ dài a1 quay theo chiều dơng với tần số góc ω 1 ; dao động x2 bằng vectơ a2 có độ dài a2 quay theo chiều dơng với tần số góc ω 2
- Dao động tổng hợp đợc biểu diễn bằng vectơ a
Trong đó:
2
1 a a
a= +
Tại thời điểm t: P OˆM =(ϕ2 − ϕ1) (+ ω2− ω1)t
Sử dụng định lí hàm số Côsin trong tam giác
OMN, ta có:
a a a a
2
2
1 + + 2 cos ϕ − ϕ + ω − ω
=
Phơng trình dao động điều hoà có dạng:
=a ω ω t ϕ
x
2
Tuy nhiên phơng pháp trên không xác định đợc pha ban đầu Vì vậy để đơn
giản hơn ta có thể sử dụng phơng pháp đồ thị
b Phơng pháp đồ thị
Đồ thị của các dao động điều hoà x1, x2, x đợc biểu diễn nh hình vẽ
t
x
Đường gạch chấm và đường chấm chấm biểu diễn cỏc dao động thầnh phần, đường nột liền đậm biểu diễn dao động tổng hợp.
Trang 2Ta thấy chuyển động tổng hợp không còn là một dao động điều hoà mà là một dao
động tuần hoàn phức tạp
2 Chuyển động phách
Xét tổng hợp của hai dao động điều hoà cùng phơng, tần số góc khác nhau rất ít
( 1 1) 1
1 =a cos ωt+ ϕ
x
x2 =a2 cos(ω 2t+ ϕ 2) (ω 2 > ω 1) Trong đó ω2 ≈ ω1 = ω
Để đơn giản ta giả sử 2 dao động thành phần có cùng biên độ a1=a2=a và pha ban
đầu bằng không: ϕ1 = ϕ2 = 0
Dao động tổng hợp có dạng:
[ t t ]
a x x
+
−
2
cos 2
cos
A
2 cos
là biên độ của dao động tổng hợp Tần số góc của dao
động ω +ω ≈ ω
2
2
1 (ω2 ≈ ω1 = ω)
Vậy dao động tổng hợp thu đợc có tần số góc gần bằng ω, biên độ
A
2 cos
biến đổi điều hoà chậm với chu kì
1 2
2
ω ω
π
−
=
T Hiện tợng trên đợc gọi là hiện tợng phách Chu kì T đợc gọi là chu kì phách
1 2
2
1
f f T
π
ω
Trong đó f1, f2 là tần số góc của dao động thành phần
Đồ thị phách có thể biểu diễn nh sau:
t X
B Bài tập
Trang 3Bài 1: Một vật thực hiện dao động tổng hợp với tần số góc riêng của các dao động
thành phần xấp xỉ nhau
1 Trong 5 giây, ngời ta đếm đợc đúng 11 lần vật đạt biên độ dao động cực đại Giải thích hiện tợng Tìm chu kì phách
2 Ngời ta thấy biên độ cực đại vật đạt đợc là 2cm Tìm biên độ của các dao động thành phần, biết rằng chúng bằng nhau
3 Bằng máy đo chính xác, ngời ta đếm đợc vật thực hiện 50 dao động toàn phần trong một chu kì phách Viết phơng trình dao động, biết các pha ban đầu bằng 0
Giải:
1 Vật thực hiện dao động tổng hợp có các tần số góc riêng của các dao động thành phần xấp xỉ nhau, do đó xuất hiện hiện tợng phách
Ngời ta đếm đợc vật đạt biên độ cực đại đúng 11 lần trong vòng 5 giây Suy ra vật đã trải qua 11 - 1 = 10 chu kì phách
Vậy chu kì phách là: T p 0 , 5 ( )s
10
5 =
2 Vì phơng trình dao động có dạng: x= 2Acos(Ωt+ Φ 1) ( cos ωt+ Φ 2), với A là biên
độ của các dao động thành phần
) ( 1
) ( 2 2
cm A
cm A
=
↔
=
3 Trong một chu kì phách, Tp = 0,5(s); vật thực hiện 50 dao động toàn phần Suy ra: 0 , 01 ( )
50
5
,
0
s
T = =
Ta có: = → = = 2 (s− 1 )
T
T
P
ω π
Ω =2 = 200 ( )s− 1
Tπ π Vì Φ01 = Φ02 = 0 nên phơng trình dao động có dạng nh sau:
t t
x= 2 cos 200 π cos 2 π
Bài 2: Một vật đồng thời chịu tác dụng của hai nguyên nhân tạo ra hai dao động điều
hoà cùng phơng có phơng trình lần lợt là:
1 sin 80
x = πt (cm)
2 sin 72
x = πt (cm)
a) Xác định chuyển động do sự tổng hợp của hai dao động này
b) Xác định tần số của phách
Giải:
a) Chuyển động tổng hợp của hai dao động có biểu thức:
t
với
2
ω
2
t
⇒ =
Biên độ của dao động biến đổi theo hàm sin:
Trang 42 2 4
2
t
(cm)
4 2
π
Thay số ta đợc y= 2cos4 sin 72 πt πt (cm)
b) f1 = 40Hz, f2 = 36Hz
1 2 40 36 4
Bài 3: Một vật thực hiện một dao động tổng hợp trong đó các dao động thành phần có
dạng nh sau:
) ( 26 cos 5
) ( 24 cos 5 2
1
cm t x
cm t x
π
π
=
=
1 Tổng hợp hai dao động trên Nêu nhận xét
2.Vẽ đồ thị của dao động tổng hợp
Giải:
1 Phơng trình dao động tổng hợp của vật là:
x x
x= 1 + 2 = 5 cos 24 π + cos 26 π = 10 cos π cos 25 π
Nhận xét:
- Vật dao động nhanh với tần số góc 25π (rad/s)
-Biên độ biến đổi chậm với tần số góc π (rad/s)
Nh vậy, xuất hiện hiện tợng phách với tần số phách fP = 1 (Hz)
Đồ thị của dao động tổng hợp có thể vẽ nh sau:
t X
Bài 4: Khi trình bày các dao động thành phần tổng hợp với nhau, ngời ta thờng dùng đồ
thị dạng phổ diễn tả biên độ và tần số của mỗi dao động Theo cách trình bày đó, một dao động do sự tổng hợp của ba dao động cùng phơng có phổ nh hình vẽ
a) Lập phơng trình của mỗi dao động thành phần
Trang 5A(m) 0,03
0,02
0,01
O
b) Vẽ đồ thị của các dao động thành phần, giả sử độ lệch pha giữa chúng là không ở thời điểm gốc Suy ra đồ thị của dao động tổng hợp
Giải:
1 Phơng trình
Theo phổ đã cho:
A1 = 0,03 m = 3cm; f1 = 0,2 s-1
A2 = 0,02 m = 2cm; f2 = 0,5 s-1
A3 = 0,01 m = 1cm; f3 = 1,0 s-1
Các phơng trình có dạng:
2
x =A cos π f t+ ϕ
Do đó:
3 0, 4
2
2
π ϕ
π ϕ
π ϕ
2 Đồ thị:
Chọn 1 2 3
2
π
t X
Bài 5: Hai thanh đồng chất giống nhau, có momen quán tính I đối với đờng trung trực,
đợc gắn chặt vào một dây kim loại căng thẳng đứng giữa hai điểm cố định D, E Hằng
số xoắn của hai đoạn dây trên và dới là C, của đoạn giữa là C’ (hằng số xoắn bằng
Trang 6E
C
C
C
’
1
2
momen lực mà dây sinh ra khi xoắn một góc 1 rad) ở vị trí cân bằng, hai thanh song song với nhau và dây không bị xoắn
Chứng minh nếu C' =C thì có hiện tợng phách đối với mỗi thanh Tính tần số phách
Ω
Giải:
Nếu thanh 1 quay góc α 1, thanh 2 không quay thì thanh 1 chịu tác dụng của momen
xoắn Cα 1 +C' α 1 Nếu cả thanh 2 cũng quay góc α 2 thì thanh 1 chịu tác dụng của
momen lực Cα 1 +C'(α α 1 − 2) , thanh 2 chịu tác dụng của momen Cα 2 −C'(α α 1 − 2).
Phơng trình động lực học cho vật rắn:
Đặt ϕ α α = + 1 2
'' 0
2 '
C I
I
Hai phơng trình trên có nghiệm:
I
ω =
I
Nếu C' =C ⇒ ≈ ω ω '
' 2
1
'
2
2
' sin sin
2
Chứng tỏ có hiện tợng phách với tần số phách '
2
Bài 6: Hai thanh mảnh A và B đồng chất, cùng khối lợng m, chiều dài mỗi thanh là l
đ-ợc treo vào hai điểm O và O’ trên một giá đỡ nằm ngang Một lò xo nhẹ khối lợng không đáng kể đợc gắn vào trung điểm mỗi thanh Ban đầu lò xo không co giãn Kéo nhanh thanh A ra khỏi vị trí cân bằng một góc nhỏ α 0 rồi buông ra Tìm quy luật
chuyển động của mỗi thanh sau đó Có nhận xét gì nếu tỉ số m k << g l Vẽ đồ thị diễn tả
sự phụ thuộc của góc lệch của mỗi thanh so với phơng thẳng đứng trong trờng hợp này
Trang 7dh
F
Gọi L0 là độ dài tự nhiên của lò xo Tại một thời điểm t nào đó, góc lệch của thanh A là α 1, góc lệch của thanh B là α 2 Chiều dài của lò xo là:
( 1 2) 0
2 α − α
+
=L l L
Độ giãn của lò xo là:
( 1 2) 0
2 α − α
=
−
=
∆L L L l
Lực đàn hồi của lò xo là:
( 1 2)
2 ∆ = α − α
=k L kl
F dh
Coi α 1, α2 rất bé Do đó sin α1 ≈ 1, cos α1 ≈ 0
Mô-men lực tác dụng lên thanh A đối với trục quay đi qua O là:
( 1 2) 1
1
2 sin
2
( 1 2)
2 1 1
4
2 α + α − α
≈
Phơng trình động lực học cho chuyển động quay của thanh A qua trục quay đi qua O:
1
1 I O γ
M =
2 2
1
2
1 4
2 α + α − α = − α ′′
Tơng tự với thanh B:
Mô-men lực tác dụng lên thanh B đối với trục quay đi qua O’ là:
( 1 2) 2
2 =P.2l sinα −F .2l α − α
( 1 2)
2 2
2 ≈ 2 α − 4 α − α
Phơng trình động lực học cho chuyển động quay của thanh B qua trục quay đi qua O’:
A
B
l
m
l m
dh
F
2
α
1
α
Trang 8( 1 2) 2 2
2 2
3
1 4
2 α − α − α = − α ′′
2 1
2 1
−=
+=
αα
αα
v
u
Suy ra )4(
2 1
2 1
′′−′′
=′′
′′+′′
=′′
αα
α
α
v
u
Lấy (1) cộng (2) rồi thay (3) và (4) vào, ta đợc:
0 2
+
′′ u l
g u
Nghiệm của phơng trình trên có dạng: u = Acos(ω 1t+ ϕ 1) (5)
2
3
1
l
g
= ω
Lấy (1) trừ (2) rồi thay (3) và (4) vào, ta đợc:
0 2
+ +
m
k l
g v
Nghiệm của phơng trình trên có dạng: v= Bcos(ω 2t+ ϕ 2) (6)
2
3
+
=
m
k l
g
ω
Từ (3), (5), (6):
+ +
=
+ +
+
=
→
)8 ( cos
2 2 cos
2
)7 ( cos
2
cos 2
2 2 1
1 2
2 2 1
1 1
ϕ ω ϕ
ω α
ϕ ω ϕ
ω α
t
B t
A
t
B t
A
Ban đầu:
=
=
0
2
0 1
α
α
α
=′
=′
0
0 2
1
α α
−
=
+
=
→
2 1
2 1
0
cos 2
cos 2 0
cos 2
cos 2
ϕ ϕ
ϕ ϕ
α
B A
B A
Lấy đạo hàm hai vế của (7) và (8) rồi thay thế các điều kiện ban đầu vào:
Trang 9
=
=
↔
=
−
=
−
↔
+
−=
−
−=
0
0 0
sin
0 sin
sin 2
sin 2 0
sin 2
sin 2 0
2
1 2
2
1 1
2 2 1 1
2 2 1 1
ϕ
ϕ ϕ
ω
ϕ ω
ϕ ω ϕ ω
ϕ ω ϕ ω
B
A
B A
B A
0
2 2 0
2
2 α
α
==
↔
−=
+=
B
A B A
B A
Sau khi buông thanh A ra, các thanh chuyển động theo quy luật:
Thanh A: 0 ( 1t 2t)
α
Thanh B: 0 ( 1t 2t)
α
2
3
1
l
g
=
2
3
+
=
m
k l
g
ω
Đặt
2
, 2
2 1 2
=
Ω , ta viết lại biểu thức của α 1 và α 2 nh sau:
t t
t t
ω α
α
ω α
α
sin sin
cos cos 0 2
0 1
Ω
=
Ω
=
Nếu m k << g l thì ω 1 ≈ ω 2, xảy ra liên kết yếu Khi đó Ω >> ω, xuất hiện hiện tợng phách (biên độ biến đổi chậm với tần số góc ω và vật thực hiện dao động nhanh với tần số góc Ω)
Đồ thị dao động của các thanh khi xuất hiện hiện tợng phách nh sau:
Trang 10alpha1
Đồ thị thể hiện sự phụ thuộc của góc lệch của thanh A theo thời gian
khi xuất hiện hiện tượng phách
t
alpha1
Đồ thị thể hiện sự phụ thuộc của góc lệch của thanh B theo thời gian
khi xuất hiện hiện tượng phách
