Slide Bài giảng Hình họa Đại học chính quy

Biểu diễn các hình không gian lên mặt phẳng nhờ phép chiếu 2.. Các bài toán đó là: Giao điểm, Giao tuyến, Độ lớn thật của hình, Các bài về tính song song, tính vuông góc, Các bài quĩ tí

Bµi gi¶ng

Nội dung môn học:

1 Biểu diễn các hình không gian lên mặt phẳng nhờ phép chiếu

2 Giải các bài toán hình học không gian trên hình biểu diễn phẳng Các bài toán

đó là: Giao điểm, Giao tuyến, Độ lớn thật của hình, Các bài về tính song song, tính vuông góc, Các bài quĩ tích,

Dụng cụ cần thiết: Chì, tẩy, compa,

thước

II PhÐp chiÕu song song

Π i

Cho mÆt ph¼ng Πi, gäi lµ mÆt

ph¼ng h×nh chiÕu

Mét ® êng th¼ng s kh«ng song song ư

víi mÆt ph¼ng Πi gäi lµ h íng chiÕu ư

1 H×nh chiÕu cña mét ® êng th¼ng kh«ng song song víi h ư

íng chiÕu lµ mét ® êng th¼ng

Π i

as

LMi

α

Më réng: mét h×nh ph¼ng song song víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu th× cã h×nh chiÕu b»ng h×nh thËt

Πi

3 Phép chiếu song song bảo toàn thứ tự và tỉ số đơn của 3 điểm thẳng hàng

Πi

5 Một điểm nằm trên mặt phẳng hình chiếu thì điểm đó trùng với hình chiếu của nó

1.5 Tính chất của phép chiếu vuông góc

* Có đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song, ngoài ra còn có các tính chất

Tính chất 1

Hình chiếu của một đ ờng ưthẳng không vuông góc với mặt phẳng hình chiếu một đ ờng ưthẳng

B

Ai=Bi

H×nh chiÕu cña mét ® êng ưth¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu mét

®iÓm

Một đ ờng thẳng ưsong song với mặt phẳng hình chiếu thì song song với hình chiếu của nó

Chú ý: ABAiBi là hình chữ nhật

Tr ờng hợp đặc biệt 2ư

* H×nh chiÕu cña mét gãc vu«ng nãi chung kh«ng ph¶i lµ mét gãc vu«ng;

* H×nh chiÕu cña mét gãc vu«ng lµ mét gãc vu«ng chØ khi cã Ýt nhÊt mét c¹nh gãc vu«ng song song víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu vµ c¹nh kia kh«ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu

Më réng:

i i

i

i a b b

b

a a

b a

i

i i

b

a Ýt nhÊt cã mét c¹nh song

song víi Πi

Tính phản chuyển của hình biểu diễn:

+ Với một điểm A, tìm đ ợc duy nhất một điểm Aư i

+ Cho Ai là hình chiếu vuông góc của điểm A, ta không xác định đ ợc Aư

Vậy biểu diễn điểm A bằng một hình chiếu Ai là không có tính phản chuyển

x

I

II III IV

Π1 Gọi là mặt phẳng hình chiếu đứng

Π2 Gọi là mặt phẳng hình chiếu bằng

A1 Gọi là hình chiếu đứng, A2 Gọi là hình chiếu bằng

Độ cao của A: Vị trí t ơng đối của A so với ư Π2; có dấu(+) khi A ở phía trên Π2; có dấu

âm khi A ở phía d ới Π2 Có trị số bằng khoảng cách từ A đến Π2 z A AA2 A1 A x

Độ xa của A: Vị trí t ơng đối của A so với ư Π1; có dấu(+) khi A ở phía tr ớc ư Π1; có dấu

âm khi A ở phía sau Π1 Có trị số bằng khoảng cách từ A đến Π1 y A AA1 A2 A x

x Ax

x

A1

Ax

2) Tồn tại duy nhất 1 điểm A

Chú ý: A1Ax=Trị số độ cao của điểm A; A2Ax =Trị số độ xa của điểm A

x

A1

Ax

x Ax

3z

y

O

A1 là hình chiếu đứng

A2 là hình chiếu bằng

A3 là hình chiếu cạnh

yz

x Π

3

A2 Ay

y

O A3

Ay

O

A3

Ay

3.1 Biểu diễn đ ờng thẳng trên đồ thức ư

Có hai cách

1) Biểu diễn bằng cách xác định 2 điểm

2) Biểu diễn bằng cách cho 2 hình chiếu( Không cùng vuông góc với trục x)

A1

B1

B

ΠiNh¾c l¹i tÝnh chÊt phÐp chiÕu (H×nh chiÕu cña mét ® êng th¼ng):ư

A1

B1

Mét vÝ dô kh¸c vÒ biÓu diÔn ® êng th¼ng qua hai ®iÓmư

A1

A2

Ax Bx

A1

A2

Ax Bx

3.1.2 Biểu diễn bằng cách xác định hình chiếu( không cùng vuông góc với trục x)

x

a1

a2

a1

a1

a

định duy nhất a:

a1

3.2 §iÒu kiÖn ®iÓm thuéc ® êng th¼ng ư

3.2.1 §èi víi ® êng th¼ng th êngư ư

3.2.1 Đối với đ ờng thẳng cạnhư

Th ờng áp dụng hai mệnh đề sau:ư

Điều kiện cần và đủ để điểm M thuộc

M'

1- Lấy A1B1làm một cạnh của tam giác vuông

3- Dựng 1 đ ờng vuông góc với Aư 1B1tại A1 hoặc B1, trên đó lấy 1 đoạn = yAB làm cạnh thứ hai của tam giác vuông

1- Lấy A2B2 làm một cạnh của tam giác vuông

3- Dựng 1 đ ờng vuông góc với Aư 2B2tại A2 2- Xác định zAB

β

zAB

zAB

ĐDTAB β

3.4 Các đ ờng thẳng có vị trí đặc biệt so với các mặt phẳng ư hình chiếu

Các đ ờng thẳng song song với các mặt phẳng hình chiếu:ư

1) Đ ờng bằng: Là đ ờng thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằngư ư

và có hình chiếu đứng, hình chiếu bằng cùng vuông góc với x

A1

A2

Ax Bx

A1

A2

Ax Bx

B3

C¸c ® êng th¼ng vu«ng gãc víi c¸c mÆt ph¼ng h×nh chiÕu:ư

Trong kh«ng gian, hai ® êng th¼ng cã thÓ:ư

- C¾t nhau

- Song song

- ChÐo nhau nÕu kh«ng c¾t nhau vµ kh«ng song song

3.5.1 Tr êng hîp c¶ hai ® êng kh«ng ph¶i lµ ® êng c¹như ư ư

a M

b

1 1

1 1

//

//

//

b a

b

a b

c) Hai ® êng th¼ng chÐo nhau:ư

a1

a2

b1

b2x

a1

a2

b1

b2x

NhËn xÐt: Hai ® êng th¼ng nµy kh«ng song song, chØ c¾t nhau hoÆc chÐo nhauư

b)Bài toán 2: Tìm điều kiện để 2 đ ờng cắt nhau ư

Đ ờng thẳng a cắt tại điểm M, thì điểm M đ ợc gọi là vết đứng của đ ờng thẳng aư ư ư

Đ ờng thẳng a cắt tại điểm N, thì điểm N đ ợc gọi là vết bằng của đ ờng thẳng aư ư ư

x

Π2

Π3

a2

M2α(a,M)

Điểm M α và N α Qua M và N vẽ đ ờng thẳng a ư thì aα

M

N a

Mệnh đề 3:

Cho mặt phẳng α α

Đ ờng thẳng a ư α

a

M

Điểm M α Qua M vẽ một đ ờng ư thẳng b//a thì bα

b

Điều kiện điểm thuộc

mặt phẳng là điểm nằm

Cho mÆt ph¼ng α(ABC), ® êng ư

A2

B x

III.Các mặt phẳng có vị trí đặc biệt so với các mặt phẳng hình chiếu

α

g

α

x với mặt phẳng hình chiếu đứng Π1

1

I1

 g2 x

g2

1) VÏ mÆt ph¼ng β chøa ® êng t (th êng lÊy ư ư

β lµ mÆt ph¼ng chiÕu)2) VÏ giao tuyÕn cña α vµ β (® êng th¼ng g)ư

B1

A2x

Ph ¬ng ph¸p mÆt ph¼ng phô trî gi¶i bµi to¸n giao cña hai mÆt ph¼ng: ư

VÏ giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng cho b»ng vÕt

Hai mặt phẳng song song.

1 Đ ờng thẳng song song với mặt phẳngư

Điều kiện để một đ ờng thẳng song song với một mặt phẳng là đ ờng thẳng này ư ưphải song song với một đ ờng thẳng của mặt phẳng.ư

ab

ThÝ dô ¸p dông: VÏ t2 biÕt ® êng th¼ng t ®i qua M vµ song song víi ưmÆt ph¼ng α(ABC).

M1

M2

B1

1 Hai mặt phẳng song song.

Điều kiện để hai mặt phẳng song song là mặt phẳng này chứa 2 đ ờng thẳng ưcắt nhau t ơng ứng song song với 2 đ ờng thẳng cắt nhau của mặt phẳng kiaư ư

Qua ®iÓm M vÏ mÆt ph¼ng β song song víi mÆt ph¼ng α(mα,nα)

a

i i

Bµi to¸n 1: Cho ® êng th¼ng d, Qua ®iÓm M h·y vÏ mÆt ph¼ng ư α vu«ng gãc víi d

* Qua M2 vÏ ® êng th¼ng ưvu«ng gãc víi d2

là đ ờng bằng h và đ ờng mặt f.ư ư

dα dh Mặt khác h//2 suy ra

d2h2  cách vẽ hdα df Mặt khác h//1 suy ra

d2f1  cách vẽ fMặt phẳng α xác định bởi h và f là mặt phẳng cần vẽ

Bµi to¸n 2: Cho mÆt ph¼ng α, Qua ®iÓm M h·y vÏ ® êng th¼ng d vu«ng gãc víi mÆt ưph¼ng α.

2- ¸p dông kÕt qu¶ ë trªn, ta vÏ ® îc dư

+ Thay mp hình chiếu đứng 1bởi mp '1 vuông góc với 2, cắt nhau theo x'

I Thay mặt phẳng hình chiếu đứng

Vì cố định điểm A và mp hình chiếu bằng 2 nên hình chiếu bằng mới vẫn là A2, nói cách khác, A2 cố định

Xét hệ thống mới:

Hình chiếu đứng mới là A'1 Gọi giao của x' với mp AA'1A2 là

Ax'. Hiển nhiên là A 2 A x' , A' 1 A x' cùng vuông góc với x.

Nhận xét:

Độ cao của A không đổi: AA 2 =A 1 A x =A' 1 A x'

Qui tắc biến đổi:

Từ A2 vẽ vuông góc với x', cắt x' tại Ax'

3 Lấy A'1Ax'=A1Ax

Ví dụ 2: Thay mặt phẳng hình chiếu để AB thành đ ờng thẳng chiếu ư

x

+ Cố định điểm A và mặt phẳng hình chiếu đứng 1+ Thay mặt phẳng hình chiếu bằng 2 bởi mặt phẳng '2vuông góc với 1, cắt nhau theo x'

chiếu A1, A2

Vì cố định điểm A và mặt phẳng hình chiếu đứng 1nên hình chiếu đứng mới vẫn

Quay quanh x để 2 trùng với 1.Quay quanh x' để '2 trùng với 1,ta

x'

III Thay liên tiếp hai lần

Thay liên tiếp là thay một lần rồi lấy kết quả làm hệ thống xuất phát để thay lần thứ hai

§a diÖn lµ mÆt kÝn ® îc t¹o thµnh bëi c¸c ®a gi¸c ư ph¼ng (låi) g¾n liÒn víi nhau bëi c¸c c¹nh cña chóng.

Biểu diễn đa diện

Trên đồ thức, đa diện đ ợc biểu diễn thông qua biểu diễn ư các cạnh của chúng với qui định: các mặt của đa diện là không trong suốt.

M1=N1

M2=

N2

+ + -

-Giao của một mặt phẳng với một đa diện là một đa giác phẳng

mà mỗi đỉnh của nó là giao điểm của 1 cạnh đa diện với mặt phẳng, mỗi cạnh của nó là giao của mặt phẳng với một mặt của đa diện

C t

V

Giao của hai đa diện là một hoặc nhiều đ ờng gấp khúc ường gấp khúc không gian kép kín mà mỗi đỉnh là giao điểm của một cạnh đa diện này với một mặt đa diện kia; mỗi cạnh là giao của một mặt đa diện này với một mặt đa diện kia.

Cách vẽ giao tuyến:

+ Lần l ợt tìm giao của từng cạnh đa diện này với các ường gấp khúc mặt đa diện kia và ng ợc lại, ta đ ợc các đỉnh của giao ường gấp khúc ường gấp khúc tuyến.

+ Nối các đỉnh của giao tuyến theo nguyên tắc: Hai điểm

12

1

1 2

- + + +

-

-+

+

C

I Mét sè mÆt cong th êng dïng trong kü thuËt Ưêng dïng trong kü thuËt

 s

C

s

s

s

II BiÓu diÔn mÆt cong

I

B

B i

MK

K i

Mi

Si

O2

III §iÓm thuéc mÆt cong



C C

K2

IV Giao cña mÆt ph¼ng vµ mÆt cong



Giao cña mÆt ph¼ng víi mÆt cÇu lµ ® êng trßn ư





 Giao lµ ® êng th¼ng ư

Giao lµ parabole

Một trong 2 mặt là đặc biệt (Mặt phẳng  hoặc mặt cong ).

Các b ớc:ư

b1: Xác định dạng

b2: Từ tính chất đặc biệt suy ra đ ợc 1 hình chiếu của giao tuyến ; ư

b3: Chọn các điểm quan trong trên giao tuyến: Trên đ ờng bao, cao (thấp) ư

nhất, gần (xa) nhất

b4: Vẽ hình chiếu thứ hai của các điểm bằng cách giải bài toán điểm thuộc mặt rồi nối giao tuyến theo dạng đã biết

b5: Xét thấy khuất



ThÝ dô 1

4' O

1

3

3'

ThÝ dô 3

t2

k2

ThÝ dô 5

2) Tr ờng hợp tổng quát ường gấp khúc

Tr ờng hợp tổng quát có thể giải theo 2 cáchư

a) Biến đổi đ a về đặc biệt (không phải bao giờ cũng đ ợc)ưb)Theo ph ơng pháp mặt phẳng phụ trợ:ư

ThÝ dô 1

x x'

-b íc 1: ư

Chän mÆt ph¼ng phô trî  (sao cho giao cña  vµ

 ph¶i dÔ vÏ vµ vÏ ® îc chÝnh x¸c) ư

-b íc 2 ư

VÏ giao cña  vµ  ® îc mét giao tuyÕn ư G VÏ

giao cña  vµ  ® îc giao tuyÕn t ư

-b íc 3 ư

Giao cña G vµ t lµ c¸c ®iÓm chung cña  vµ 

nx

nx

Ta gi¶i bµi to¸n nµy b»ng c¸ch lÇn l ît vÏ giao cña tõng mÆt ®a diÖn víi mÆt congư

c1

VI Giao cña hai mÆt cong

1 2

3

4

4' 5

1 2

3

4

4' 5

ThÝ dô 3

A2

t2

t2

B2

B1

O2

O'1

F t

D N

P

Q A

B

E

F t

D

M

N P

Q A

B

B1

B2

N Q

A

B

